《高等数学》课程教学资源（讲稿，上册）第6章第3节（可降阶的高阶微分方程）

高等数学（上册）第六章常微分方程第三节可降阶的高阶微分方程人民邮电出版社POSTS&TELECOM PRESS

第三节 可降阶的高阶微分方程 高 等 数 学 （ 上 册 ） 第六章 常微分方程 1

本讲内容01y("）=f(x）型的微分方程02 J"=f(x,y)型的微分方程03"=f(y,）型的微分方程

本讲内容 01 型的微分方程 02 型的微分方程 2 ( ) ( ) n y  f x 03 型的微分方程 ' y   f (y  f (x, y ) x, y ') y   f (y, y ')

OAO一、V（n）=f（x）型的微分方程(-1) =[ f(x)dx+C,两端积分得J(-2) = J[J F(x)dx+C Jdx+C上式两端再积分得依次继续进行下去，接连积分n次，就得到原来的n阶微分方程的含有r个独立任意常数的通解

一、 型的微分方程 3 ( ) ( ) n y  f x 个独立任意常数的通解. ( 1) 1 ( )d n y f x x C    两端积分得  ， ( 2) 1 2 ( )d d . n y f x x C x C       上式两端再积分得   依次继续进行下去，接连积分n次，就得到原来的n 阶微分方程的含有n

谷(n）=f（x）型的微分方程求微分方程y"=sinx+x的通解

一、 型的微分方程 4 ( ) ( ) n y  f x 例 1 求微分方程y   sin x  x 的通解

OC、y(n）=f（x）型的微分方程例求微分方程y"=sinx+x的通解O解对所给微分方程接连积分3次，得x2y'= [(sin x+x)dx = -cos x++C124o心-cos x++C)dx =-sin x +=62故方程的通解为y=-sinx+6L

一、 型的微分方程 5 ( ) ( ) n y  f x 例 1 解 求微分方程y   sin x  x 的通解. 3 1 2 sin . 6 x y   x  C x C 对所给微分方程接连积分3次，得 2 1 (sin )d cos , 2 x y   x  x x   x  C  2 3 1 1 2 ( cos )d sin , 2 6 x x y   x  C x   x  C x C  故方程的通解为

本讲内容01y(n）=f(x）型的微分方程02y"=f(x,y)型的微分方程03"=f(y,）型的微分方程

本讲内容 01 型的微分方程 02 型的微分方程 6 ( ) ( ) n y  f x 03 型的微分方程 02 y   f (x, y ') y   f (y, y ')

OOAO二、"=f（x）型的微分方程方程y"=f(x,y)的特点是其方程右端不显含未知函数y令y=p(x)，则y"=p(x)，代入方程得p(x)的一阶微分方程p(x)= f[x, p(x)],设其通解为p(x)= β(x,C)即得可分离变量的一阶微分方程= 0(x,C),dx两边积分就能得到原方程的通解为y= J o(x,C)dx+C2

7 二、 y   f (x, y ') 型的微分方程 方程y   f (x, y )的特点是其方程右端不显含未知函数y. 1 2 y  (x,C )dx C .  令y   p(x)，则y   p (x)，代入方程得p(x)的一阶微分方程 p (x)  f [x, p(x)], 1 设其通解为 p(x) (x,C ), 即得可分离变量的一阶微分方程 1 d ( , ), d y x C x  两边积分就能得到原方程的通解为

OA求微分方程y"==y+x的通解xy'+x的通解：微分方程y"=xC1.22+C2x+V=328

8 例 2 1 y   y  x . x 求微分方程 ‘ 的通解 1 y   y  x x 微分方程 ‘ 的通解： 3 1 2 2 1 3 2    C y x x C

O#问题微分方程"=的通解，x9

9 问题 1 y   y . x 微 分 方 程 ’ 的 通 解

二、y"=f(x,y)）型的微分方程OOA0求微分方程(x2+1)y"=2xy满足y(0)=1,y(0)=3的特解例2xp设y=p(x) 则有(x2+1)=2 即=这是一阶线性齐次微分方程o解x?+1dxdx根据公式得其通解为p=C(1+x2)由条件当x=0时，p=3，故C,=3，即p==3(1+x2)两边积分得y = x3 +3x+C2由条件当x=0时，y=1，故C,=1.综上可得，原方程满足初始条件的特解为y=x3+3x+11o

10 例 3 解 二、 型的微分方程 2 求微分方程 ( x  1) y   2 xy 满足y (0)  1, y (0)  3的特解. 3 综上可得，原方程满足初始条件的特解为y  x  3x 1. 2 2 d d 2 ( ) ( 2 d d p p xp y p x x xp x x x 设   ，则有 +1)  ，即  这是一阶线性齐次微分方程 +1， ， 根据公式得其通解为 2 1 p  C (1 x ), 2 1 由条件当x  0时，p  3，故C  3，即p  y   3(1 x ), 3 2 两边积分得 y  x  3x C , 2 由条件当x  0时，y 1，故C 1. y   f (x, y ')