重庆大学材料学院：《计算机在材料工程中的应用》第一章 计算机应用的数学基础（汤爱涛）

计算机在材料工程中的应用 1章计算机应用的数学基础

计算机在材料工程中的应用 1章 计算机应用的数学基础

1章计算机应用的数学基础 1.1方程求解方法 12回归分析

1章 计算机应用的数学基础 ◼ 1.1 方程求解方法 ◼ 1.2 回归分析

1.1方程求解方法 1.1.1迭代法 11.2有限差分法

1.1 方程求解方法 ◼ 1.1.1 迭代法 ◼ 1.1.2 有限差分法

1.1.1迭代法

1.1.1 迭代法

、线性方程组的迭代法 简单迭代法(基本迭代法) 设线性方程组(1)的一般形式为 X +a 122 n n ax ta 11 2242 2 anx,+an,x2+.+nxn=b 设an≠0(=1,2…,m),则可从上式解出x 1 [b1-(a12x2+…+a1nxn) 十a22X十…十a2nX

一、线性方程组的迭代法 简单迭代法(基本迭代法) 设线性方程组(1)的一般形式为 11 1 12 2 1 b1 a x a x a x + ++ n n = 21 1 22 2 2 b2 a x a x a x + ++ n n = n n nn n bn a 1 x1 + a 2 x2 ++ a x =         a 0 (i 1,2, ,n) 设 ii  =  i ,则可从上式解出x [ ( )] 1 1 1 2 2 1 1 1 1 n n b a x a x a x = − ++ [ ( )] 1 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 n n b a x a x a x a x = − + ++

依此类推线性方程组(1)可化为 (一∑41x=x+(-∑1x) 1 (b2-∑a2x)=x2+(b2 i≠2 x,+-(b x+ ≠n

( ) 1 1 1 1 1 1 1 1   = = − n j j j j b a x a x 依此类推,线性方程组(1)可化为 ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2   = = − n j j j j b a x a x ( ) 1 1   = = − n j i j i ij j ii i b a x a x ( ) 1 1   = = − n j n j n nj j n n n b a x a x          -----(4) ( ) 1 1 1 1 11 1 = = + − n j j j b a x a x ( ) 1 1 2 2 22 2 = = + − n j j j b a x a x ( ) 1 1 = = + − n j i ij j ii i b a x a x ( ) 1 1 = = + − n j n nj j nn n b a x a x

对(4)作迭代过程 (k+1) k x:7+ b aX (5) (=1,2…,m;k=01,2… 设D=dig(a1,a2…,am) 则(5)式转化为矩阵形式 x(+1)=x()+D(b-Ax) (k+1) D Ax(k)+D b (k+1 (D-A)x()+Db (6)

--------(5) ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( ) = + = + − n j k i i j j i i k i k i b a x a x x 对(4)作迭代过程 (i = 1,2,  ,n;k = 0,1,2, ) ( , , , ) 设 D = diag a11 a22  ann 则(5)式转化为矩阵形式 ( ) (k 1) (k ) 1 (k ) x = x + D b − Ax + − x x D Ax D b (k +1) (k ) −1 (k ) −1 = − + x D D A x D b (k 1) 1 (k ) 1 ( ) + − − = − + --------(6)

令 0 0 0 0 L 21 n2 0 12 00 2n 00 0 A=D-L-U d-A=L+U

令             − − − = 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1        an an a L             − − − = 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1        n n a a a U A= D − L −U D− A= L +U

例1.用 jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4 8-32 20 411-1x2|=33 12 解 8-32 A=411-1 21 0 43 800 000 D=0110U7=001 400 004 000 2-10

例1. 用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4           =                     − − 12 33 20 2 1 4 4 11 1 8 3 2 3 2 1 x x x 解:           − − = 2 1 4 4 11 1 8 3 2 A           = 0 0 4 0 11 0 8 0 0 D           − = 0 0 0 0 0 1 0 3 2 U           − − = − 2 1 0 4 0 0 0 0 0 L

0 380 4 4 B,=D(L+U)= 0 2 4 2.5 f=Db=3 3 取初值x=[000,使用 cobit迭代法 x(+1)=Bx+f(k=0,12,…m…)

( ) 1 BJ = D L +U −                 − − − − = 0 4 1 2 1 11 1 0 11 4 4 1 8 3 0 f D b −1 =           = 3 3 2.5 取初值x (0) = [0 0 0] T ,使用Jacobi迭代法 x B x f k J k = + ( +1) ( ) (k = 0,1,2, n, )