第五章线性微分方程组 许多实际问题的数学模型表现为复杂的非线性微分方程组，若用近似法把问题简化为线 性微分方程组往往可以获得简捷的解答因此对线性微分方程组研究是十分重要的本章主要 是引进向量和矩阵的记号，借助于高等代数知识来研究其性质，这方面内容要特别注意. $5.1一般理论初步 形如微分方程组 0-2a,0,+06 这里a,)和f0)(亿，j=1,m)在区间[a,b上都是连续的.引入矩阵函数和向量函数 记号： （a,().an(0 x0) (f A0)=.,0=:,了)=： an)）.an) (x(n 0 则可以把方程组(5.1)写成等价的向量的形式 '=A()元+f）(5.2) 称方程组(5.2)为n个一阶线性微分方程组，简称为线性方程组， 若子)≠0，则称(52)为非齐线性微分方程组：若子)=0，此时方程的形式为 =A()元 (5.3) 则称(5.3)为相应于(5.2)的齐线性微分方程组 为了研究线性微分方程组(5,2)解的结构，我们引进下面的概念 1,矩阵函数和向量函数的选续，可微，积分概念及运算公式： 设4A)是区间[a,b]上n阶矩阵函数，()是区间[a,b]上n维列向量函数. 定义1若A()(或())中每一个元均在区间[a,b上连续，则称A1)(或))在[a,b 上是连续的. 同理，可以相应地定义它们可微和积分定义，且有下式： 4o=la6》n,io=(d广Aodh=(Ca,0a 心a0d=(4,od） 设A(),B()是区间a,b上n阶矩阵函数，()，下()是区间[a,b上n维列向量，不难 证明若它们可微，则它们具有下列性质：
84 第五章 线性微分方程组 许多实际问题的数学模型表现为复杂的非线性微分方程组，若用近似法把问题简化为线 性微分方程组往往可以获得简捷的解答.因此对线性微分方程组研究是十分重要的.本章主要 是引进向量和矩阵的记号，借助于高等代数知识来研究其性质，这方面内容要特别注意. §5.1 一般理论初步 形如微分方程组 ( ) ( ) 1 a t x f t dt dx j i n j ij i = ∑ + = (5.1) 这里 a (t) ij 和 f (t) i,( j ,1 , n) i = L 在区间[a,b]上都是连续的.引入矩阵函数和向量函数 记号： = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 a t a t a t a t A t n nn n L L L L L , = ( ) ( ) ( ) 1 x t x t x t n M v , = ( ) ( ) ( ) 1 f t f t f t n M v ， 则可以把方程组(5.1)写成等价的向量的形式 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 称方程组(5.2)为n 个一阶线性微分方程组,简称为线性方程组. 若 f (t) ≠ 0 v ，则称(5.2)为非齐线性微分方程组；若 f (t) = 0 v ，此时方程的形式为 x A t x v v ′ = ( ) (5.3) 则称(5.3)为相应于(5.2)的齐线性微分方程组. 为了研究线性微分方程组(5.2)解的结构，我们引进下面的概念. 1． 矩阵函数和向量函数的连续，可微，积分概念及运算公式： 设 A(t) 是区间[a,b]上 n 阶矩阵函数，u(t) v 是区间[a,b]上n 维列向量函数. 定义 1 若 A(t)（或u(t) v ）中每一个元均在区间[a,b]上连续，则称 A(t)（或u(t) v ）在[a,b] 上是连续的. 同理，可以相应地定义它们可微和积分定义，且有下式： ( ( )) ( ) ( ) n n b a ij b a ij n n i n A t a t u t u t A t dt a t dt × × × ′ = ′ ′ = ′ = ∫ ∫ ( ) , ( ) , ( ) ( ) 1 v 和 1 ( ) ( ) × = ∫ ∫ n b a i b a u t dt u t dt v . 设 A(t), B(t) 是区间[a,b]上 n 阶矩阵函数，u(t),v(t) v v 是区间[a,b]上n 维列向量，不难 证明若它们可微，则它们具有下列性质：
(A)+B)=4A)'+B,()+)=+) (A)B(t)）=A)'B(t)+At)B(), (A)a()）=4)'a()+A)a') 注1行列式的导数与矩阵的导数差别很大，值得同学留意 行列式4)的导数=∑4，这里A,)为40中第i行换成(a).a()的矩 阵. 2.矩阵与向量的范数 对于A=ag)和示=(x)m,我们定义范数 定文2记A=,=立x小，分别称刷4为A和天的范数 设A,B是n阶矩阵，无，是n维向量，不加证明给出下面关于范数的性质： AB例≤4B, A≤4 2)H+刷s+l 际+≤+ 3.关于上述范数意义下的收敛问题 定义3设在()}为区间a,b]上的向量函数序列，这里元()=(x.()若对于每一个正 整数i,有函数序列{x4()}在区间a,b上是收敛的（或一致收敛的），称向量函数序列在 区间a,b]上是收敛的（或一致收敛的） 同理可以类似定义矩阵函数序列，矩阵函数级数和向量函数级数的收敛或一致收敛的概 念进一步，我们不加证明指出它们具有与数学分析中序列和级数平行的性质，可以看成是 其自然推广例如，判别向量函数序列的一致收敛性也有魏尔斯特拉斯判别法，即若存在正 项级数空M,有华，OsM,1e血小，且满足最数空M,收数。则民，O}证 间a,b]上一致收敛 4.李普希兹条件 定义4若n维向量函数了(1，)在闭区域 H=《化，)川k-ta≤a,F-≤b1∈R,次∈R"} 85
85 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,) ( ) ( ) = ( )′ + ( )′ ′ = ′ + ′ + ′ A t + B t A t B t u t v t u t v t v v v v ( ) ( ) ( ) = ( )′ ( ) + ( ) ( ′,) ′ A t B t A t B t A t B t ( ) A(t)u(t) = A(t)′u(t) + A(t)u′(t) v ′ v v . 注 1 行列式的导数与矩阵的导数差别很大，值得同学留意. 行列式 A(t) 的导数 ∑= = n i i A t 1 ( ) ，这里 A (t) i 为 A(t) 中第i 行换成( ( ) ( )) 1 a t a t i in ′ L ′ 的矩 阵. 2． 矩阵与向量的范数 对于 ( ) n n A aij × = 和 ( ) ×1 = i n x x v ，我们定义范数. 定义 2 记 ∑ ∑ = = = = n i i n i j ij A a x x , 1 1 || || , v ，分别称 A x v , 为 A 和 x v 的范数. 设 A,B 是n 阶矩阵， x y v v , 是 n 维向量，不加证明给出下面关于范数的性质： （1） ; , Ax A x AB A B v v ≤ ⋅ ≤ ⋅ （2） . , x y x y A B A B v v v v + ≤ + + ≤ + 3． 关于上述范数意义下的收敛问题 定义 3 设{xk (t)} v 为区间[a,b]上的向量函数序列，这里 ( ) 1 ( ) ( ) × = k ik n x t x t v .若对于每一个正 整数i ，有函数序列{xik (t)}在区间[a,b]上是收敛的（或一致收敛的），称向量函数序列在 区间[a,b]上是收敛的（或一致收敛的）. 同理可以类似定义矩阵函数序列，矩阵函数级数和向量函数级数的收敛或一致收敛的概 念.进一步，我们不加证明指出它们具有与数学分析中序列和级数平行的性质，可以看成是 其自然推广.例如，判别向量函数序列的一致收敛性也有魏尔斯特拉斯判别法，即若存在正 项级数∑= n k M k 1 ，有 x t M t [a b] k k ( ) ≤ ∀ ∈ , v ，且满足级数∑= n k M k 1 收敛，则{xk (t)} v 在区 间[a,b]上一致收敛. 4． 李普希兹条件 定义 4 若n 维向量函数 f t,( x) v v 在闭区域 { ,( |) 0 , 0 , } n H = t x t − t ≤ a x − x ≤ b ∀t ∈ R ∀x ∈ R v v v v
上连续，且存在正常数L>0,使得V(L,元)，亿，x2)∈H，有 了u,)-u,2)≤-2， 则称了亿，x)在H上关于x满足李普希兹条件同理可以类似定义局部李普希兹条件 注2特别地设f,)=A()i+0,若A()和)在-o≤a上连续，则了(，)在 H上关于x满足李普希兹条件 5.解的定义 对于线性微分方程组 =A()F+f0）(52) 这里n阶矩阵函数A(t)和n维向量函数了()在区间a,b上连续. 定义5若存在定义于区间[α，例S[a,b上的向量函数()，能使方程组(5.2)成为恒等式， 则称向量函数1)是方程组(5.2)的解。 定义6若解()还满足初始条件（化）=元，则称()是初值问题 '=A0+f) (5.2) 和 ()=。 的解这里1o∈a,b。∈R 6.关于线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理 有了上述有关概念和性质，我们有如下线性方程组解的存在唯一性定理 定理1若n阶矩阵函数A()和n维向量函数了)在区间a,b上连续，则对于区间a,b 上的任何数1。及任一常数向量元。=(7，n了 线性微分方程组 =A)元+7)(5.2) 存在唯一解：=()，定义于整个区间[a,b上，且满足初始条件 1)=元6 定理1的证明几乎平行于第三章的证明，这里留给同学自己证明. 注3由于方程组(52)是线性微分方程组，因此定理1是全局存在定理，即解的存在区间不
86 上连续，且存在正常数 L > 0 ，使得∀ t,( x1 ), t,( x2 ) ∈ H v v ，有 1 2 1 2 f t,( x ) f t,( x ) L x x v v v v v v − ≤ − ， 则称 f t,( x) v v 在 H 上关于 x v 满足李普希兹条件.同理可以类似定义局部李普希兹条件. 注 2 特别地设 f t,( x) A(t)x g(t) v v v v = + ，若 A(t) 和 g(t) v 在 t − t 0 ≤ a 上连续，则 f t,( x) v v 在 H 上关于 x v 满足李普希兹条件. 5． 解的定义 对于线性微分方程组 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 这里n 阶矩阵函数 A(t) 和n 维向量函数 f (t) v 在区间[a,b]上连续. 定义 5 若存在定义于区间[α,β ] ⊆ [a,b]上的向量函数ϕ(t) v ，能使方程组(5.2)成为恒等式， 则称向量函数ϕ(t) v 是方程组(5.2)的解. 定义 6 若解ϕ(t) v 还满足初始条件 0 0 x(t ) x v v = ，则称ϕ(t) v 是初值问题 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 和 0 0 x(t ) x v v = 的解.这里 [ ] n t 0 ∈ a,b , x0 ∈ R v 6．关于线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理 有了上述有关概念和性质，我们有如下线性方程组解的存在唯一性定理. 定理 1 若n 阶矩阵函数 A(t) 和 n 维向量函数 f (t) v 在区间[a,b]上连续，则对于区间[a,b] 上的任何数 0 t 及任一常数向量 ( ) T n x0 η1 ,L,η v = 线性微分方程组 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 存在唯一解 x ϕ(t) v v = ，定义于整个区间[a,b]上，且满足初始条件 0 0 (t ) x v v ϕ = 定理 1 的证明几乎平行于第三章的证明，这里留给同学自己证明. 注 3 由于方程组(5.2)是线性微分方程组，因此定理 1 是全局存在定理，即解的存在区间不
小于4)和了)的连续区间[a,b小.同时当4)和了)在区间[a,b上给定时，解的存在和 唯一完全由初始值元。确定 7.n阶线性微分方程与n个一阶线性微分方程组的关系 一方面，对于n阶线性方程的初值问题 L.(x)=f() ,)=,)=x"-0=5利 则一定可以化为n个一阶线性方程组的初值问题 x'=A)r+g),o)= (5.5) 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 x 这里40)=. bg()= 0 0 0 0. 1 （-an)-am-()-an-2().-a,() (o) 事实上，设x=x,了=x2,.,x=x.,则方程L(x)=f()就可政写成 x=0x1+1x2+0x+.+0x。, x=0x+0x2+13+.+0-x x=0x+0x2+0-x3+.+1xn x。=-a()x1-an-(0)x2-a(0xn+f)） 所以可以将上式写成向量形式 =A0元+g0),)=(5.5). 另一方面，一般线性微分方程组化不成高阶线性微分方程.事实上，例如 (阅-代)复对世化为三动线性准分方程=里= 的-代到-，立手提上式 个二阶线性微分方程 $5.2线性微分方程组解的结构和性质
87 小于 A(t) 和 f (t) v 的连续区间[a,b].同时当 A(t) 和 f (t) v 在区间[a,b]上给定时，解的存在和 唯一完全由初始值 0 x v 确定. 7． n 阶线性微分方程与n 个一阶线性微分方程组的关系 一方面，对于n 阶线性方程的初值问题 ( ) ( ) ( ) = ′ = = = − −1 0 1 1 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) n n n x t x x t x x t x L x f t L (5.4) 则一定可以化为n 个一阶线性方程组的初值问题 x A t x g(t) v v v ′ = ( ) + ， 0 0 x(t ) x v v = (5.5) 这里 ( ) ( ) ( ) = = − − − − = − − − 1 0 2 0 1 0 0 0 1 2 1 , ( ) 0 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) n n n n x x x x x f t g t a t a t a t a t A t M v M v L L L L L L L L L . 事实上，设 n n x = x x′ = x x′ = x 1 1 2 −1 , ,L, ，则方程 L (x) f (t) n = 就可改写成 n x′ = 0 ⋅ x +1⋅ x + 0 ⋅ x + + 0 ⋅ x 1 1 2 3 L ， n x′ = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x +1⋅ x + + 0 ⋅ x 2 1 2 3 L , . n n x′ = ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + + ⋅ x − 0 0 0 1 1 1 2 3 L , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 x a t x a t x a t x f t n ′ = − n − n− −L− n + 所以可以将上式写成向量形式 x A t x g(t) v v v ′ = ( ) + ， 0 0 x(t ) x v v = (5.5). 另 一 方 面 ， 一 般 线 性 微 分 方 程 组 化 不 成 高 阶 线 性 微 分 方 程 . 事 实 上 ， 例 如 = ′ ′ 2 1 2 1 1 0 0 1 x x x x 仅 可 以 化 为 二 阶 线 性 微 分 方 程 1 1 x′′ = x 且 2 1 x = x′ . 例 如 = ′ ′ 2 1 2 1 0 1 1 0 x x x x 只能表示成 1 1 2 2 x′ = x , x′ = x ，由于 1 x 与 2 x 独立，于是上式不能化为一 个二阶线性微分方程. §5.2 线性微分方程组解的结构和性质
1.齐线性微分方程组解的代数结构 考虑齐线性微分方程组 '=A0(53) 这里A(t)在区间[a,b上连续. 类似于前面第四章$4.1中阶齐线性微分方程解的代数结构，我们给出齐线性微分方程 组的平行定理，值得同学体会 定理2（叠加原理）若(0)和下()是方程组(5.3)的解.则它们的线性组合()+你()也是 方程组(5.3)的解 这里以，B是两个任意常数。 证明代入直接验证即可 此定理2表明方程组（⑤.3）所有解的集合构成一个线性空间，当然要问此空间的维数是多 少？基怎么判定？类似于高等代数中的向量线性相关和线性无关的概念，我们引入向量函数 的线性相关和线性无关概念， 定义7设元)，.，元()是区间a,b)上的m个n维向量函数若存在m个不全为零的常 数G,.,Cm,使得 c()+.+cnx(0）=0∀1e[a,b, 则称这向量函数组在区间,b上线性相关，否则称它们线性无关 例如，元=(10.0，元2=(0.0，x3=20.0为三个n维向量 函数，易知它们在任何区间上线性无关.例如，两个”维向量函数 无=(sint0.0,x2=(cos10.0在任何区间上线性无关例如，两个n维 向量函数元=sin210.0,x2=(cos21-10.0在任何区间上线性相关 下面引入与判定向量函数组线性相关和线性无关有关的伏朗斯基行列式， 定义8设无()，元()是a,b区间上的n个n维向量函数，记 Wn(=W(E).,()=e(),.,元)， 则称W(C)为这向量函数组构成的伏朗斯基行列式这里（民，(），.，元()是n阶矩阵， 定理3设元()，.，R,()是区间a,b上n个n维向量函数组若这向量函数组在区间a,b小 线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W,)=01e[a,b 证明由假设可知存在不全为零的常数G,.,C。,使得
88 1． 齐线性微分方程组解的代数结构 考虑齐线性微分方程组 x A t x v v ′ = ( ) (5.3) 这里 A(t) 在区间[a,b]上连续. 类似于前面第四章§4.1 中n 阶齐线性微分方程解的代数结构，我们给出齐线性微分方程 组的平行定理，值得同学体会. 定理 2（叠加原理）若u(t) v 和v(t) v 是方程组(5.3)的解.则它们的线性组合 u(t) v(t) v v α + β 也是 方程组(5.3)的解. 这里α, β 是两个任意常数. 证明 代入直接验证即可. 此定理 2 表明方程组(5.3)所有解的集合构成一个线性空间，当然要问此空间的维数是多 少？基怎么判定？类似于高等代数中的向量线性相关和线性无关的概念，我们引入向量函数 的线性相关和线性无关概念. 定义 7 设 ( ), , ( ) 1 x t x t m v L v 是区间[a,b]上的 m 个 n 维向量函数.若存在 m 个不全为零的常 数 1 , , m c c L ，使得 c x t c x t t a b 1 1( ) ( ) 0 , + + = ∀ ∈ m m [ ] v v v L ， 则称这向量函数组在区间[a,b]上线性相关，否则称它们线性无关. 例如， ( ) ( ) ( ) T T T x 1 0 0 , x t 0 0 , x t 0 0 2 1 2 3 L v L v L v = = = 为三个 n 维向量 函 数 ， 易 知 它 们 在 任 何 区 间 上 线 性 无 关 . 例 如 , 两 个 n 维 向 量 函 数 ( ) ( ) T T x sin t 0 0 , x cost 0 0 1 2 L v L v = = 在任何区间上线性无关.例如，两个 n 维 向量函数 ( ) ( ) T T x sin t 0 0 , x cos t 1 0 0 2 2 2 1 L v L v = = − 在任何区间上线性相关. 下面引入与判定向量函数组线性相关和线性无关有关的伏朗斯基行列式. 定义 8 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是[a,b]区间上的n 个 n 维向量函数，记 ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ), , ( ) 1 1 W t W x t x t x t x t n n n v L v v L v = = ∆ ， 则称W (t) n 为这向量函数组构成的伏朗斯基行列式.这里( ( ), , ( )) 1 x t x t n v L v 是n 阶矩阵. 定理 3 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是区间[a,b]上n 个 n 维向量函数组.若这向量函数组在区间[a,b] 线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W t t [a b] n ( ) ≡ 0 ∀ ∈ , . 证明 由假设可知存在不全为零的常数 1 , , n c c L ，使得
c(t+.+cx)=01e[a,b], c】 把此式看成是以C,.,C,为未知元的齐线性代数方程组，即（元(，元(）川 0这方 程组的系数行列式就是的伏朗斯基行列式W(),由高等代数理论知 W.(0=0 ViE a.b. 定理证毕 注4定理3的逆定理一般不成立.例如，取三个三雏向量函数 x0=100,x2)=600,0=200 112 一方面有W()=000=01∈R:另一方面元()，元)，x,()在任何区间上线 000 性无关这两方面表明定理3的逆定理此时不真当然想问定理3的逆定理何时成立？ 定理4设元()，.，元()是方程组(5.3)的n个解，若这向量函数组在区间[a,b]上线性无 关，则它们的伏朗斯基行列式W()≠01∈a,b 证明反证，假设结论不真，则存在一个1。∈[a,b小，使得W(亿)=0 构造如下一个齐线性代数方程组： c元()+.+c元)=0(5.6) 注意到它的系数行列式为W(),由于W()=0,由高等代数理论知方程组(5.6)有非零 解C,C2.Cn,以这n个非零常数C,C,.,Cn再构造如下向量函数 )=C无()+C,元，()+.+C元()， 由定理2（叠加原理），知()是方程组(5.3)的解，同时注意到式子5.6)，知它是满足初始 条件(。)=0的解记()=01e[a,b,直接验证知它是方程组(5.3)的解，且满足初 始条件，)=0.比较上述两个解，注意到以下两个事实：一方面它们均为方程组(5.3)的解： 另一方面它们满足同一初始条件。)=()=0.由注3知，即 (t)=()=01∈a,b由于C,C2,.,C.是n个非零常数，于是x(),.,元n()在
89 c x t c x t t a b 1 1( ) ( ) 0 , + + = ∀ ∈ n n [ ] v v v L ， 把此式看成是以 1 , , n c c L 为未知元的齐线性代数方程组，即( ) 1 1 ( ), , ( ) 0 n n c x t x t c = v v v L M .这方 程组的系数行列式就是的伏朗斯基行列式W (t) n ，由高等代数理论知， W t t [a b] n ( ) = 0 ∀ ∈ , , 定理证毕. 注 4 定理 3 的逆定理一般不成立.例如，取三个三维向量函数 ( ) ( ) ( ) T T T x (t) 1 0 0 , x (t) t 0 0 , x (t) t 0 0 2 1 = 2 = 3 = v v v ， 一方面有 t R t t W t = = 0 ∀ ∈ 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 2 3 ；另一方面 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 x t x t x t v v v 在任何区间上线 性无关.这两方面表明定理 3 的逆定理此时不真.当然想问定理 3 的逆定理何时成立？ 定理 4 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是方程组(5.3)的 n 个解，若这向量函数组在区间[a,b]上线性无 关，则它们的伏朗斯基行列式W t t [a b] n ( ) ≠ 0 ∀ ∈ , . 证明 反证，假设结论不真，则存在一个t [a,b] 0 ∈ ，使得 ( ) 0 Wn t 0 = . 构造如下一个齐线性代数方程组： 1 1 0 0 ( ) ( ) 0 n n c x t c x t + + = v v v L (5.6) 注意到它的系数行列式为 ( ) 0 W t n ，由于 ( ) 0 Wn t 0 = ，由高等代数理论知方程组(5.6)有非零 解( ) C C Cn ~ ~ ~ 1 2 L ，以这n 个非零常数C C Cn ~ , , ~ , ~ 1 2 L 再构造如下向量函数: ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) 1 1 2 2 x t C x t C x t C x t n n v L v v v = + + + ， 由定理 2（叠加原理），知 x(t) v 是方程组(5.3)的解，同时注意到式子(5.6)，知它是满足初始 条件 ( ) 0 0 v v x t = 的解.记 x(t) 0 t [a,b] ˆ = ∀ ∈ v v ，直接验证知它是方程组(5.3)的解，且满足初 始条件 ˆ( 0 ) 0 v v x t = .比较上述两个解，注意到以下两个事实：一方面它们均为方程组(5.3)的解； 另 一 方 面 它 们 满 足 同 一 初 始 条 件 ( 0 ) ˆ( 0 ) 0 v v v x t = x t = . 由 注 3 知 ， 即 x t x(t) 0 t [a,b] ˆ ( ) = = ∀ ∈ v v v .由于C C Cn ~ , , ~ , ~ 1 2 L 是 n 个非零常数，于是 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 在
区间上[a,b]线性相关，这与已知条件矛盾.定理证毕 注5设元()，.，x,(0是方程组(53)的n个解则W()在区间[a,上或者处处不为零或 者恒等于零，即元()，.，元()在区间[a,b上线性相关的充分必要条件是存在1。∈a,小， 使得W(a）=0。 注6由注5易知元()=(100，)=600，元()=(200这三个向量 函数不可能同时是任何三阶齐线性微分方程组的三个解， 定理5方程组(5.3)一定存在一组n个线性无关解元()，元，(). 证明目的是利用注3和注5，关健是构造n个初始条件，使得其行列式不等于零.具体做法 如下：注3表明方程组的解存在和唯一完全由初始条件确定，于是任取定1。∈[a,b小，分别 构造如下n个初始条件 0 x,(t。) (o)= 0 (0 因此方程组(5.3)分别对应存在n个解()，.，()且满足W(亿。)=1≠0，由注5知道这n 个解在区间[a,b]上线性无关的，定理证毕 定理6设元，()。.，元()是方程组(53)的n个线性无关解，则的任一解()可以表示成上 面n个解的线性组合 0=立c元0 (6.7) 这里c,C2,C,为相应的确定常数 证明目的由n+1个解确定n个常数，关健是利用注3，注5和高等代数理论 任取定1。∈[a,小，构造以c,C,.,C,为未知元的非齐线性代数方程组 ()=((6)(). (5.8) c) 注意到其系数行列式为W(化。)，且由注5知W(亿。)≠0.于是由高等代数理论，非齐线性代
90 区间上[a,b]线性相关，这与已知条件矛盾.定理证毕. 注 5 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是方程组(5.3)的 n 个解.则W (t) n 在区间[a,b]上或者处处不为零或 者恒等于零，即 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是存在t [a,b] 0 ∈ ， 使得 ( ) 0 Wn t 0 = . 注 6 由注 5 易知 ( ) ( ) ( ) T T T x (t) 1 0 0 , x (t) t 0 0 , x (t) t 0 0 2 1 = 2 = 3 = v v v 这三个向量 函数不可能同时是任何三阶齐线性微分方程组的三个解. 定理 5 方程组(5.3)一定存在一组n 个线性无关解 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v . 证明 目的是利用注 3 和注 5，关键是构造n 个初始条件，使得其行列式不等于零.具体做法 如下：注 3 表明方程组的解存在和唯一完全由初始条件确定，于是任取定t [a,b] 0 ∈ ，分别 构造如下n 个初始条件 = = = 1 0 0 0 , , ( ) 0 0 1 0 , ( ) 0 0 0 1 ( ) 1 0 2 0 0 M v L M v M v x t x t x t n . 因此方程组(5.3)分别对应存在n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 且满足 ( ) 1 0 Wn t 0 = ≠ ，由注5知道这 n 个解在区间[a,b]上线性无关的，定理证毕. 定理 6 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是方程组(5.3)的 n 个线性无关解，则的任一解 x(t) v 可以表示成上 面 n 个解的线性组合 1 ( ) ( ) n i i i x t c x t = = ∑ v v (5.7)， 这里 1 2 , , , n c c c L 为相应的确定常数. 证明 目的由n +1个解确定n 个常数，关键是利用注 3，注 5 和高等代数理论. 任取定t [a,b] 0 ∈ ，构造以 1 2 , , , n c c c L 为未知元的非齐线性代数方程组 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 0 2 0 0 ( ) n n c c x t x t x t x t c = v v v v L M (5.8) 注意到其系数行列式为 ( ) 0 W t n ，且由注 5 知 ( ) 0 Wn t 0 ≠ .于是由高等代数理论，非齐线性代
数方程组(58)有唯一解C,C,.,C。此时这n个常数己经是己知的，以这组数构造一个新向 量函数0-c0注意到似下两点事实： 一是依据叠加原理()为方程组(5.3)的解 二是()和()均为方程组(5.3)的解且具有相同的初始条件（化，）=（化。）那么根据注3， 有0=)=之)，定理证毕 注7定理5和定理6表明方程组(5.3)的线性无关解的最大个数等于n. 注8式子(5.7)称为方程组(5.3)的通解，这表示齐线性微分方程的通解包括了所有解. 注9方程组(5.3)的解空间是n维线性空间，其基称为基本解组，也就是说方程组(5.3)的任 何一组n个线性无关解均为它的一个基本解组，显然基本解组不唯 2.齐线性微分方程组解结构的矩阵表示法 设元()，.，元()是齐线性微分方程组(5.3)的n个解 定义9由这组向量函数作为列向量构成的阶矩阵()=（民，(），无2()，.，元()称为方 程组(5.3)的解矩阵 易知它们的伏朗斯基行列式为W)=det(),根据注5，则有 Wn()≠01e[a,b]或者Wn()=01e[a,b 定义10若()是解矩阵且det()≠01∈[a,b】,则称()为方程组(5.3)的基解矩 阵，即元()，.，天()是线性无关的 于是上面的定理6可以写成矩阵形式 定理6°方程组(5,3)一定存在一个基解矩阵Φ()，则其通解为 ()=()(5.9) 这里c为任意n维常数向量：而且式子(5.9)包括了方程组(5.3)的所有解 注10方程组(5.3)满足初始条件（化。）=元的特解可表示为 ()=()0-()x,(5.10). 定理7(1)n阶矩阵Φ()是方程组(5.3)解矩阵的充要条件是Φ(t)满足Φ'()=A(t)心()： (2)n阶矩阵()是方程组(5.3)基解矩阵的充要条件是Φ'()=A)()且 det(o)≠03l。∈a,b]. 9
91 数方程组(5.8)有唯一解 1 2 , , , n c c c L .此时这 n 个常数已经是已知的，以这组数构造一个新向 量函数 1 ˆ ( ) ( ) n i i i x t c x t = = ∑ v v .注意到以下两点事实：一是依据叠加原理 ( ) ˆx t v 为方程组(5.3)的解； 二是 x(t) v 和 ( ) ˆx t v 均为方程组(5.3) 的解且具有相同的初始条件 ( ) ˆ ( ) 0 0 x t x t v v = .那么根据注 3， 有 1 ˆ ( ) ( ) ( ) n i i i x t x t c x t = = = ∑ v v v ，定理证毕. 注 7 定理 5 和定理 6 表明方程组(5.3)的线性无关解的最大个数等于n . 注 8 式子(5.7)称为方程组(5.3)的通解，这表示齐线性微分方程的通解包括了所有解. 注 9 方程组(5.3)的解空间是 n 维线性空间，其基称为基本解组，也就是说方程组(5.3)的任 何一组n 个线性无关解均为它的一个基本解组，显然基本解组不唯一. 2． 齐线性微分方程组解结构的矩阵表示法 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是齐线性微分方程组(5.3)的 n 个解. 定义 9 由这组向量函数作为列向量构成的 n 阶矩阵 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 t x t x t x t n v L v v Φ = 称为方 程组(5.3)的解矩阵. 易知它们的伏朗斯基行列式为W (t) det (t) n = Φ ，根据注 5，则有 W t t [a b] n ( ) ≠ 0 ∀ ∈ , 或者W t t [a b] n ( ) ≡ 0 ∀ ∈ , . 定义 10 若Φ(t) 是解矩阵且detΦ(t) ≠ 0 ∀t ∈[a,b]，则称Φ(t) 为方程组(5.3)的基解矩 阵，即 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是线性无关的. 于是上面的定理 6 可以写成矩阵形式. 定理 6 * 方程组(5.3)一定存在一个基解矩阵Φ(t) ，则其通解为 x t t c v v ( ) = Φ( ) (5.9) 这里c v 为任意n 维常数向量；而且式子(5.9)包括了方程组(5.3)的所有解. 注 10 方程组(5.3)满足初始条件 0 0 x(t ) x v v = 的特解可表示为 0 0 1 x(t) (t) (t )x v − v = Φ Φ (5.10). 定理 7 （1）n 阶矩阵Φ(t) 是方程组(5.3)解矩阵的充要条件是Φ(t) 满足Φ′(t) = A(t)Φ(t) ； （ 2 ） n 阶 矩 阵 Φ(t) 是 方 程 组 (5.3) 基 解 矩 阵 的 充 要 条 件 是 Φ′(t) = A(t)Φ(t) 且 det (t ) 0 t [a,b] Φ 0 ≠ ∃ 0 ∈
(3)设Φ()是方程组(5,3)的基解矩阵，C为n阶非奇异常数矩阵，则Φ()C也是方程组(5.3) 的基解矩阵： (4)设()，平)在区间[a,b)上是方程组(5.3)的两个基解矩阵，则一定存在一个n阶非奇 异常数矩阵C,满足平()=Φ(t)Cte[a,b]: (5)设n阶矩阵1)是方程组(5.3)的解矩阵，其伏朗斯基行列式为W()=detD(),则 有形.)=形.（e 这里4)为4)的迹，即mA)=∑a。(),1为区间[a,b]上任取定值 证明(1)由分块矩阵和解矩阵的定义易证结论(1)成立 (2)根据(1)，()是解矩阵的充要条件是④'()=4(t)心()，因此矩阵()的每列构 成的列向量组无，()，.，x()均是方程组(5.3)的解，由其构成的伏朗斯基行列式为 W()=detD(),由注5知道向量组元()，元)线性无关，也就是说矩阵()为基解 佰阵 (3)利用(2)易证(3)结论成立，留给同学作为练习。 (4)由于(t)是基解矩阵，所以1∈a,b有④~'()存在，且在区间a,b上可微，于是 对式子()师()=E的两边关于1求导有'()师)+)师()=0，即 (Φ()=-Φ-()Φ'()-().要证Φ-()Ψ()是常数矩阵，只要证Φ-()Ψ()的导数 为零即可计算 (Φ-()Ψ)=（Φ-）平)+Φu)Ψ')=-Φ-'()4)Ψ)+Φ)4)平(0 =0 Vie la,b] 因此Φ~'()()为常数矩阵所以结论成立 (5)记解元，=(，x2,.x了了=1,2，n,直接计算
92 (3)设Φ(t) 是方程组(5.3) 的基解矩阵，C 为n 阶非奇异常数矩阵，则Φ(t)C 也是方程组(5.3) 的基解矩阵； （4）设Φ(t),Ψ(t) 在区间[a,b]上是方程组(5.3)的两个基解矩阵，则一定存在一个n 阶非奇 异常数矩阵C ，满足Ψ(t) = Φ(t)C ∀t ∈[a,b]； （5）设n 阶矩阵Φ(t) 是方程组(5.3) 的解矩阵，其伏朗斯基行列式为W (t) det (t) n = Φ ，则 有 ∫ = t t trA t ds n n W t W t e 1 ( ) 1 ( ) ( ) ， 这里trA(t) 为 A(t) 的迹，即 ∑= = n i ii trA t a t 1 ( ) ( ) ， 1 t 为区间[a,b]上任取定值. 证明（1）由分块矩阵和解矩阵的定义易证结论（1）成立. （2）根据（1），Φ(t) 是解矩阵的充要条件是Φ′(t) = A(t)Φ(t) ，因此矩阵Φ(t) 的每列构 成的列向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 均是方程组(5.3)的解，由其构成的伏朗斯基行列式为 W (t) det (t) n = Φ ，由注 5 知道向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 线性无关，也就是说矩阵Φ(t) 为基解 矩阵. (3)利用（2）易证（3）结论成立，留给同学作为练习。 （4）由于Φ(t) 是基解矩阵，所以∀t ∈[a,b]有 ( ) 1 t − Φ 存在，且在区间[a,b]上可微，于是 对 式 子 Φ t Φ t = E − ( ) ( ) 1 的 两 边 关 于 t 求 导 有 ( ) n n t t t t × − − = ′ Φ′( )Φ ( ) + Φ( ) Φ ( ) 0 1 1 ， 即 ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 t t t t − − − = −Φ Φ′ Φ ′ Φ .要证 ( ) ( ) 1 Φ t Ψ t − 是常数矩阵，只要证 ( ) ( ) 1 Φ t Ψ t − 的导数 为零即可.计算 ( ) ( ) t [ ] a b t t t t t t t A t t t A t t n n 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = ∀ ∈ Ψ + Φ Ψ′ = −Φ Ψ + Φ Ψ ′ = Φ ′ Φ Ψ × − − − − − ， 因此 ( ) ( ) 1 Φ t Ψ t − 为常数矩阵.所以结论成立. （5）记解 x (x x x ) j n T j j j nj ,2,1 , 1 2 L L v = = ，直接计算
g. x12 x3. d 22 arn Eo,a,. . . =a.0=o形，0 这是关于W()的一阶齐线性微分方程，由此解出W()即可表示结论成立 例1证明Φ()= 6)e 0这) 的基解矩阵 证明首先直接计算 o0-6）0-0-6:） 所以D()是方程组的解矩阵 其次计算det(O)=1≠0，所以④(1)是方程组的基解矩阵 3.非齐线性微分方程组解的结构 考虑非齐线性微分方程组 =A0F+了) (52) 其对应的齐线性微分方程组为 '=A(0)F (5.3) 这里n阶矩阵函数A)和n维向量函数均在区间[a,b]上连续，易证上述方程组有两个性 质： 性质1若0)是方程组(52)的解，)是方程组(5.3)的解，则)+9)是(5.2的解： 性质2若，(0)和可，()是方程组(5.2)的两个解，则可()-可，()是方程组(53)的解. 定理8设()为方程组(53)的基解矩阵，)为方程组(5.2)的解，则方程组(52)的通解 为 x()=p(te+)(5.1) 93
93 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 11 12 13 1 1 1 2 3 1 2 3 11 12 13 1 a W t trA t W t x x x x a x a x a x a x x x x x x x x x dt dx dt dx dt dx dt dx x x x x dt dW t n n n i ii n i n n n nn n j ij jn n j ij j n j ij j n j ij j n n i n n n nn i i i in n n ⋅ = ⋅ = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 这是关于W (t) n 的一阶齐线性微分方程，由此解出W (t) n 即可表示结论成立. 例 1 证明 Φ = t t t e e te t 0 ( ) 是方程组 x x v v ′ = 0 1 1 1 ，这里 = 2 1 x x x v 的基解矩阵 证明 首先直接计算 + Φ′ = t t t t e e e te t 0 ( ) 和 + = Φ = t t t t t t t e e e te e e te A t t 0 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ， 所以Φ(t) 是方程组的解矩阵. 其次计算detΦ )0( = 1 ≠ 0 ，所以Φ(t) 是方程组的基解矩阵. 3． 非齐线性微分方程组解的结构 考虑非齐线性微分方程组 x A t x f t ′ = + ( ) ( ) v v v (5.2) 其对应的齐线性微分方程组为 x A t x v v ′ = ( ) (5.3) 这里 n 阶矩阵函数 A(t) 和 n 维向量函数均在区间[a,b]上连续，易证上述方程组有两个性 质： 性质 1 若ϕ(t) v 是方程组(5.2)的解，ψ (t) v 是方程组(5.3)的解，则ϕ(t) ψ (t) v v + 是(5.2)的解； 性质 2 若 ( ) 1 ϕ t v 和 ( ) 2 ϕ t v 是方程组(5.2)的两个解，则 ( ) ( ) 2 1 ϕ t ϕ t v v − 是方程组(5.3)的解. 定理 8 设Φ(t) 为方程组(5.3)的基解矩阵，ϕ(t) v 为方程组(5.2)的解，则方程组(5.2)的通解 为 x(t) (t)c ϕ(t) v v v = Φ + (5.11)