2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 2.2.2曲面上两方向的交角 2.2.3正交曲线簇和正交轨线 2.2.4曲面域的面积 2.2.5等距变换 2.2.6保角变换（保形变换）
2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2.2 曲面上两方向的交角 2.2.3 正交曲线簇和正交轨线 2.2.4 曲面域的面积 2.2.5 等距变换 2.2.6 保角变换（保形变换）
2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 1.曲面上曲线的弧长 给出曲面S:r=r(u,),曲面曲线(C):u=u(),v=v(), 或 r=r[u(t),v(t)]=r(t), r(t)=r dt du+r.或dr=rudu+r,adv 若了表示弧长，有 ds2=dr2=(,du+rd)2=i·fdu2+2f·r,dudv-+frdw2 设曲线(C)上两点A(),B(),则弧长为 -会-()+2r张音+d di dt 其中E=万，F=·万，G=下·称为曲面的第一类基本量
2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1. 曲面上曲线的弧长 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) dr r du r dv = u + v 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 2 2 2 2 2 ( ) 2 u v u u u v v v ds dr r du r dv r r du r r dudv r r dv = = + = + + 若 s 表示弧长，有 设曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) ，则弧长为 dt dt dv G dt dv dt du F dt du dt E dt ds s t t t t + + = = 1 0 1 0 2 2 2 , , 其中E r r F r r G r r = = = u u u v v v 称为曲面的第一类基本量. 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (C)：u = u (t) , v = v (t)
2.曲面的第一基本形式 称关于du,dv的二次形式 I=(ds)"=Edu2+2Fdudy+Gdy2 为曲面的第一基本形式，其中第一类基本量 E=TF=G= 3.用显函数z=z(心，y)表示的曲面的第一基本形式 下={x,y,z(x,y)} 月=1,0，p以，元=0,1q,p=x9= E=f=1+p2,F=元万=p9,G=f万=1+q2 I=(1+p2)dx2+2pqdxdy+(1+q2)dy
2.曲面的第一基本形式 3.用显函数 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式 { , , ( , )} {1,0, }, {0,1, }, , . x y r x y z x y z z r p r q p q x y = = = = = 2 2 1 , , 1 E r r p F r r pq G r r q = = + = = = = + x x x y y y 2 2 2 2 = + + + + (1 ) 2 (1 ) p dx pqdxdy q dy 为曲面的第一基本形式， 称关于du,dv的二次形式 , , . E r r F r r G r r = = = u u u v v v ( ) 2 2 2 = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 其中第一类基本量
4.第一基本形式正定性 I=(ds)=Edu2+2Fdudy+Gdy2=(du dv) E F du F Gd 事实上E==2>0,G=rK=2>0, 且由 (亿×r)2=×rP15Psin2,r) ar-wcshnrp- =22-(0r)2>0. 因此 EG-F2=2r-(r)2>0. 由 E=2>0,G=2>0,EG-F2>0 得I=Edh+2 Fdudy+Gd2正定 实际上也可从I=ds2直接得到！
4. 第一基本形式正定性 事实上 实际上也可从 直接得到. 2 = ds 2 2 0, 0, E r r r G r r r = = = = u u u v v v 2 2 2 2 ( ) 0. EG F r r r r − = − u v u v 2 2 ( ) | | u v u v r r r r = 2 2 2 | | | | sin ( , ) u v u v = r r r r 2 2 2 | | | | 1 cos ( , ) u v u v = − r r r r 2 2 2 | | | | 1 | || | u v u v u v r r r r r r = − 2 2 2 ( ) 0. u v u v = − r r r r 且由 因此 由 2 2 2 0, 0, 0 E r G r EG F = = − u v 2 2 得 = + + Edu Fdudv Gdv 2 正定. ( ) 2 2 2 = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 ( ) E F du du dv F G dv =
例1求球面的第一基本形式 ={Rcoscoso,Rcososino,Rsine. 解计算可得 ={-Rcosesinp,Rcosecosp,O) o={-Rsincoso,-Rsinesino,Rcose) 由此得到曲面的第一类基本量 E=。fo=R2cos20, F=。1%=0, G=%=R2 因而 I=R2 cos2Odo2+R2de2
解 计算可得 例1 求球面的第一基本形式 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }. r R R { cos sin , cos cos ,0} = − r R R R { sin cos , sin sin , cos } = − − 由此得到曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , = = F r r 0, = = 2 G r r R . = = 因而 2 2 2 2 2 I R d R d = + cos . x y z
例2正螺面 解取螺旋轴为z轴，以V表示 (x,y,) 0 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 x=ucosv,y=usinv,z=av 分别关于u和v求导得 x=cosv,yi =sin v,=0, x,=-usinv,y=ucosv,Z,a. 因此 E=1,F=0,G=2+a2, I=ds2=d2+(2+a2)dh2
例2 正螺面 x u v y u v z av = = = cos , sin , x y z O x y z v u •( , , ) x y z x y z 解 取螺旋轴为z轴，以v表示 O 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 2 2 2 2 2 = = + + ds du u a dv ( ) 分别关于u和v求导得 cos , sin , 0, u u u x v y v z = = = sin , cos , . v v v x u v y u v z a = − = = 因此 2 2 E F G u a = = = + 1, 0,
2.2.2曲面上两方向的交角 L.把两个向量dr=r,du+r,dv和=ru+r,间的交角 称为方向(du:d)和(：)间的交角 2.设两方向的交角为0，则由 dhr.or=ldhrδircos@ 得 dr.6r cos0= arllδr dr=r du+r,dv,or=r ou+r.ov _(Cdu+rcw):(6u+rδv)） Vdr2 v8r2 Eduδu+F(duov+δudv)+Gdvv Edu2+2Fdudy Gdy?ESu2+2FSuSy +GSv2
2.2.2 曲面上两方向的交角 1. 把两个向 量 和 间的交角 称为方向（ ）和（ ）间的交角. dr r du r dv = u + v r r u r v = u + v du : dv u :v 2. 设两方向的交角为 ，则由 cos dr r dr r = 2 2 ( ) ( ) u v u v r du r dv r u r v dr r + + = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + , u v u v dr r du r dv r r u r v = + = + dr r dr r = cos 得
dr.δr EduSu+F(duv +Sudy)+Gdvov cos0= ldr or Edu+2Fdudy+Gdv2ESu2+2FSuy +GSv? 3.特别 (1)》 (d)⊥（δ）→EduSu-+F(du6v+mudh)+Gdvv=O (2)对于坐标曲线的交角，有 dr=rdu,or=r.Ov cos0= dr.ornr F ldroVEG 故坐标曲线正交的充要条件为F=0
3. 特别 cos dr r dr r = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + （2）对于坐标曲线的交角，有 （1） ( ) ( ) d ⊥ Edu u F du v udv Gdv v + + + = ( ) 0 EG F r r r r dr r dr r u v u v = = = cos 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 . , u v dr r du r r v = =
例3证明旋转面卞={p(t)cosO,o(t)sin0,yw(t)}的坐标网是 正交的. 证 =o(t)cose,o(t)sine,w(t); o ={-o(t)sine,o(t)cose,0), =o'(t)cose,o(t)sine,w'(t)) 由此得到 F=%i=0 即坐标网为正交的， 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的
例3 证明旋转面 的坐标网是 正交的. 证 0 F r r = = t 由此得到 r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )} r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )} r t t { ( )sin , ( )cos ,0}, = − { '( )cos , '( )sin , '( )} t r t t t = 即坐标网为正交的. 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的
习题4：设曲面的第一基本形式为ds2=du2+(u2+a2)d2, 求它上面两条曲线u+v=O,u-v=0的交角（注意，解此题时 不需要知道曲面和曲线的具体形状)】 解：曲面的第一类基本量为 E=1,F=0,G=u2+a2 曲线u+v=0,u-v=0的交点为(0,0).在交点处的第一类基本量为 E=1,F=0,G=a2 曲线u+v=0的方向为d+w=0,曲线u-v=0的方向为u-v=0 设两曲线的夹角为日，则有 COs0=. EduSu+F(duy+dvSu)+Gdvov E+G dvoy duu Edu+2Fdudy +GdyESu+2FSuy +Gov? G) 1-(2+a2) s1-a2 V1+(r2+a2)N1+(w2+a2 1+a2 (u,y)=(0,0)
求它上面两条曲线 的交角(注意，解此题时 不需要知道曲面和曲线的具体形状). u v u v + = − = 0, 0 习题4：设曲面的第一基本形式为 2 2 2 2 2 ds du u a dv = + + ( ) , 解：曲面的第一类基本量为 曲线 u v u v + = − = 0, 0 的交点为(0,0).在交点处的第一类基本量为 2 2 E F G u a = = = + 1, 0, 2 E F G a = = = 1, 0, 曲线 u v + = 0 的方向为 du dv + = 0, 曲线 u v − = 0 的方向为 u v − = 0 设两曲线的夹角为 ，则有 2 2 2 2 ( ) cos 2 2 Edu u F du v dv u Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + 2 2 dv v E G du u dv v E G E G du u + = + + 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) u v u a u a u a = − + = + + + + 2 2 1 . 1 a a − = +