《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.8 高斯曲率的几何意义

2.3曲面的第二基本形式 2.3.8高斯曲率的几何意义 一、高斯映射（球面表示） 二、曲面的第三基本形式 三、高斯曲率的几何意义

2.3 曲面的第二基本形式 2.3.8 高斯曲率的几何意义 一、高斯映射(球面表示） 二、曲面的第三基本形式 三、高斯曲率的几何意义

引入 高斯曲率几何意义研究途径：在3.7节所讨论的高斯曲率的值 所给出的对于曲面的一般弯曲性的分析是从各个方向的法曲 率分布概括出来的 不利用曲面曲线的研究结果，能否直接讨论高斯曲率的几何 意义呢？ 高斯曲率有什么几何意义呢？

高斯曲率几何意义研究途径：在3.7节所讨论的高斯曲率的值 所给出的对于曲面的一般弯曲性的分析是从各个方向的法曲 率分布概括出来的. 不利用曲面曲线的研究结果，能否直接讨论高斯曲率的几何 意义呢？ 高斯曲率有什么几何意义呢？ 引入

一、高斯映射（球面表示） 1.定义 设O是曲面S:r=u,y)上一块不大的区域，另外做一单位 球面！ 对VP∈o做曲面在P点处的单位法向量武u,以 把的始端平移到单位球心，则其另外一段在单位球面 上，设为P (u,v) VP∈O,(u,v),(u,v)∈o<>P'∈单位球面， n(u,v) ocS→o*c单位球面 把曲面上点与球面上的 ni(u,v) 点的这种对应称为曲面的球 面表示，也称为高斯(Gauss) 映射 u,)

 * 一、高斯映射(球面表示） 1. 定义 S  r u v ( , ) P n n u v ( , ) P' 设 是曲面 上一块不大的区域，另外做一单位 球面.  S r r u v : ( , ) = 对  P  做曲面在 P 点处的单位法向量 n u v ( , ). 把 的始端平移到单位球心,则其另外一段在单位球面 上，设为 n P'. ( , ) , ( , ),( , ) ' , n u v      P r u v u v P   单位球面 ( , ) * . n u v      S 单位球面 把曲面上点与球面上的 点的这种对应称为曲面的球 面表示，也称为高斯(Gauss) 映射. • •

2.高斯映射的表示：n=(u,v) u, 3.在高斯映射下，曲面越弯曲， 球面像越大，反之越小 u,) 4.在高斯映射下，平面的球面像是一个点，圆柱面的球面像是 一个大圆，抛物面的球面像则是一个区域。 5.P在S上描出一曲线ds时，通过球面表示，其对应点P'在单位球 面上也描出对应曲线ds*

 * 4. 在高斯映射下,平面的球面像是一个点,圆柱面的球面像是 一个大圆,抛物面的球面像则是一个区域。 2. 高斯映射的表示： n n(u,v)   = S  r u v ( , ) P n n u v ( , ) P' • 3. 在高斯映射下,曲面越弯曲, 球面像越大,反之越小. 5. P在S上描出一曲线ds时,通过球面表示,其对应点P'在单位球 面上也描出对应曲线ds*

二、曲面的第三基本形式 1.定义：把dn的长度平方称为曲面的第三基本形式，记为 III=ds *2=dn2 edu?+2fdudy +gdv? 实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式： 这里 dn2 =(n,du+n,dv)" =n.·nndu2+2n.·n,dudy+i,·n,d2 记e=in·n。,f=in·i,g=i,·i, 叫做曲面的第三类基本量

二、曲面的第三基本形式 1. 定义：把 的长度平方称为曲面的第三基本形式,记为 Ⅲ= dn  2 2 2 2 ds dn edu fdudv gdv * = 2 = + + 这里 2 2 2 2 ( ) 2 u v u u u v v v dn n du n dv n n du n n dudv n n dv = + =  +  +  实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式. 叫做曲面的第三类基本量. 记 u u nu nv g nv nv e n n f       =  , =  , = 

2.第一、二、三基本形式的关系 定理：曲面的三个基本量之间存在关系Ⅲ-2H+KI=0. 证明：取曲率线网为坐标网，则有 I=Edu2+Gdv2,II=Ldu2+Ndy? 由于曲率线网为坐标网，故下，分别为主方向，设k,k 分别为对应于u一曲线方向和ⅴ一曲线方向的主曲率，则根据主方 向判定定理（罗德里格斯定理） (d)为主方向台dn=-k,d,kn为主曲率 有方，=-k，万，=-k正.因此有 e=i·n.=k2=kE, f=in·i,=kki·正=kk2F=0,IⅢ=k2Edu2+kGd2 g=ii=kf元=G

2. 第一、二、三基本形式的关系 证明：取曲率线网为坐标网，则有 2 2 , II = + Ldu Ndv 2 2  = Edu +Gdv , 0, , 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 g n n k r r k G f n n k k r r k k F e n n k r k E v v v v u v u v u u u =  =  = =  =  = = =  = =            2 2 2 2 2 Ⅲ = k1 Edu + k Gdv 定理：曲面的三个基本量之间存在关系 Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0. 由于曲率线网为坐标网，故 分别为主方向，设 k1 , k2 分别为对应于u—曲线方向和v—曲线方向的主曲率,则根据主方 向判定定理(罗德里格斯定理) 有 因此有 ( ) , . n n d dn k dr k 为主方向 = − 为主曲率 1 2 , . u u v v n k r n k r = − = − , u v r r

nn=-ki,n=-k正 I=Edu2+Gdv2,II Ldu2+Ndv2, III=k2 Edu?+kGdy? 由 L=-in=k E,M=-i=0,N=-=k2G 得 IⅡ=kEdu2+k,Gd2 推得 Ⅲ-(k+k2)Ⅲ+kkI=0 由高斯曲率K=kk,平均曲率H=十，得三个基本形式关系 2 Ⅲ-2I+KⅪ=0

2 2 , II , = + Ldu Ndv 2 2  = Edu +Gdv 2 2 2 2 1 2 III = + k Edu k Gdv 由 , L = −ru nu = k1 E   = −  = 0, u nv M r   N = −rv nv = k2 G   1 2 , . u u v v n k r n k r = − = − 得 2 2 1 2 II = + k Edu k Gdv 推得 1 2 1 2 III ( )II I 0 − + + = k k k k 由高斯曲率 K k k = 1 2 , 平均曲率 1 2 , 得三个基本形式关系 2 k k H + = III 2 II I 0. − + = H K

三、高斯曲率的几何意义 球面表示(Gauss映射) 曲面S的小区域o 球面的区域o* σ弯曲程度越大，它对应球面区域σ*也越大. σ弯曲程度可用 o*的面积 刻画. o的面积 曲面在一点P的弯曲程度可用lim 6*的面积 来刻画。 。→Po的面积 下面证明lim o*的面积 等于P点高斯曲率的绝对值 g→P o的面积 命题7曲面上P点邻近的区域o在单位球面上的表示为σ 则有 K=lim σ的面积 Po的面积

三、高斯曲率的几何意义 的面积 的面积    * lim P KP → = 命题7 曲面上 P 点邻近的区域 在单位球面上的表示为 则有  *  曲面S的小区域  球面的区域 * 球面表示(Gauss映射)  弯曲程度越大，它对应球面区域 * 也越大.  弯曲程度可用 刻画. *  的面积 的面积 曲面在一点P的弯曲程度可用 来刻画. * lim  P  →  的面积 的面积 下面证明 等于P点高斯曲率的绝对值. * lim  P  →  的面积 的面积

o的面积 K=的面积 证明 o的面积=×dhud,o的面积=m,×元，udw 其中积分区域ō为曲纹坐标u,v的变化区域，而u,y同时为这 两个积分中的变数 由于。×广，×，分别是曲面和球面的法向量，且因对应法 线互相平行，所以 nn×i,=2(匠n×F) →(n×i,)(G×)=(×下)2 由拉格朗日恒等式得到 证明 元 下 LN-M2 EG-F2 K LN-M2=A(EG-F2)

r r dudv, =  u  v     的面积 n n dudv =  u  v     证明 * 的面积 其中积分区域 为曲纹坐标 u,v 的变化区域，而 u,v 同时为这 两个积分中的变数.  ( ) 2 2 LN M EG F r r r r r r r r n r n r n r n r v u v v u u u v v u v v u u u v − = −     =                       K EG F LN M = − −  = 2 2  的面积 的面积    * lim P KP → = 由于 分别是曲面和球面的法向量, 且因对应法 线互相平行,所以 u v nu nv r r      ,  ( ) u v u v n n r r      =   2 ( ) ( ) ( ) u v u v u v     =  n n r r r r  由拉格朗日恒等式得到 证明

所以 i,×i,=K(匠×).n×i=K× o的面积=风，×ih=xdudv 应用二重积分的中值定理，有 o的面积=Kglj.×dudv=Kgo的面积 其中Ko表示高斯曲率在区域。中某一内点Q的值.由此得到 lim 的面照mK。-K=K a→Po的面积 高斯曲率绝对值的几何意义为单位球面上的区域σ的面积与 曲面上的对应区域σ的面积之比，当σ趋于P时的极限

所以 ( ) u v u v n n K r r      =  u v u v n n K r r       =  n n dudv K r r dudv u v u v     =  =       * 的面积 应用二重积分的中值定理，有 其中KQ表示高斯曲率在区域 中某一内点Q的值.由此得到  的面积 的面积  Q u v dudv KQ = K r r =  *    Q P Q P Q P P = K = K = K → → → lim lim lim *     的面积 的面积 高斯曲率绝对值的几何意义为单位球面上的区域 的面积与 曲面上的对应区域 的面积之比，当  趋于 P 时的极限. *  