$23全微分方程与积分因子 对于一阶方程少=x,)可以采用微分形式fx,-少=0处理，此时把x,y的 dx 位置等同看待为此，将考虑如下更一般的方程 M(x,y)dk+N(x,y)dy=0(2.27) 其中M(x,y),N(x,y)为x,y的连续可微函数众所周知在数学分析中关于第二类曲线积分 时曾经讲到：当存在某个二元函数(x,y)的全微分，使得 h-密+部布=M+Nxa 则∫Md体+与路径无关且仅与u(x,)在A,B两点值有关.把此事实应用于微分方程 理论，我们定义当方程(2.27)的左端恰好是某个二元函数(x,y)的全微分，即 M+N=M-+布 dx 则称(2.27)为全微分方程进一步易知，若方程(227)为全微分方程，则其通解为 (x,y)=c(228) 其中c为任意常数 现在，我们自然会提出如下三个问题： 1.如何判断(2.27)是全微分方程？ 2.若227)为全微分方程时，如何求出函数(x,)? 3.若(227)不为全微分方程时，能否通过适当处理使之成为全微分方程 问题1：我们有如下定理 定理】方程为全微分方程的充分必要条件是 aMx,》_aNGx卫229 ax 证明考虑必要条件，假设(2.27)为全微分方程，由定义知存在一个二元函数(x,y),满足 咖-女+=临+， 股有密N-密怎少隆旅器于nN为 21
21 §2.3 全微分方程与积分因子 对于一阶方程 f (x, y) dx dy = 可以采用微分形式 f (x, y)dx − dy = 0处理，此时把 x, y 的 位置等同看待.为此，将考虑如下更一般的方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.27) 其中 M (x, y), N(x, y) 为 x, y 的连续可微函数.众所周知在数学分析中关于第二类曲线积分 时曾经讲到:当存在某个二元函数u(x, y) 的全微分，使得 dy M x y dx N x y dy y u dx x u du = ( , ) + ( , ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2.28)， 则 ∫ + AB Mdx Ndy 与路径无关且仅与u(x, y) 在 A,B 两点值有关.把此事实应用于微分方程 理论，我们定义当方程(2.27)的左端恰好是某个二元函数u(x, y) 的全微分，即 dy y u dx x u M x y dx N x y dy du x y ∂ ∂ + ∂ ∂ ( , ) + ( , ) = ( , ) = ， 则称(2.27)为全微分方程.进一步易知，若方程(2.27)为全微分方程，则其通解为 u(x, y) = c (2.28) 其中c 为任意常数. 现在，我们自然会提出如下三个问题： 1． 如何判断(2.27)是全微分方程？ 2． 若(2.27)为全微分方程时，如何求出函数u(x, y) ？ 3． 若(2.27)不为全微分方程时，能否通过适当处理使之成为全微分方程. 问题 1： 我们有如下定理 定理 1 方程为全微分方程的充分必要条件是 x N x y y M x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) ( , ) (2.29) 证明 考虑必要条件，假设(2.27)为全微分方程，由定义知存在一个二元函数u(x, y) ，满足 dy Mdx Ndy y u dx x u du = + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ， 因此有 y u N x u M ∂ ∂ = ∂ ∂ = , ，进一步观察 x y u x N y x u y M ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 , .由于 M (x, y), N(x, y) 为
线国版所学分兴-器-器版 考虑充分条件，假设2.29)成立，观察上面，取 (x,y)=JM(x,y)dk+(x)(2.30). 其中在积分中把y看成参数，(y)为关于y的任意可微函数，下面选择(y)使得(2.29)中 (x,)满足全微分方程的定义.首先限制 -h+=N) dy =N」Mh (2.31) 其次，由于M(x,y),N(x,y)为已知的，所以只要能够验证(2.31)的右端与无关，则可以通 过模分计代0)因光目的是袋证N-子∫-0博可 计算 注意到M(x,)连续可微性，上式中交换求导的顺序是允许的，于是(y)是可求的，即 最后，可知选择由(2.32)构造的函数(y)代入(2.30)，即 x=M达+N-JMa协Q3 是满足全微分方程定义的，这证明了充分条件. 问题2：在验证方程为全微分方程后，一般可以用三种常见方法求函数 方法一：直接套用公式(2.33)： 方法二：凑微分法即采用分项组合方法处理，先把那些本身已构成全微分的项分出米，再 把剩余的项凑成全微分 方法三：利用数学分析中求第二型曲线积分计算(x,),此时我们知道积分与路径无关而 仅与起点和终点有关。选择适当点A(x。,y。)作为起点，令B(x,y),C(x,y),我们有 22
22 连续可微函数，所以由数学分析知识得到 x y u x N y M ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 ，得证. 考虑充分条件，假设(2.29)成立，观察上面，取 ∫ u(x, y) = M (x, y)dx +φ(x) (2.30)， 其中在积分中把 y 看成参数，φ( y)为关于 y 的任意可微函数，下面选择φ( y)使得(2.29)中 u(x, y) 满足全微分方程的定义.首先限制 ( , ) ( ) ( , ) N x y dy d y M x y dx y y u + = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ φ 即 ∫ ∂ ∂ = − M x y dx y N x y dy d y ( , ) ( , ) φ( ) (2.31) 其次，由于 M (x, y), N(x, y) 为已知的，所以只要能够验证(2.31)的右端与无关，则可以通 过积分计算出φ( y).因此目的是验证 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ ∫ Mdx y N x 即可. 计算 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ y M x N Mdx x y x N Mdx x x y N Mdx y N x 注意到 M (x, y) 连续可微性，上式中交换求导的顺序是允许的，于是φ( y)是可求的，即 M x y dx dy y y N x y ∫ ∫ ∂ ∂ φ( ) = ( , ) − ( , ) (2.32) 最后，可知选择由(2.32)构造的函数φ( y)代入(2.30)，即 ( M x y dx)dy y u x y M x y dx N x y dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ ( , ) = ( , ) + ( , ) − ( , ) (2.33) 是满足全微分方程定义的，这证明了充分条件. 问题 2：在验证方程为全微分方程后，一般可以用三种常见方法求函数. 方法一：直接套用公式(2.33)； 方法二：凑微分法.即采用分项组合方法处理，先把那些本身已构成全微分的项分出来，再 把剩余的项凑成全微分. 方法三：利用数学分析中求第二型曲线积分计算u(x, y) ，此时我们知道积分与路径无关而 仅与起点和终点有关。选择适当点 ( , ) 0 0 A x y 作为起点，令 ( , ), ( , ) 0 B x y C x y ，我们有
x)=∫Mx+N,=Mx+N(x,+Mx达+N(x =Mx,)d+了N(x,yd 例9求方程y-3x2)d-(4y-x)=0的通解 解这里My-3款，N-4,时有兴-欲-1由定程1知本方程务全微分 方程为了求(x,y).我们把公式(2.33)分解便于记忆和计算，则方法一讨论知(x,y)应满足 两个方程 Ou=M=y-3x (2.34) =N=x-4y (2.35) d六w 注意到偏导数的定义，由2.34)对x积分得 4x,y)=∫Mx,y)d+y)=∫0-3x2d+y)=y-x3+y) 其次上式对y求偏导数，并代入(2.35)即有 =4=-4 du y 整理有0=-4y.积分后得(0)=-2y2,因而可得ux,川=y-2-2y2。 dv 故方程的通解为 y-x3-2y2=c 这里c为任意常数 方法二：在已判断方程是全微分方程后，由定义知一定存在可微函数(x,y),有 du=(y-3x2)d-(4y-x)d, 现在为了求(x,),首先把方程重新分项组合，得到 -3x'dx-4ydy +ydx+xdy =0, 即d(-x3-2y2)+dy=0,整理得d(-x3-2y2+y)=0,于是方程通解为 -x'-2y2+x=c 这里c为任意常数
23 ∫ ∫ ∫ = + = + + + AB AC CB u(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy M (x, y)dx N(x, y)dy M (x, y)dx N(x, y)dy = ∫ ∫ + y y x x M x y dx N x y dy 0 0 ( , ) ( , ) 0 例 9 求方程( 3 ) 4( ) 0 2 y − x dx − y − x dy = 的通解 解 这里 M y 3x , N x 4y 2 = − = − ，此时有 = 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ x N y M ，由定理 1 知本方程为全微分 方程.为了求u(x, y) .我们把公式(2.33)分解便于记忆和计算，则方法一讨论知u(x, y) 应满足 两个方程 = = − ∂ ∂ = = − ∂ ∂ 4 35.2( ) y u 3 34.2( ) 2 N x y M y x x u 注意到偏导数的定义，由(2.34)对 x 积分得 ( , ) ( , ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) 2 3 u x y = M x y dy + φ y = y − x dx + φ y = xy − x + φ y ∫ ∫ 其次上式对 y 求偏导数，并代入(2.35)即有 x y dy d y x y u 4 ( ) = + = − ∂ ∂ φ , 整理得 y dy d y 4 ( ) = − φ ,积分后得 2 φ( y) = −2y ,因而可得 3 2 u(x, y) = xy − x − 2y , 故方程的通解为 xy − x − y = c 3 2 2 这里c 为任意常数. 方法二： 在已判断方程是全微分方程后，由定义知一定存在可微函数u(x, y) ，有 du ( y 3x )dx 4( y x)dy 2 = − − − ， 现在为了求u(x, y) ，首先把方程重新分项组合，得到 3 4 0 2 − x dx − ydy + ydx + xdy = ， 即 ( 2 ) 0 3 2 d −x − y + dxy = ，整理得 ( 2 ) 0 3 2 d −x − y + xy = ，于是方程通解为 − x − y + xy = c 3 2 2 这里c 为任意常数
方法三：于兴议-1在个R上成立不原直00，防 x,y)=M(x,0)t+N(x,y)=(0-3x2)d+'(x-4y)=-x3+xy-2y2 则方程通解为 -x3+y-2y2=c 这里c为任意常数 问题3：当方程(227)不为全微分方程时，为了把(227)化为全微分方程，我们引入积分因子 概念 若存在连续可微函数4(x,y)≠0，使得 x,y)M(x,y)k+4(x,y)N(x,y)d=0(2.36) 为全微分方程，即存在二元可微函数v=(x,),使得 则称4(x,y)为方程(2.27)的积分因子此时(x,y)=c为2.27)的通解.由条件(2.29)知，函数 4(xy)为(2.27)积分因子的充要条件是 a(uM)a(uN) dx 这是一个以(x,y)为未知函数的一阶线性偏微分方程在一般情况下，求(x,y)函数 是不易的，但是在一些若干特殊情况下，从(2.3)中求出一个特解4(x,y)还是不难的.下面 仅考虑两特殊类型 (一) 若方程227存在贝与x有关的积分因子山=以，则业=0这时237成为 am an d业一 ay ax dx (2.38) dx N 因此，方程(2.27)存在只与x有关的积分因子4=(x)当且仅当 24
24 方法三： 由于 = 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ x N y M 在整个 2 R 上成立.不妨取点 A )0,0( ，则有 3 2 0 0 2 0 0 u(x, y) M (x )0, dx N(x, y)dy 0( 3x )dx (x 4y)dy x xy 2y x y x y = + = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 则方程通解为 − x + xy − y = c 3 2 2 这里c 为任意常数. 问题 3：当方程(2.27)不为全微分方程时，为了把(2.27)化为全微分方程，我们引入积分因子 概念. 若存在连续可微函数 µ(x, y) ≠ 0，使得 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.36) 为全微分方程，即存在二元可微函数v = v(x, y) ，使得 dy x y M x y dx x y N x y dy y v dx x v dv(x, y) = µ( , ) ( , ) + µ( , ) ( , ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = 则称 µ(x, y) 为方程(2.27)的积分因子.此时v(x, y) = c 为(2.27)的通解.由条件(2.29)知，函数 µ(x, y) 为(2.27)积分因子的充要条件是 x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂(µ ) (µ ) 即 µ µ µ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ x N y M y M x N (2.37) 这是一个以 µ(x, y) 为未知函数的一阶线性偏微分方程.在一般情况下，求 µ(x, y) 函数 是不易的，但是在一些若干特殊情况下，从(2.37)中求出一个特解 µ(x, y) 还是不难的.下面 仅考虑两特殊类型. （一） 若方程(2.27)存在只与 x 有关的积分因子 µ = µ(x) ，则 = 0 ∂ ∂ y µ .这时(2.37)成为 dx N x N y M dx d ∂ ∂ − ∂ ∂ = µ (2.38) 因此，方程(2.27)存在只与 x 有关的积分因子 µ = µ(x) 当且仅当
aM aN ay is-) (239) N 为只与x有关的函数，则此时(2.27)有一个只与x有关的积分因子为 4(x)=ela240 (二)同上（一），方程(2.27)存在只与y有关的积分因子4()当且仅当 OM ON a=v0)24 -M 为只与y有关的函数，则此时有一个只与y有关的积分因子为 0)=eJ 例10求解方程d-xdy=0 解显然有M(x,y)=y,N(x,y)=-x,由此算出 aM aN aM aN aM aN =2,w. N x'-M 鱼上可知有积分因子4(x)=Q=之和0)=e =子利用=以方 程两边，有本-迹=0，即d-=0,所以通解为上=c,这里c为任意常数 类数用心0小=宁方程丙边，有-边-0.甲)-0，所通解为于-。 2 这里c为任意常数. 例11解方程dt-(x+y3)=0 aM aN 解显然有Mx)=Nx》E-x-y,由此算出-x=2所、3 -M y 4流立所以方程省积分因子心)=户-子·以0=立来方起酸，有
25 (x) N x N y M = ϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.39) 为只与 x 有关的函数，则此时(2.27)有一个只与 x 有关的积分因子为 ∫ = x dx x e ( ) ( ) ϕ µ (2.40) （二） 同上（一），方程(2.27)存在只与 y 有关的积分因子 µ( y) 当且仅当 ( y) M x N y M =ψ − ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.41) 为只与 y 有关的函数，则此时有一个只与 y 有关的积分因子为 ∫ = y dy y e ( ) ( ) ψ µ . 例 10 求解方程 ydx − xdy = 0 解 显然有 M (x, y) = y, N(x, y) = −x ，由此算出 M y x N y M N x x N y M x N y M 2 , 2 ,2 = − − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 由上可知有积分因子 2 2 1 ( ) x x e dx x = ∫ = − µ 和 2 2 1 ( ) y y e dy y = ∫ = − µ ，利用 2 1 ( ) x µ x = 乘以方 程两边，有 0 2 = − x ydx xdy ，即 = 0 − x y d ，所以通解为 c x y = ,这里c 为任意常数. 类似用 2 1 ( ) y µ y = 乘以方程两边，有 0 2 = − y ydx xdy ，即 = 0 y x d ，所以通解为 c y x = , 这里c 为任意常数. 例 11 解方程 ( ) 0 3 ydx − x + y dy = 解 显然有 3 M (x, y) = y, N(x, y) = −x − y ，由此算出 M y x N y M x N y M 2 ,2 = − − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 即(2.41)成立.所以方程有积分因子 2 2 1 ( ) y y e dy y = ∫ = − µ ，以 2 1 ( ) y µ y = 乘方程两边，即有
-(+y沙=0 y2 为全微分方程由淡微分法号得，4仔-子上0，于是方程通解为于一=。 这里c为任意常数. 例12求解方程少=P(y+Q(,其中P,Q(连续 解将原方程改写成微分形式 (P(x)y+(x))dx-dy=0 显然M(x,)=P(x)y+Q(x),N(x,y)=-1,由此算出 aM aN MON=P(x).ay =-PCx). dy dx N 即239成立，放可知上方程有积分因子)=e恤，以以=e上a*乘上方程，得 到 (P(y+O(x0 为全微分方程用凑微分法易得 dea恤-∫(xe d=0 所以原方程的通解为e-Pa临-∫Qxe-a临d本=c 即 y=effxee 这里c为任意常数 注8可证明只要方程有解，则必有积分因子存在并且积分因子一般是不唯一的例如在例 0中就有子和=两个积分因子，进一李可知它还有积分因子 11 可+严等 注9若4(x,y)是方程(2.27)的一个积分因子，使得
26 0 ( ) 2 3 = − + y ydx x y dy 为全微分方程.由凑微分法易得， 0 2 1 2 = − y y x d ，于是方程通解为 y c y x − = 2 2 1 , 这里c 为任意常数. 例 12 求解方程 P(x) y Q(x) dx dy = + ，其中 P(x),Q(x) 连续. 解 将原方程改写成微分形式 (P(x) y + Q(x))dx − dy = 0 显然 M (x, y) = P(x) y + Q(x), N(x, y) = −1，由此算出 ( ), P(x) N x N y M P x x N y M = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 即(2.39)成立，故可知上方程有积分因子 ∫ = −P x dx x e ( ) µ( ) ，以 ∫ = −P x dx x e ( ) µ( ) 乘上方程，得 到 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ + − ∫ − − e P x y Q x dx e dy P x dx P x dx 为全微分方程.用凑微分法易得 ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ − ∫ ∫ − − d ye Q x e dx P x dx P x dx 所以原方程的通解为 ye Q x e dx c P x dx P x dx = ∫ − ∫ ∫ − ( ) − ( ) ( ) 即 + ∫ ∫ = ∫ − y e Q x e dx c P( x)dx P( x)dx ( ) 这里c 为任意常数. 注 8 可证明只要方程有解，则必有积分因子存在.并且积分因子一般是不唯一的.例如在例 10 中 就 有 2 1 ( ) x µ x = 和 2 1 ( ) y µ y = 两 个 积 分 因 子 ， 进 一 步 可 知 它 还 有 积 分 因 子 2 2 1 , 1 xy x + y 等. 注 9 若 µ(x, y) 是方程(2.27)的一个积分因子，使得
u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=dv(x,y) 则4(x,y)g((xy》也是(2.27)的一个积分因子.其中g)是任一非零可微函数下面是上结 论的一个重要应用，即分组求求积分因子 假设方程的左端可以分成两组，即 (M dx+N,dy)+(Mzdx+N2dy)=0 其中第一组和第二组各有积分因子4(x,)和山，(x,),使得 4(M+N,)=,4(M+N,)=h2 由上结论可知对任意可微函数g1和82，凸g1(心)和48（心）分别为第一，第二组的 积分因子，于是能适当选取g1与g2,使得 4g1()=482(y2) 则4(x)=4,(xy)g,(化，(xy》就是方程(2.27)的一个积分因子 例13求方程x(4dk+2xd)+y3(3vk+5x)=0 解易知 M=4N=2x,M,=3y,N,=5g,-=0业-=7， dy dx dy dx 于是4如+2x=0和3yd水+5灯=0分别有积分因子4=1和4=y子，且 y=x2y和2=y3下面关键是寻找可微函数g,和g2,使得 1×g(x2)=y3g,(y5) 所以可以选取g1(:)=,8,(日)=：2.于是由上面结论可知原方程有积分因子 4=481()=x2y, 以4=x2y乘方程两边，使之 x'y(4xydx+2x'dy)+x'y(3y'dx+5xydy)=0 成为全微分方程.用凑微分法得d(x2y)2+d(x3y)=0,因此原方程通解为 x'y2+xys=c 32
27 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = dv(x, y) 则 µ(x, y)g(v(x, y)) 也是(2.27)的一个积分因子.其中 g(o)是任一非零可微函数.下面是上结 论的一个重要应用，即分组求求积分因子. 假设方程的左端可以分成两组，即 (M1dx + N1dy) + (M 2 dx + N2 dy) = 0 其中第一组和第二组各有积分因子 ( , ) 1 µ x y 和 ( , ) 2 µ x y ，使得 1 1 1 1 2 2 2 2 µ (M dx + N dy) = dv , µ (M dx + N dy) = dv . 由上结论可知对任意可微函数 g1 和 g2 ， ( ) 1 1 1 µ g v 和 ( ) 2 2 2 µ g v 分别为第一，第二组的 积分因子，于是能适当选取 g1 与 g2 ，使得 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 µ g v = µ g v ， 则 ( , ) ( , ) ( ( , )) 1 1 1 µ x y = µ x y g v x y 就是方程(2.27)的一个积分因子. 例 13 求方程 4( 2 ) 3( 5 ) 0 3 x ydx + xdy + y ydx + xdy = 解 易知 3 1 1 2 2 3 2 4 2 2 1 4 , 1 2 , 3 , 5 , ,0 7 y x N y M x N y M M xy N x M y N xy = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = = = = ， 于是 4 2 0 2 xydx + x dy = 和 3 5 0 4 3 y dx + xy dy = 分别有积分因子 µ1 = 1和 3 7 2 − µ = y ，且 v x y 2 1 = 和 3 5 2 v = xy .下面关键是寻找可微函数 g1 和 g2 ，使得 1 ( ) ( ) 3 5 2 3 7 2 1 g x y y g xy − × = . 所以可以选取 2 1 2 g (z) = z, g (z) = z .于是由上面结论可知原方程有积分因子 g v x y 2 1 1 1 µ = µ ( ) = ， 以 x y 2 µ = 乘方程两边，使之 4( 2 ) 3( 5 ) 0 2 2 2 4 3 x y xydx + x dy + x y y dx + xy dy = 成为全微分方程.用凑微分法得 ( ) ( ) 0 2 2 3 5 d x y + d x y = ，因此原方程通解为 x y + x y = c 4 2 3 5
这里c为任意常数 $2.4一阶隐方程的参数形式解 前几节给出的一价方程的儿种解法，均是基于会男显解出面可表不设安=)形 式但对于一般形式F(x,y)=0中无法解出办或者解出少的表达式相当复杂的情况 下，则难以用上述那些方法求解而宜采用引进参数使之变为导数已解出的类型再求解，这 里介绍两种类型 1.可以解出y或x的方程，即y=f(x,y)和x=fy,y). 对于方程 y=f(x,y) (2.42) 这里f(u,)有连续偏导数. 引进参数y=p,则(2.42)改为y=f(x,p),两边对x求导数，并以y=p代入之， 得到 p-出+影安 这是一个关于的一阶微分方程，且它的导数己解出于是可利用上面的方法解之假设其通 解为④(xP,c)=0,则原方程的通解为 φ(xp,c)=0 y=f(x,p) 这里p为参数，c为任意常数 制14求方安+4安+2-2y=0 解从方程中可看到解出少是有一定困难的。但易解出y=+4+2x，令 dx 2 y=p,上方程写成为y=P+4四+2x,两边对x求号数，整理得 2 p=p+2p+2密+2 即 p+2x密+0=0
28 这里c 为任意常数. §2.4 一阶隐方程的参数形式解 前几节给出的一阶方程的几种解法，均是基于 dx dy 明显解出而可表示成 f (x, y) dx dy = 形 式.但对于一般形式 F(x, y, y′) = 0 中无法解出 dx dy 或者解出 dx dy 的表达式相当复杂的情况 下，则难以用上述那些方法求解.而宜采用引进参数使之变为导数已解出的类型再求解，这 里介绍两种类型. 1． 可以解出 y 或 x 的方程，即 y = f (x, y′) 和 x = f ( y, y′) . 对于方程 y = f (x, y′) (2.42) 这里 f (u,v) 有连续偏导数. 引进参数 y′ = p ，则(2.42)改为 y = f (x, p) ，两边对 x 求导数，并以 y′ = p 代入之， 得到 dx dp p f x p p ∂ ∂ + ∂ ∂ = ， 这是一个关于 p 的一阶微分方程，且它的导数已解出.于是可利用上面的方法解之.假设其通 解为Φ(x, p,c) = 0，则原方程的通解为 = Φ = ( , ) ( , , ) 0 y f x p x p c 这里 p 为参数，c 为任意常数 例 14 求解方程 4 2 2 0 2 2 + + − = x y dx dy x dx dy 解 从方程中可看到解出 dx dy 是有一定困难的，但易解出 ( ) 2 4 2 2 2 y yx x y ′ + ′ + = ，令 y′ = p ，上方程写成为 2 4 2 2 2 p px x y + + = ，两边对 x 求导数，整理得 x dx dp p x dx dp p = p + 2 + 2 + 2 ， 即 ( + 2 )( + )1 = 0 dx dp p x
由此可得p=-x+c和p+2x=0,其中c为任意常数，把上述两个式子分别与 y=P+4x+2x联立，可符原方程的通解为 2 [p=-x+c y=pt4px+2x 2 和特解 [p+2x=0 2 这里p为参数，c为任意常数 类似的，对于方程x=fy,y),同样令y=p,于是两边对y求导数，并以y=p代 入，得到 ⊥-亚+迎 p dy dp dy 这是关于p的一阶微分方程，并且它的导数已解出，于是可以用前面的方法解之设其通解 为(yp,c)=0,即得原方程的参数形式通解为 ∫Dy,p,c)=0 x=(Y.D) 这里p为参数，c为任意常数 例15求方程少+-x=0的解 d 期从方款中可看到期会相当两在的，细男出一会+e之，入参效会-P,则 上方程可改写成x=P+e”,两边对y求导，并代入=，符到 dy p 即 dy=(p+pe)dp 由此可得
29 由 此 可 得 p = −x + c和p + 2x = 0 ， 其 中 c 为 任 意 常 数 ， 把 上 述 两 个 式 子 分 别 与 2 4 2 2 2 p px x y + + = 联立，可得原方程的通解为 + + = = − + 2 4 2 2 2 p px x y p x c 和特解 + + = + = 2 4 2 2 0 2 2 p px x y p x 这里 p 为参数，c 为任意常数. 类似的，对于方程 x = f ( y, y′) ，同样令 y′ = p ，于是两边对 y 求导数，并以 y′ = p 代 入，得到 dy dp p f y f p ∂ ∂ + ∂ ∂ = 1 这是关于 p 的一阶微分方程，并且它的导数已解出，于是可以用前面的方法解之.设其通解 为Φ( y, p,c) = 0 ，即得原方程的参数形式通解为 = Φ = ( , ) ( , , ) 0 x f y p y p c 这里 p 为参数，c 为任意常数. 例 15 求方程 + e − x = 0 dx dy dx dy 的解 解 从方程中可看到解出 dx dy 相当困难的，但易解出 dx dy e dx dy x = + ，引入参数 p dx dy = ，则 上方程可改写成 p x = p + e ，两边对 y 求导，并代入 dy p dx 1 = ，得到 dy dp e dy dp p p = + 1 即 dy p pe dp p = ( + ) 由此可得
y=+per-etc. 2 于是原方程的参数形式的通解 2+per-er+c (x=p+ep 其中p为参数，c为任意常数 2.不显含y或x的方程，即F(x,y)=0和FUy,y)=0 对于方程F(x,y)=0,令y=p,则从几何观点看F(x,p)=0表示x-p平面上的 条曲线，若能够把此曲线用适当参数表示成 x=p(1),p=y), 其中1为参数基于基本公式y=pk,则有dy=(I)p(u)d山，即y=「)p(u)dh+c. 于是原方程的参数形式通解为 「x=p) ly=w(o'(t)di+c 其中1为参数，c为任意常数. 注10此方法的关键在于把写成适当的参数形式，使积分易积分出来 钢2求方安+e去0的解 解此方程不显含未知函数y,令y=p,则方程写成p+P-x=0,于是方程可以写成 参数形式 x=t+e D=t 则-p=0+e,计y-0+e-+e-+C,因方程的参数 形式的通解为 x=t+e' y-3e-ec 这里1为参数，C为任意常数 类似的，对于不显含自变量x的方程，采用同样的处理.即对方程F(y,y=0,令
30 pe e c p y p p = + − + 2 2 ， 于是原方程的参数形式的通解 = + = + − + p p p x p e pe e c p y 2 2 其中 p 为参数，c 为任意常数. 2． 不显含 y 或 x 的方程，即 F(x, y′) = 0 和 F( y, y′) = 0 对于方程 F(x, y′) = 0 ，令 y′ = p ，则从几何观点看 F(x, p) = 0 表示 x − p 平面上的 一条曲线，若能够把此曲线用适当参数表示成 x = ϕ(t), p =ψ (t) ， 其中t 为参数.基于基本公式 dy = pdx ，则有 dy =ψ (t)ϕ′(t)dt ，即 ∫ y = ψ (t)ϕ′(t)dt + c . 于是原方程的参数形式通解为 = ′ + = ∫ y t t dt c x t ( ) ( ) ( ) ψ ϕ ϕ 其中t 为参数, c 为任意常数. 注 10 此方法的关键在于把写成适当的参数形式，使积分易积分出来. 例 12 求方程 + e − x = 0 dx dy dx dy 的解 解 此方程不显含未知函数 y ，令 y′ = p ，则方程写成 p + e − x = 0 p ，于是方程可以写成 参数形式 = = + p t x t e t ， 则 dy pdx t e dt t = = 1( + ) ，计算 te e C t y t e dt t t t = + = + − + ∫ 2 1( ) 2 ，因此原方程的参数 形式的通解为 = + − + = + te e C t y x t e t t t 2 2 . 这里t 为参数，C 为任意常数. 类似的，对于不显含自变量 x 的方程，采用同样的处理.即对方程 F( y, y′) = 0 ，令