第二章空间的平面和直线 本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟 练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹 角。 本章教学重点：(1)空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式： (2)平面与空间直线间各种位置关系的解析条件： (3)平面与空间直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：(1)空间直线一般方程向标准方程的转化： (2)综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。 本章教学内容。 §2.1仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置 2.11平面的方程 确定一个平面的条件有：不在同一直线上的三个点：一条直线和直线外的一点：两条相 交或平行直线。为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”。 约定：π一表示平面： 定义：与平面π平行的一对非共线向量，2，称为π的方位向量。与π垂直的非零向 量，称为π的法线向量，简称法向量。 一平面的参数方程 1.已知π上一点M及其方位向量a,b时： 建立坐标系Oe,e2,e3设%=OMo={oo,2o},对动点M(x,水，)，设 F=OM={x,y,},则M∈π台MoM,a,6共面一F-r,a,i共面台 r-r。=a+b台r=ro+la+vb, 一π的向量式参数方程(1)
第二章 空间的平面和直线 本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟 练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹 角。 本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式； （2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件； （3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化； （2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。 本章教学内容： §2.1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置 2.1.1 平面的方程 确定一个平面的条件有：不在同一直线上的三个点；一条直线和直线外的一点；两条相 交或平行直线。为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”。 约定： —表示平面； 定义：与平面 平行的一对非共线向量 v v 1 2 , ，称为 的方位向量。与 垂直的非零向 量 n ，称为 的法线向量，简称法向量。 一 平面的参数方程 1.已知 上一点 M 0 及其方位向量 a b, 时： 建立坐标系 O e e e ; , , 1 2 3 ，设 r OM x y z 0 0 0 0 = =0 , , ，对动点 M x y z ( , , ) ，设 r OM x y z = ={ , , } ，则 0 M M M a b , , 共面 0 r r a b − , , 共面 r r a b − = + 0 r r ua vb = + + 0 ， ———— 的向量式参数方程 （1）
(1)式两边与a×b作内积，消去参数u,v得 (a×b-(心-r)=0,或G-r。,a,b)=0。 一π的向量形式的点位式方程 若令a={X,X,Z,b={X2,Y,Z},则 [x=xo+Xu+X2v y=yo+Yu+rv, π的坐标式参数方程(2) ==50+Ziu+Zav 注：经过原点并以a={X,X,乙，b={X2,当2，乙2}为方位向量的平面的参数方程为 x=X u+X2v, y=Yu+yv,u,vER, =Zu+Z2v. 写成映射是F:R2→R,F(山，)=(Xu+Xy,Yu+Y,Z,4+Zv)兰(x,),这是代数 中三维向量空间中的线性曲面的表达式，所以空间中经过原点的平面的参数方程是三维向量 空间中的线性曲面的几何意义。 二平面的普通方程 为得到π的普通方程，我们有 x-x0y-%-0 M∈π-MoM,a,b共面一 X Y Z /0, π坐标式的点位式方程(3) X2 Y,Z 可转化为 Ax+By+Cz+D=0,一 -π的一般（普通）方程 (4) 其中 ZZ .c-D=+C). Y X 三平面的其他方程 1.已知平面π上三非共线点M,i=l,2,3,建立坐标系O,e,e2,e,设r=OM
（1）式两边与 a b 作内积，消去参数 u v, 得 0 ( ) ( ) 0, a b r r − = 或 0 ( , , ) 0 r r a b − = 。———— 的向量形式的点位式方程 若令 1 1 1 2 2 2 a X Y Z b X Y Z = = { , , }, { , , } ，则 0 1 2 0 1 2 0 1 2 , , . x x X u X v y y Y u Y v z z Z u Z v = + + = + + = + + ———— 的坐标式参数方程 （2） 注：经过原点并以 1 1 1 2 2 2 a X Y Z b X Y Z = = { , , }, { , , } 为方位向量的平面的参数方程为 1 2 1 2 1 2 , , , , . x X u X v y Y u Y v u v R z Z u Z v = + = + = + 写成映射是 2 3 1 2 1 2 1 2 F R R F u v X u X v Y u Y v Z u Z v x y z : , ( , ) ( , , ) ( , , ) → = + + + ，这是代数 中三维向量空间中的线性曲面的表达式，所以空间中经过原点的平面的参数方程是三维向量 空间中的线性曲面的几何意义。 二 平面的普通方程 为得到 的普通方程，我们有 0 M M M a b , , 共面 2 2 2 1 1 1 0 0 0 X Y Z X Y Z x − x y − y z − z =0，—— 坐标式的点位式方程（3） 可转化为 Ax By Cz D + + + = 0，———— 的一般（普通）方程 (4) 其中 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 , , , ( ) Y Y X X X X A B C D Ax By Cz Z Z Z Z Y Y = = = = − + + 。 三 平面的其他方程 1. 已知平面 上三非共线点 M i i , 1,2,3 = ，建立坐标系 O e e e ; , , 1 2 3 ，设 i i r OM =
={x,y,1=1,2,3。对动点M,令r=0={x,八，由(1)，(2)，(3)有 M∈π台r=n1+u(G2-)+v(T3-1), [x=x+(x2-x)+(x3-x)2 y=片+2-y)+-y) (6 2=51+(2-)+(3-) x-x y-y 3-x-2-=0。 (6) 5-xy-月3- (4)一(6)统称为平面π的三点式方程。特别地，若M,是π与坐标轴的交点，即 M,(a,0,0,M2(0,b,0),M(0,0,c,(abc≠0)，则 x-a y z Meπ-ab0=0 (7) -a 0 c 即言十方+后=1一价粮题式方运。其中a6c秋为x在三坐标销上的酸距。 2.已知平面π上一点M。及其法向量： 建立直角坐标系{O,i,j,k,设r0=OM={x,0},n={AB,C}, (图3.1) 对动点M,令r=OM={x,y,},则
{ , , }, 1,2,3 i i i = = x y z i 。 对动点 M ，令 r OM x y z = ={ , , }，由（1），（2），（3）有 M r r u r r v r r = + − + − 1 2 1 3 1 ( ) ( ), 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), x x u x x v x x y y u y y v y y z z u z z v z z = + − + − = + − + − = + − + − （5） 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − − − − =0。 （6） （4）—（6）统称为平面 的三点式方程。特别地，若 Mi 是 与坐标轴的交点，即 1 2 3 M a M b M c abc ( ,0,0), (0, ,0), (0,0, ),( 0) ，则 0 0 x a y z M a b a c − − − =0， （7） 即 + + = 1 c z b y a x ———— 的截距式方程。 其中 abc , , 称为 在三坐标轴上的截距。 2. 已知平面 上一点 M0 及其法向量 n ： 建立直角坐标系 { ; , , } O i j k ，设 0 0 0 0 0 r OM x y z n A B C = = = { , , }, { , , }， (图 3.1) 对动点 M ，令 r OM x y z = ={ , , } ，则
M∈π台MoM1n台A(x-x)+By-%)+C(e-)=0,(8) π的点法式方程或法线式方程。 特别地，若M。是自O向π所作垂线的垂足，而 OM. O7且记OM-pn=OM=pm. MExM MLn(F-Fo)=0xcosa+ycosB+=cos7-p=0,(9) 其中n={cosa,cosB,cos},该方程称为π的法式方程，它有如下特征： 1°一次项系数的平方和等于1： 2°常数项-p≤0。 四一般方程向法式方程的转化： 在直角坐标系下，若己知π的一般方程为Ax+By+C:+D=0,则{A,B,C是π的 法向量，而法式方程(9)中的一次项系数是π的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化 为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子1=±，c,有(+By+C:+D)=0, 再据元D≤0选取无的符号即可。 下面，我们介绍平面方程中系数A,B,C,D的几何意义。 定理2.1.1设平面π的方程是(4)，则向量(,3,)平行于平面π的充分必要条件是 Ar+Bs+C1=0。 r xx 证明：O∥π的充分必要条件是O,2共面，从而SYy=0,即r+Bs+C1=0。 t ZZ 因为平面π的方程Ax+By+C:+D=0中A,B,C不全为0，取A≠0，令 m(-县，1,0)，(-，0,1)， 则，2∥π，并且1,2不共线。由于与平面π平行的两个不共线的向量可以决定平面
0 0 0 0 M M M n A x x B y y C z z ⊥ − + − + − = ( ) ( ) ( ) 0， （8） ———— 的点法式方程或法线式方程。 特别地，若 M0 是自 O 向 所作垂线的垂足，而 OM n OM = 。 。 ，且记 0 0 0 OM p r OM pn = = = , ， 0 0 M M M n r r n x y z p ⊥ − • = + + − = ( ) 0 cos cos cos 0 ， （9） 其中 n ={cos ,cos ,cos } ，该方程称为 的法式方程，它有如下特征： 1°一次项系数的平方和等于 1； 2°常数项 − p 0 。 四 一般方程向法式方程的转化： 在直角坐标系下，若已知 的一般方程为 Ax By Cz D + + + = 0 ，则 { , , } A B C 是 的 法向量，而法式方程（9）中的一次项系数是 的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化 为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子 2 2 2 1 A B C + + = ,有 ( ) 0 Ax By Cz D + + + = ， 再据 D 0 选取 的符号即可。 下面，我们介绍平面方程中系数 A B C D , , , 的几何意义。 定理 2.1.1 设平面 的方程是(4)，则向量 ( , , ) r s t 平行于平面 的充分必要条件是 Ar Bs Ct + + = 0。 证明: ∥ 的充分必要条件是 , , v v 1 2 共面，从而 1 2 1 2 1 2 0 r X X s Y Y t Z Z = ，即 Ar Bs Ct + + = 0。 因为平面 的方程 Ax By Cz D + + + = 0 中 A B C , , 不全为 0，取 A 0 ，令 1 2 ( ,1,0), ( ,0,1) B C A A − − ， 则 1 2 , ∥ ，并且 1 2 , 不共线。 由于与平面 平行的两个不共线的向量可以决定平面
的定向，因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。 推论2.2.1设平面π的是（④），则平面π平行于x轴（或y,:轴）的充分必要条件是 A=0(B=0,C=0):平面π通过原点的充分必要条件是D=0。 定理2.1.2在空间取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程：反之，任意 个三元一次方程表示一个平面。 证明：由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是三元一次方程。 反之，任给一个三元一次方程(6)，不妨设A≠0，取三点 42n04(P04(n 由于-(0-(0则4,4不共线，即M,4,4不共载 从而它们确定的平面π的方程为 0 A 0 展开即为(6)。 例1：画出平面x+2y-2=0。 解因为D=0,所以平面过原点。解方程r+25-1=0求得两个不共线的向量(2，-1,0)， 2(L,0,)。以原点为起点画出M,2。则所求平面就是由原点和，V2所确定的平面。 例2：在空间直角坐标系下，己知4A(L,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面方程。 解：法1.线段AB的中点C的坐标为（任，），平面的法向量为n=AB=(L,-3,1),由 平面方程的点法式得 1x-引-3x-}+1(-}=0=2-6y+2-7=0
的定向，因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。 推论 2.2.1 设平面 的是(4)，则平面 平行于 x 轴（或 y z, 轴）的充分必要条件是 A B C = = = 0( 0, 0) ；平面 通过原点的充分必要条件是 D = 0 。 定理 2.1.2 在空间取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意一 个三元一次方程表示一个平面。 证明：由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是三元一次方程。 反之，任给一个三元一次方程（6），不妨设 A 0 ，取三点 1 2 3 ,0,0 , ,1,0 , ,0,1 D B D C D M M M A A A + + ， 由于 2 1 3 1 ,1,0 , ,1,0 B C M M M M A A = = − ，则 2 1 3 1 M M M M , 不共线，即 1 2 3 M M M , , 不共线， 从而它们确定的平面 的方程为 1 0 0 0 1 D x y z A B A C A + − = − ， 展开即为（6）。 例 1：画出平面 x y z + − = 2 0 。 解 因为 D = 0 ，所以平面过原点。解方程 r s t + − = 2 0 求得两个不共线的向量 v1(2, 1,0) − ， v2 (1,0,1) 。以原点为起点画出 v v 1 2 , 。则所求平面就是由原点和 v v 1 2 , 所确定的平面。 例 2：在空间直角坐标系下，已知 A B (1,2,3), (2, 1,4) − ，求线段 AB 的垂直平分面方程。 解：法 1. 线段 AB 的中点 C 的坐标为 ( ) 3 7 1 2 2 2 , , ，平面的法向量为 n AB = = − (1, 3,1) ，由 平面方程的点法式得 3 1 7 1 ( 3) 1 0 2 6 2 7 0. 2 2 2 x y z x y z − + − − + − = − + − =
法2.由距离公式得。动点 M(x,y,)∈π台AM=BM 白Vx-1)2+y-2)2+(e-3)2=Vx-2)2+0y+1)2+(e-4)2 台2x-6y+2:-7=0. 例3：在空间仿射坐标系下，求过点4A(2,-1,1),B(3,-2,1),并且平行于：轴的平面的方程。 解：法1.用平面方程的点位式求，取方位向量a=AB=(1,-1,0),a=(0,0,),又平面经过 点4(2，-1,1)，B(3,-2,1),则平面方程的点位式得 x-2y+1z-1 1-10=0x+y-1=0 001 法2.用平面方程的点位式求，设平行于：轴的平面的方程为π：A红++C:+D=0。因 为解面点2-n2.质P48=-0,代于 面的方程得x+y-1=0。 法3.用平面方程的点法式求，取平面的法向量为n=a×=1，-1,0)×(0,0,1)=(-1，-1,0)， 因为平面过点4(2，-1,1)，B(3,-2,1),所以由平面方程的点法式得 (x-2)-0y+)=0或-(x-3)-0y+2)=0→x+y-1=0. 法4.用平面方程的一般方程求，设所求过点4A(2,-1,),B(3,-2,1)得平面方程为 π：A(x-2)+By+1)+C(2-1)=0. 这是过A点的平面束方程。又xoy坐标平面的方程为：=0，由题设条件知平面π与x0y坐 标平面垂直，所以e3=(A,B,C)(0,0,1)=C=0。又因为B(3,-2,1)也在平面π上，所以 A-B=0,从而得A=B,C=0。故所求平面的方程得x+y-1=0。 注2：三维向量空间R中经过原点的平面π都是R的二维线性子空间：反之，R的二维线 性子空间都是经过原点的平面。令集合π={(x,y,r+y)k,y∈R;,它是三维向量空间R 的子集，可以证明它也是R的线性子空间：对于任意的一个实数入以及任意两个元素
法 2. 由距离公式得。动点 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 4) 2 6 2 7 0. M x y z AM BM x y z x y z xyz = − + − + − = − + + + − − + − = 例 3：在空间仿射坐标系下，求过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，并且平行于 z 轴的平面的方程。 解：法 1. 用平面方程的点位式求，取方位向量 a AB a = = − = (1, 1,0), (0,0,1) ，又平面经过 点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，则平面方程的点位式得 2 1 1 1 1 0 0 1 0. 0 0 1 x y z x y − + − − = + − = 法 2. 用平面方程的点位式求，设平行于 z 轴的平面的方程为 : 0 Ax By Cz D + + + = 。因 为平面过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，所以 2 0 , 3 2 0 A B D A B D − + = − + = 解得 A B D = = − ，代入所求平 面的方程得 x y + − =1 0 。 法 3. 用平面方程的点法式求，取平面的法向量为 n a b = = − = − − (1, 1,0) (0,0,1) ( 1, 1,0), 因为平面过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − ，所以由平面方程的点法式得 − − − + = − − − + = + − = ( 2) ( 1) 0 ( 3) ( 2) 0 1 0. x y x y x y 或 法 4. 用平面方程的一般方程求，设所求过点 A B (2, 1,1), (3, 2,1) − − 得平面方程为 : ( 2) ( 1) ( 1) 0. A x B y C z − + + + − = 这是过 A 点的平面束方程。又 xoy 坐标平面的方程为 z = 0 ，由题设条件知平面 与 xoy 坐 标平面垂直，所以 n e A B C C 3 = = = ( , , ) (0,0,1) 0 。又因为 B(3, 2,1) − 也在平面 上，所以 A B− = 0 ，从而得 A B C = = , 0 。故所求平面的方程得 x y + − =1 0 。 注 2：三维向量空间 3 R 中经过原点的平面 都是 3 R 的二维线性子空间；反之， 3 R 的二维线 性子空间都是经过原点的平面。令集合 = + {( , , ) , } x y ax by x y R ，它是三维向量空间 3 R 的子集，可以证明它也是 3 R 的线性子空间：对于任意的一个实数 以及任意两个元素
a=(x,片，a1+by)∈π，B=(x,3+b2)∈π 因为 a=(2xy,a1x+b2y)∈π，a+B=(x+x2,片+2，a(x+x2)+by+y2)》∈π， 所以集合π是R的线性子空间。在几何上，子空间π中点就是经过原点的平面：=瓜+y上 的点。由此可得，三维向量空间R中经过原点的平面π都是R的二维线性子空间：反之，R 的二维线性子空间都是经过原点的平面。 注3：任何一个经过原点的平面方程：=+by都是二元线性函数：反之也成立。 设∫：R2→R是二维向量空间R到一维向量空间R的映射，即∫是二元实值函数，由高等 代数知，若对任意的实数，乙及向量a1,a2∈R2，有 f2a1+1,a2)=1f(a)+2f(a2) 则称∫是二元线性函数。有以下定理： 定理：∫是二元线性函数的充分必要条件是对于任意的向量a=xe+ye2∈R2，有 f(@回=ar+y,其中ei,e:是R2的一组基，而(x,)是向量a关于这组基的坐标， a=f(e),b=f(e)。特别是当e1=(L,0),e=(0,)时，a=(x,y)=xe+ye2eR2。 证明：必要性。对于任意的向量a=xe1+ye2∈R,因为∫是二元线性函数，所以 f(a)=f(xen+ye2)=xf(ei)+yf(e2)ax+byo 充分性。任取1∈R, a=(,)eR,a2=(3,乃2)eR2, a1+a2=(x+x2,+乃2)eR2,a=(x,y)eR2, 所以∫是二元线性函数。经过原点的平面：=ax+by的方程，可以写成映射∫：R2→R, f(x,y》=ar+by,这就是二元线性函数的表达式，所以二元线性函数的几何意义是：它 是空间中经过原点的平面。反之，任何一个经过原点的平面方程：=r+y都是二元线性函 数，而其他不经过原点的平面方程：=a+y+c(C≠0)都不是二元线性函数
1 1 1 1 2 2 2 2 = + = + ( , , ) , ( , , ) , x y ax by x y ax b 因为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + = + + + + + ( , , ) , ( , , ( ) ( )) , x y a x b y x x y y a x x b y y 所以集合 是 3 R 的线性子空间。在几何上，子空间 中点就是经过原点的平面 z ax by = + 上 的点。由此可得，三维向量空间 3 R 中经过原点的平面 都是 3 R 的二维线性子空间；反之， 3 R 的二维线性子空间都是经过原点的平面。 注 3：任何一个经过原点的平面方程 z ax by = + 都是二元线性函数；反之也成立。 设 2 f R R : → 是二维向量空间 2 R 到一维向量空间 R 的映射，即 f 是二元实值函数，由高等 代数知，若对任意的实数 1 2 , 及向量 2 1 2 , R ，有 1 2 1 2 1 2 1 2 f f f ( ) ( ) ( ) + = + ， 则称 f 是二元线性函数。有以下定理： 定理： f 是二元线性函数的充分必要条件是对于任意的向量 2 = + xe ye R 1 2 ，有 f ax by ( ) = + ，其中 e e 1 2 , 是 2 R 的一组基，而 ( , ) x y 是向量 关于这组基的坐标， a f e b f e = = ( ), ( ) 1 2 。特别是当 e e 1 2 = = (1,0), (0,1) 时， 2 = = + ( , ) x y xe ye R 1 2 。 证明：必要性。对于任意的向量 2 = + xe ye R 1 2 ，因为 f 是二元线性函数，所以 f f xe ye xf e yf e ax by ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + 1 2 1 2 。 充分性。任取 R ， 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , x y R x y R x x y y R x y R = = + = + + = 所以 f 是二元线性函数。经过原点的平面 z ax by = + 的方程，可以写成映射 2 f R R : → ， f x y ax by (( , )) = + ，这就是二元线性函数的表达式，所以二元线性函数的几何意义是：它 是空间中经过原点的平面。反之，任何一个经过原点的平面方程 z ax by = + 都是二元线性函 数，而其他不经过原点的平面方程 z ax by c c = + + ( 0) 都不是二元线性函数
同理可得，一元线性函数的表达式是y=瓜，这是平面上经过原点的直线的方程，所以 一元线性函数都是平面上经过原点的直线，而一次函数y=+b(b≠0)不是平面上经过原 点的直线。总之，空间R中经过原点的平面π既是R的二维线性子空间又是二维向量空间 R上的二元线性函数：平面R上经过原点的直线既是二维向量空间R的一维线性子空间， 又是向量空间R上的一元线性函数。 2.1.2两平面的相关位置 定理2.1.3取定一个仿射坐标系，设平面π1，π2的方程分别为： Ax+By+C=+D=0 (10) Ax+B2y+C2+D2=0. 则 (1)π，与π相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例： (2)π与π，平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系 数成比例： (3)西与π2重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。 证明：充分性（必要条件）。 (1)设平面π，π2的方程中一次项系数不成比例，则向量=(4，B,C),a2=(4,B,C) a收8及慢o,南0特 Ax+By+D=0, (11 Ax+B3y+D=0. 由于该方程组(11)的系数行列式不为0，所以(11)有唯一解(x,%)。于是(x,%,0)是(10) 的一解，则元1与π2有公共点，并且第三个坐标为0的公共点只有一个(x。,0)。可以取 到点(3，片，0)，x≠0，片≠%是元上的点，但不是π2上的点，所以π1与π2相交。 (2)由已知条件得，存在一个实数入≠0，使得
同理可得，一元线性函数的表达式是 y ax = ，这是平面上经过原点的直线的方程，所以 一元线性函数都是平面上经过原点的直线，而一次函数 y ax b b = + ( 0) 不是平面上经过原 点的直线。总之，空间 3 R 中经过原点的平面 既是 3 R 的二维线性子空间又是二维向量空间 2 R 上的二元线性函数；平面 2 R 上经过原点的直线既是二维向量空间 2 R 的一维线性子空间， 又是向量空间 R 上的一元线性函数。 2.1.2 两平面的相关位置 定理 2.1.3 取定一个仿射坐标系，设平面 1 2 , 的方程分别为： 1 1 1 1 2 2 2 2 0; 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = (10) 则 （1） 1 与 2 相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例； （2） 1 与 2 平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系 数成比例； （3） 1 与 2 重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。 证明: 充分性(必要条件)。 (1) 设平面 1 2 , 的方程中一次项系数不成比例，则向量 1 2 1 1 1 2 2 2 = = ( , , ), ( , , ) A B C A B C 不共线，由定理 1.4 知 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , A B A C B C A B A C B C 不全为 0 。 在(10)中，令 z = 0，得 1 1 1 2 2 2 0; 0. A x B y D A x B y D + + = + + = (11) 由于该方程组(11)的系数行列式不为 0 ，所以(11)有唯一解 0 0 ( , ) x y 。于是 0 0 ( , ,0) x y 是(10) 的一解，则 1 与 2 有公共点，并且第三个坐标为 0 的公共点只有一个 0 0 ( , ,0) x y 。可以取 到点 1 1 1 0 1 0 ( , ,0), , x y x x y y 是 1 上的点，但不是 2 上的点，所以 1 与 2 相交。 （2） 由已知条件得，存在一个实数 0 ，使得
A=14,B2=B,C2=2C,D23≠D 于是(10)变为4r+By+C:+D=0 {4x+By+C:+%=0因为D≠H,所以该方程组无解即元与 平行。 (3)由已知条件得，存在一个实数入≠0，使得A,=1A,B,=元B,C,=C,D2=D。 于是(10)变为4r+By+C+D=0 4x+By+C=+D,)=0显然两个方程同解，即石与，重合。 注1：定理2.1.3类似于平面解析几何中两条直线的有关位置的判定。在平面直角坐标系下， 设两条直线的方程分别为L,:4x+By+C,=0,i=1,2,则 注1：在平面直角坐标系下，设两条直线的方程分别为 L:Ax+By+C,=0,i=1,2, (1)两条直线L与L2相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例，即 4:4≠B:B: (2)两条直线L与L2平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项 不与这些系数成比例，即4= A B.C2 (3)两条直线L与L,重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例，即 A B C 4B.C. 此外有两条直线L与L,垂直的充分必要条件是AA,+BB,=0。 注2：设平面π，严2的方程分别为： π：Ax+By+Cz+D=0,π2：Ax+B+C+D,=0, 则当D≠D,时，两平面元，元，平行，它们之间的距离为d= F+B+C·当D取-切 D-D
2 1 2 1 2 1 2 1 A A B B C C D D = = = , , , 。 于是（10）变为 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 D A x B y C z D A x B y C z + + + = + + + = 。因为 2 1 D D ，所以该方程组无解，即 1 与 2 平行。 （3）由已知条件得，存在一个实数 0 ，使得 2 1 2 1 2 1 2 1 A A B B C C D D = = = = , , , 。 于是（10）变为 1 1 1 1 1 1 1 2 0 ( ) 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = 。显然两个方程同解，即 1 与 2 重合。 注 1：定理 2.1.3 类似于平面解析几何中两条直线的有关位置的判定。在平面直角坐标系下， 设两条直线的方程分别为 : 0, 1,2 L A x B y C i i i i i + + = = ，则 注 1：在平面直角坐标系下，设两条直线的方程分别为 : 0, 1,2 L A x B y C i i i i i + + = = ， 则 （1） 两条直线 L1 与 L2 相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例，即 1 2 1 2 A A B B : : ； （2） 两条直线 L1 与 L2 平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项 不与这些系数成比例，即 1 1 1 2 2 2 ABC ABC = ； （3） 两条直线 L1 与 L2 重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例，即 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = 。 此外有两条直线 L1 与 L2 垂直的充分必要条件是 1 2 1 2 A A B B + = 0 。 注 2：设平面 1 2 , 的方程分别为： 1 1 2 2 : 0; : 0, Ax By Cz D Ax By Cz D + + + = + + + = 则当 D D 1 2 时，两平面 1 2 , 平行，它们之间的距离为 1 2 2 2 2 D D d A B C − = + + 。当 D2 取一切
实数时，π2：Ax+By+Cz+D2=0表示与π：Ax+By+Cz+D=0平行的平面束。 例1空间直角坐标系下，已知△4BC的三个顶点4(0，-7,0)，B(2,-1,1),C(2,2,2),求平行 于△4BC所在平面且与它相距为2个单位的π的方程。 解法1。先求△4BC所在平面元，的方程，取其方位向量 ā-AB-(2,610,b=AC-(2,9,2), 所以其法向量n=a×石=(3，-2,6)，又元经过点4(0，-7,0)，由平面方程的点法式得 元，：3x-2y+6z-14=0。因为所求平面与元，平行，所以可设π的方程为 :3x-2y+6z+D=0。 因为点A(0,-7,0)到π的距离为2，即2= +4+36→D=0或D=-28,故所求平面 D+14 方程为π：3x-2y+6z=0或π：3x-2y+6:-28=0。 法2。同上求出△4BC所在平面π1的方程元1：3x-2y+6z-14=0。所求平面是动点 M(，)到π相距为2个单位的轨迹，即2=Bx-2y+6:-14 故所求平面方程为 V9+4+36 π：3x-2V+62=0或π：3x-2V+6:-28=0. 2.1.3三平面恰交于一点的条件 命题1.2.1设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为： π，：Ax+By+CF+D=0,i=1,2,3。 (12) 4 B C 则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是4，B,C≠0。 B3 C3 证明：上述三个平面交于一点等价于方程组(12)有唯一解，从而(12)的系数行列式不等于 0。 注1：当三元一次方程组(12)中x,八，：的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，几何上， 此解是三个平面的交点坐标，初中课本中求三元一次方程组的解就是求空间三个平面交点坐
实数时， 2 2 : 0 Ax By Cz D + + + = 表示与 1 1 : 0 Ax By Cz D + + + = 平行的平面束。 例 1 空间直角坐标系下，已知 ABC 的三个顶点 A B C (0, 7,0), (2, 1,1), (2,2,2) − − ， 求平行 于 ABC 所在平面且与它相距为 2 个单位的 的方程。 解 法 1。先求 ABC 所在平面 1 的方程，取其方位向量 a AB b AC = = = = (2,6,1), (2,9,2) ， 所以其法向量 n a b = = − (3, 2,6) ，又 1 经过点 A(0, 7,0) − ，由平面方程的点法式得 1 :3 2 6 14 0 x y z − + − = 。因为所求平面与 1 平行，所以可设 的方程为 :3 2 6 0 x y z D − + + = 。 因为点 A(0, 7,0) − 到 的距离为 2 ，即 14 2 0 9 4 36 D D + = = + + 或 D =−28 ，故所求平面 方程为 :3 2 6 0 x y z − + = 或 : 3 2 6 28 0 x y z − + − = 。 法 2。同上求出 ABC 所在平面 1 的方程 1 :3 2 6 14 0 x y z − + − = 。所求平面是动点 M x y z ( , , ) 到 相距为 2 个单位的轨迹，即 3 2 6 14 2 9 4 36 x y z − + − = + + ，故所求平面方程为 :3 2 6 0 x y z − + = 或 : 3 2 6 28 0 x y z − + − = 。 2.1.3 三平面恰交于一点的条件 命题 1.2.1 设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为: : 0, 1,2,3 i i i i i A x B y C z D i + + + = = 。 （12） 则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 A B C A B C A B C 。 证明：上述三个平面交于一点等价于方程组（12）有唯一解，从而（12)的系数行列式不等于 0 。 注 1: 当三元一次方程组（12）中 x y z , , 的系数行列式不为 0 时，方程组有唯一解，几何上， 此解是三个平面的交点坐标，初中课本中求三元一次方程组的解就是求空间三个平面交点坐