《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.4 指纹面和可展曲面 2.4 直纹面和可展曲面

第四节 直纹面和可展曲面 4.1直纹面 1直纹面定义 2.直纹面的方程 3.直纹面的法向量 4.直纹曲面的高斯曲率 5.腰曲线 4.2可展曲面 1.可展曲面定义 2.可展曲面分类 3.单参数曲面族的包络 4.可展曲面的几个命题 4.3线汇

第四节 直纹面和可展曲面 4.1 直纹面 4.2 可展曲面 2. 直纹面的方程 5. 腰曲线 1 直纹面定义 3. 直纹面的法向量 4. 直纹曲面的高斯曲率 1. 可展曲面定义 2. 可展曲面分类 3. 单参数曲面族的包络 4. 可展曲面的几个命题 4.3 线汇

4.1直纹面 1.定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直 纹面的直母线 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等 B C2 C2 B.C2. C2 (a)一般直纹面 (b)柱面 (c)锥面 (d)切线面 (e)从圆柱面到双曲面 (f)螺旋面 (g)马鞍面

1.定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面, 这些直线称为直 纹面的直母线. 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等. 4.1 直纹面

效果图

2.直纹面的方程 直纹曲面上取一条曲线(C),它的参数表示是 (C):a=a(u) 若曲线(C和所有直母线相交，即过曲线(C)的每一点u=o, 有一条直母线，则曲线(C称为直纹面的导线 设b(w)是过导线上一点d(u)处 的直母线上的单位向量，则有： r =a(u)+vb(u) 其中直纹面上一点P到导线上的点 (C) a(u)的距离为v. 坐标曲线 v-曲线，下=d(u)+vb(w)为直母线； w曲线，下=d(u)+v,b(w)为与导线平行的曲线

直纹曲面上取一条曲线(C),它的参数表示是 若曲线(C)和所有直母线相交，即过曲线(C)的每一点 , 有一条直母线,则曲线(C)称为直纹面的导线. ( ): ( ) C a a u = 0 u u = 2. 直纹面的方程 b(u)  a(u)  o ( ) C 设 是过导线上一点 处 的直母线上的单位向量，则有： 其中直纹面上一点 P 到导线上的点 的距离为v. b(u)  a(u)  r a(u) vb(u)    = + a(u)  坐标曲线 v-曲线， 为直母线； u-曲线， 为与导线平行的曲线。 ( ) ( ) 0 b u0 r a u v    = + ( ) ( ) r a u v0 b u    = +

3.直纹面的法向量 直纹曲面上任一点P(u,v)的 法向量n//厅×容易算出 i,=a'(u)+rb'(u),=b(u), (C) 所以 r=a(u)+vb(u) n×f=xb+bxb, 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线移动时，法向量的变化情况： 情形1a'×bb×b,即(a',b,b)≠0. 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线移动时，参数v随P(u,v)的 变动而变化，因此法向量（或切平面）绕直母线而旋转

b(u)  a(u)  o ( ) C 3. 直纹面的法向量 直纹曲面上任一点P(u,v)的 法向量 n r r / / u v  .容易算出 '( ) '( ) u r a u vb u = + ， ( ) v r b u = ， r a(u) vb(u)    = + 所以 ' ' u v r r a b vb b  =  +  ， 当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线移动时,法向量 n 的变化情况: 情形1 a b b b ' / / ' ,   即 ( ', , ') 0. a b b  当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线移动时,参数v随P(u,v)的 变动而变化，因此法向量 n (或切平面)绕直母线而旋转

情形2a×b/1b'×b,即(a',b,b)=0. 当P(u,)点在曲面上沿一条直母线 移动时，参数v变化，T只改变长度，不 改变方向即 i= 方× r =a(u)+vb(u) 1×下1 保持不变 rxr,=a'xb+vb'xb, 这说明P点沿着直母线移动时，它 的法向量（或切平面）不变，此时直纹面 沿一条直母线有同一个切平面 当P点在直纹面的一条直母线上移动时，不变，变，法向 量变化如下： a)×b不平行b×b,即(d,b,b)≠0，法向量改变方向 b)×b平行于b×b,即(，b,b)=0,法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面

b(u)  a(u)  o ( ) C r a(u) vb(u)    = + 情形2 a b b b ' / / ' ,   即 ( ', , ') 0. a b b = 当P(u,v)点在曲面上沿一条直母线 移动时,参数v变化， 只改变长度,不 改变方向.即 保持不变. 这说明P点沿着直母线移动时,它 的法向量(或切平面)不变,此时直纹面 沿一条直母线有同一个切平面. u v r r  | | u v u v r r n r r  =  ' ' u v r r a b vb b  =  +  ， 当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向 量变化如下： a) ， 法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面. a b b b a b b        不平行 , ( , , ) 0 即 a b b b a b b       = 平行于 , ( , , ) 0 即

4.直纹曲面的高斯曲率 F=a(u)+vb(0元x元=dxb+vbxb, 由=d(w)+vb'(u）,元=b(u0 a'xb+vb'xb n= m=d'(u+vb'（(u),n=b'(w,元nm=0 EG-F2 L=万万=6'b62+a6,)+5"a,6+(aai EG-F2 M=元万=@x6-bg6,62，N=后i=0 VEG-F2V√EG-F2 K= LN-M2-M2 (a,b,B)2 EG-F2EG-F2(EG-F2)2 因此对于情形)有(d,b,b)≠0，K<0(双曲点) b)有(，b,b)=0,K=0(抛物点或平点). 另外：沿着直纹面的直母线，k,=kcos9=0,则一定是直纹面的渐 近线即直纹面的直母线一定是渐近曲线.（飞，=”=0.k,=O)

4. 直纹曲面的高斯曲率 由 r a (u) vb (u) , u =  +     r b(u) v   = ( ) ( ), uu r a u vb u = +   0   ruv = b(u), rvv =   , 0. ( ) ( , , ) 2 2 =  = −   = −    =  = N r n EG F a b b EG F a b b M ru v n vv           2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , , ) EG F a b b EG F M EG F LN M K −   = − − − = − − =    因此对于情形 a) 有 ，K<0 (双曲点). b) 有 ，K= 0 (抛物点或平点). (a  ,b,b)  0    (a  ,b,b) = 0    r a(u) vb(u)    = + ' ' u v r r a b vb b  =  +  ， 2 2 ( '', ', ) [( '', , ) ( '', , )] ( '', ', ) . uu b b b v a b b b a b v a a b L r n EG F + + +   =  = − 2 a b vb b ' ' n EG F  +  = − 另外:沿着直纹面的直母线, 则一定是直纹面的渐 近线,即直纹面的直母线一定是渐近曲线. cos 0, n k k = =  II ( 0, 0) I k k n n = = =

5.腰曲线 (C) 考虑两条无限邻近的直母线的相 b(u+△ 互位置，先定义直纹面的腰曲线 F+△ 定义当l是过导线上点(u)的直母线 a(u+Xu) b(u) 1'是过导线上a()邻近一点a(u+△0 M 的直母线，作和1'的公垂线，垂足分别 为M和M',公垂线MM'的垂足M当 △u→0时沿直母线1趋向于极限位置M,称为直母线1上的腰点， 腰点的轨迹称为腰曲线 M的向径为 r=d(0）+b(u), M'的向径为F+△r=a(u+△W)+(v+△v)b(u+△u) =d(w)+△a(u)+(v+△v)b()+△b(u), 由以上两式得MM=△F=△a+v△b+△v(b+△b)

5. 腰曲线 r  M l b(u)  a(u)  ( ) C o a(u +u)  b(u + u)  r r   + M l 定义 当l 是过导线上点a(u)的直母线, 是过导线上a(u)邻近一点 的直母线,作l和 的公垂线,垂足分别 为M和 M ,公垂线 的垂足M当 l a u u ( ) +  l MM 考虑两条无限邻近的直母线的相 互位置，先定义直纹面的腰曲线. 的向径为 M 的向径为 M r a u vb u = + ( ) ( ), r r a u u v v b u u +  = +  + +  +  ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )( ( ) ( )), a u a u v v b u b u +  + +  +  时沿直母线 l 趋向于极限位置M0  →u 0 , 称为直母线 l上的腰点, 由以上两式得 MM r a v b v b b ' ( ). =  =  +  +  +  腰点的轨迹称为腰曲线

MM'=△r=△a+v△b+△v(b+△b) (C) 又由于MM是两条直母线的 b(u+△ M 公垂线，所以 F+△正 a(u+Au) MMLb,MM⊥(6+△b)→MM⊥△b b(u) 有 MM.△b=0. 得 MMi.AB=Aa+YAB+Av(6+AB).AB=0, △ā·△b+4b.△b+△b+△b)△b=0 上式除以（△）2得 aA(BB)0 △u△u△u△u△u △u

MM r a v b v b b ' ( ). =  =  +  +  +  又由于 是两条直母线的 公垂线,所以 MM ' MM b MM b b MM b ' ' ( ) ' ⊥ ⊥ +   ⊥  ， r  M l b(u)  a(u)  ( ) C o a(u +u)  b(u + u)  r r   + M l 有 MM b ' 0.  = 得 MM b a v b v b b b ' ( ) =0  =  +  +  +       ，    +    +  +    a b v b b v b b b ( ) =0. 上式除以 ( ) u 2 得 ( ) =0. a b b b v b v b b u u u u u u        +  + +        

△a△b,△b△b,△y (6+A5) -=0 △u△ (C) △u△u △u △u b(u+△ 当△u-→0时，考虑MM的极限位置 M F+△ 假设b'(w≠0(b'(0=0情形另外讨论) d(u+△uy b(u) △u→0： A→a, △b →6 M △u A56→万.0=0.6. △u 2→万-万=0 △ 有 b +b2=0→v= 62 带入到下=(u)+vb(⑩，得腰点的向径表达式（腰曲线参数方程）： 产=aw au-b'四i 62(u

r  M l b(u)  a(u)  ( ) C o a(u +u)  b(u + u)  r r   + M l ( ) =0. a b b b v b v b b u u u u u u        +  + +         当  →u 0 时, 考虑 的极限位置 ', ', 0 0, ' 0 a b a b u u b b b b b b b u u   → →       →  =  →  =    MM ' 假设 b u'( ) 0  ( b u'( ) 0 = 情形另外讨论).  →u 0: 有 2 a b vb ' ' ' 0  + = 2 ' ' . ' a b v b   = − 带入到 ,得腰点的向径表达式(腰曲线参数方程)： 2 '( ) '( ) ( ) ( ). ( ) a u b u r a u b u b u  = −  r a u vb u = + ( ) ( )