第二章点、直线和平面的投影 本章重点: 点的坐标与投影,重影点; 直线在三面投影体系中的投影特性 平面的投影特性,平面上的直线和点。 本章难点 求线段的实长及其对投影面的倾角 两直线的相对位置 直线上的点和平面上的线。 本章要求 同本章的过学习,要掌握点、直线和平面的投影特性,两点的相对位置及重影点。直线上 点的投影,平面上的直线和点投影,一般位置直线求实长和对投影面的倾角,两直线的相 对位置以及直线与平面的相对位置 四、本章内容: §2-1投影法的基本知识 投影法的概念 有太阳光和灯光照射时,物体就会在地面或墙上有影子,如下图。 这种用投影线通过物体,在给定投影平面上作出物体投影的 投影中心S 投影线 投影面P 投影概念 方法称为投影法
第二章 点、直线和平面的投影 一、本章重点： 点的坐标与投影，重影点； 直线在三面投影体系中的投影特性； 平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 求线段的实长及其对投影面的倾角； 两直线的相对位置； 直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上 点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相 对位置以及直线与平面的相对位置。 四、本章内容： §2—1 投影法的基本知识 一、投影法的概念 有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，如下图。 这种用投影线通过物体，在给定投影平面上作出物体投影的 投影中心S 投影线 b a c A B C 投影面P 投影概念 方法称为投影法
二、投影法的种类 1.中心投影法 投影线从一点发出,如上图。该投影法的特点是,物体距离投影面的距离不同时,得到的 投影的大小不同。因此,中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小,所以机械制图 不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点,常用于绘制建筑物的外观图, 也称为透视图。 2.平行投影法 投影线相互平行,在投影面上作出物体投影的方法,就称为平行投影法。如下图。 投影方向 投影方向 C 投影线 投影线 投影面 段影面 平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影 平行投影法的特点是,物体的投影与物体距投影面的距离无关,投影都能够真实地反映物 体的形状和大小 平行投影法中又可分为两种,一种是正投影,投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影 投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法,它是我们学习的重点 §2-2点的投影 多面投影的形成 点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置,如右 图,A、A0的投影都是a,这样一来就不能唯一确定A点的空 间位置。因此,利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系,作出多面正投影 点的投影
二、投影法的种类 1．中心投影法 投影线从一点发出，如上图。该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的 投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图 不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图， 也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。如下图。 投影方向 A C B A B C 投影线 投影面P a c b a b c 投影面P 投影方向 投影线 平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物 体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影， 投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 §2—2 点的投影 一、多面投影的形成 点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置，如右 图，A、A0 的投影都是 a,这样一来就不能唯一确定 A 点的空 间位置。因此，利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系，作出多面正投影。 点的投影 A A a p o
二、点在两个投影面体系中的投影 如图 (a)立体图 (b)投影面展开后 (c)投影图 点在两面体系中的投影 投影 (1)点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴,即a'a⊥OX (2)点的正面投影到OX轴的距离,反映该点到H面的距离,点的水平投影到OX轴的距 离,反映该点到V面的距离,即a'ax=Aa,ax=Aa'。 三、点在三个投影面体系中的投影 点在两面投影体系已能确定该点的空间位置,但为了更清楚地表达某些形体,有时需要在 两投影面体系基础上,再增加一个与H面及V面垂直的侧立的投影面W面,形成三面投 影体系。如下图。 (b)投影面展开后 (c)投影图 点在三面体系中的投影
二、点在两个投影面体系中的投影 如图 （b)投影面展开后 0 (a)立体图 X H H X V A V (c)投影图 a 0 a X 0 a' a' a ax ax ax 点在两面体系中的投影 投影特性： （1）点的正面投影和水平投影连线垂直 OX 轴，即 a’a⊥OX; （2）点的正面投影到 OX 轴的距离，反映该点到 H 面的距离，点的水平投影到 OX 轴的距 离，反映该点到 V 面的距离，即 a’ax=Aa, aax=Aa’。 三、点在三个投影面体系中的投影 点在两面投影体系已能确定该点的空间位置，但为了更清楚地表达某些形体，有时需要在 两投影面体系基础上，再增加一个与 H 面及 V 面垂直的侧立的投影面 W 面，形成三面投 影体系。如下图。 V Z H Y W X V Z W H Y Y Y X Z O Y A O a' a a ay x a z ax a' a N ayw w a z a" O a' a O W N a" (a)立体图 （b）投影面展开后 （c）投影图 N ay 点在三面体系中的投影
投影特性:(1)aa⊥Ox,a'a”⊥OZ,aayH⊥OYH,a"ayw⊥OYW (2)a' ax=Aa, aax=Aao aaz=Aa" 四、点的投影与坐标 根据点的三面投影可以确定点在空间位置,点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定 点的正面投影由点的X、Z坐标决定,点的水平投影由点的X、Y坐标决定,点的侧面投 影由点的Y、Z坐标决定。 例题1已知点A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)求作各点的三面投影 分析:由于ZB=0,所以B点在H面上,YC=0,ZC=0,则点C在X轴上。 在OX轴上量取oax=20 过ax作a'⊥OX轴,并使ax=15,a'aZ=10 过a'作a”⊥OZ轴,并使aaZ=ax,a,a,a”即为所求A点的三面投影。 Cx 0 yH YH 根据点的坐标求点的投影 作B点的投影: 在OX轴上量取obX=30 过bX作b⊥OX轴,并使bbX=0,bbX=10,由于ZB=0,bbX重合。即b在Ⅹ轴上 因为ZB=0,b在OYW轴上,在该轴上量取Obyw=10得b”,则b、b’、b即为所求B点 的三面投影
投影特性：（1）a’a⊥OX, a’a”⊥OZ, aayH⊥OYH, a”ayW⊥OYW （2）a’ax=Aa, aax=Aa’。 a’aZ=Aa” 四、点的投影与坐标 根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。 点的正面投影由点的 X、Z 坐标决定，点的水平投影由点的 X、Y 坐标决定，点的侧面投 影由点的 Y、Z 坐标决定。 例题 1 已知点 A（20，15，10）、B（30，10，0）、C（15，0，0）求作各点的三面投影。 分析：由于 ZB=0，所以 B 点在 H 面上，YC=0，ZC=0，则点 C 在 X 轴上。 在 OX 轴上量取 oax=20; 过 ax 作 aa’⊥OX 轴，并使 aax=15, a’aZ=10; 过 a’作 aa”⊥OZ 轴，并使 a”aZ= aax, a, a’,a”即为所求 A 点的三面投影。 X YW Z YH b' bX b a a' a" O c" b" ayw c'cx c az ax byw H byH ay 根据点的坐标求点的投影 作 B 点的投影： 在 OX 轴上量取 obX=30; 过 bX 作 bb’⊥OX 轴，并使 b’bX=0, bbX=10,由于 ZB=0，b’,bX 重合。即 b’在 X 轴上； 因为 ZB=0，b’在 OYW 轴上，在该轴上量取 Obyw=10,得 b”，则 b、b’ 、b”即为所求 B 点 的三面投影
作C点的投影: 在OX轴上量取OCX=15 由于Yc=0,Zc=0,c、c'都在OX轴上,与c重合,c与原点O重合 五、两点的相对位置 空间点的相对位置,可以利用两点在同面投影的坐标来判断,其中左右由X坐标差判别 上下由Z坐标差判别,前后由Y坐标差判别。如图。 (a)立体图 (b)投影图 两点间的相对位置 Za>ZbA点在B点上方, Ya>YbA点在B点的前方,Xa>XbA点在B点的左方。A点在B 点的左前上方。 六、重影点 a'(b’) a(d)c Y (a)直观图 (h)投影图 重影点
作 C 点的投影： 在 OX 轴上量取 OCX=15; 由于 Yc=0，Zc=0,c、c’都在 OX 轴上，与 c 重合，c”与原点 O 重合。 五、两点的相对位置 空间点的相对位置，可以利用两点在同面投影的坐标来判断，其中左右由 X 坐标差判别， 上下由 Z 坐标差判别，前后由 Y 坐标差判别。如图。 V Z W Y H A B a' a a" b" b b' a' a" a b' b b" 0 X YW YN Z ZA-ZB YA-YB XA-XB YA-YB (a) 立体图 （b) 投影图 两点间的相对位置 Za>ZbA 点在 B 点上方，Ya>YbA 点在 B 点的前方，Xa>XbA 点在 B 点的左方。A 点在 B 点的左前上方。 六、重影点 重影点 X (f'') X D (a) 直观图 b (d)c e a Y f a'(b') E B V Z A c' d' C e'' W F Y b H （b) 投影图 (d)c e a f Y W d' d" (b') e' a' f' c' b" Z e"(f") c" a
当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时,两点在该投影面上的投影重 合,称为重影点。如上图 直线的投影 、直线的投影 直线可以由线上的两点确定,所以直线的投影就是点的投影,然后将点的同面投影连接, 即为直线的投影,如图。 直线的三面投影 各种位置直线的投影 投影面平行线 直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时,称为投影面平行线。 正平线一—平行于V面倾斜于H、W面 水平线一—平行于H面倾斜于V、W面; 侧平线一一平行于W面倾斜于H、V面。 投影面平行线特性 平行于那个投影面,在那个投影面上的投影反映该直线的实长,而且投影与投影轴的夹角, 也反映了该直线对另两个投影面的夹角,而另外两个投影都是类似形,比实长要短。P36 表2-1。 投影面垂直线 直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时,称为投影面垂直线 正垂线一一垂直于V面平行于H、W面
当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时，两点在该投影面上的投影重 合，称为重影点。如上图。 §2—3 直线的投影 一、直线的投影 直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接， 即为直线的投影，如图。 V X Z W H Y A B a b a' b' a" b" a' a" a b' b b" X 0 YW X b' b a a' Z YN a" b" YW YN Z 0 (a) (b) (c) 直线的三面投影 二、各种位置直线的投影 投影面平行线 直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。 正平线——平行于 V 面倾斜于 H、W 面； 水平线——平行于 H 面倾斜于 V、W 面； 侧平线——平行于 W 面倾斜于 H、V 面。 投影面平行线特性： 平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角， 也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。P36 表 2—1。 投影面垂直线 直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。 正垂线——垂直于 V 面平行于 H、W 面；
铅垂线一一垂直于H面平行于V、W面 侧垂线一一垂直于W面平行于V、H面 投影面垂直线特性 垂直于那个投影面,在那个投影面上的投影积聚成一个点,而另外两个投影面上的投影平 行于投影轴且反映实长。表2-2 3.一般位置直线 直线与三个投影面都处于倾斜位置,称为一般位置直线 b (c) 般位置直线 一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长,而且于投影轴的夹角也不反映空间直 线对投影面的夹角 三、一般位置直线的实长及其与投影面夹角 一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角, 我们利用直角三角形法求得。如图所示。 IAn 求一般位置直线的实长及对投影面的夹角
铅垂线——垂直于 H 面平行于 V、W 面； 侧垂线——垂直于 W 面平行于 V、H 面。 投影面垂直线特性： 垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平 行于投影轴且反映实长。表 2—2 3．一般位置直线 直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。 b (a) b' B V a' a b" W A a" (c) b b' a a' a" b" 0 α α γ 1 一般位置直线 一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直 线对投影面的夹角。 三、一般位置直线的实长及其与投影面夹角 一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角， 我们利用直角三角形法求得。如图所示。 V A B a' b' a b c b' a' a a、 、 b b' a b a' b' β α Za-Zb Zb Za Yb-Ya Za-Zb Yb-Ya Za-Zb β α b、 a、' b、' AB α (a) (b) (c) AB AB 求一般位置直线的实长及对投影面的夹角
四、直线上点的投影 如果点在直线上,则点的各个投影必在该直线的同面投影上,并将直线的各个投影分割成 和空间相同的比例 直线上的点 五、两直线的相对位置 1.两直线平行 两直线平行 两直线空间平行,投影面上的投影也相互平行 2.两直线相交 B 两直线相交
四、直线上点的投影 如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成 和空间相同的比例。 A B C a b c a' b' c' V H a b c a b c' ' ' 直线上的点 五、两直线的相对位置 1．两直线平行 a b c d a' b' c' d' V A C B D a b a' b' c' d' c d (a) (b) 两直线平行 两直线空间平行，投影面上的投影也相互平行。 2．两直线相交 V A B C D c' d' a' b' a b k d k' c a b c c' d' b' d (a) (b) k k' k a' 两直线相交
空间两直线相交,交点K是两直线的共有点,K点的投影,符合点的投影规律 3.两直线交叉 两直线交叉 空间两直线不平行又不相交时称为交叉。交叉两直线的同面投影可能相交,但它们各个投 影的交点不符合点的投影规律。 六、两直线垂直相交 空间两直线垂直相交,其中有一直线平行于某投影面时,则两直线在所平行的投影面上的 投影反映直角。 A (b) 垂直相交两直线的投影 证明:因为AB⊥BC,AB⊥Bb,所以AB必垂直于BC和Bb决定的平面Q及Q面上过垂 足B的任何一直线(BC1、BC2.)因AB∥ab故ab也必垂直于Q面过垂足b的任一直 线,即ab⊥bc
空间两直线相交，交点 K 是两直线的共有点，K 点的投影，符合点的投影规律。 3．两直线交叉 V B A a a' c' b' d' c d b C D 1' 3'(4') 1(2) 2' a' B' C' 3'(4')1' 2' 1(2) 3 4 A B D C (a) (b) 3 4 两直线交叉 空间两直线不平行又不相交时称为交叉。交叉两直线的同面投影可能相交，但它们各个投 影的交点不符合点的投影规律。 六、两直线垂直相交 空间两直线垂直相交，其中有一直线平行于某投影面时，则两直线在所平行的投影面上的 投影反映直角。 Q A B c a c' b' a' c c1 c2 b a c(c2 c1) (a) (b) 垂直相交两直线的投影 证明：因为 AB⊥BC，AB⊥Bb，所以 AB 必垂直于 BC 和 Bb 决定的平面 Q 及 Q 面上过垂 足 B 的任何一直线（BC1、BC2……）因 AB∥ab 故 ab 也必垂直于 Q 面过垂足 b 的任一直 线，即 ab⊥bc
例题:如图,已知点C及直线AB的两面投影,试过C点作直线AB的垂线CD,D为垂 足,并求CD的实长。 (a)已知条件 (b)求解 求点到直线的垂足及距离 分析:因为ab∥OX,所以AB是正平线,又因CD与AB垂直相交,D为交点,则ab⊥cd, 由d可在ab上求得d。利用直价三角形法可求得CD的实长。 作法:1)c作cd'⊥ab得交点d 2)由d引投影连线与ab交得d 3)连c和d,则c'd'、cd即为垂线CD的两面投影 4)用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD 平面的投影 、平面的表示法 用几何元素表示平面 a)不在同一直线上的三点(b)一直线和线外一点()相交两直线(d)平行两直线 (e)平面图形 用几何元素表示平面
例题：如图，已知点 C 及直线 AB 的两面投影，试过 C 点作直线 AB 的垂线 CD，D 为垂 足，并求 CD 的实长。 a' b' a b a' b' a b c c' (a)已知条件 (b) 求解 c' c d' d CD 求点到直线的垂足及距离 分析：因为 ab∥OX，所以 AB 是正平线，又因 CD 与 AB 垂直相交，D 为交点，则 a’b’⊥ c’d’, 由 d’可在 ab 上求得 d。利用直价三角形法可求得 CD 的实长。 作法：1）c’作 c’d’⊥a’b’得交点 d’； 2）由 d’引投影连线与 ab 交得 d; 3）连 c 和 d，则 c’d’、cd 即为垂线 CD 的两面投影； 4）用直角三角形法求得 C 与直线 AB 之间的真实距离 CD。 §2—4 平面的投影 一、平面的表示法 用几何元素表示平面 b' b a' a c' c b' b a' a c' c b' b' a' a c' c b' b a' a c' c b' b a' a c' c (a)不在同一直线上的三点 (b)一直线和线外一点 (c)相交两直线 (d) 平行两直线 (e)平面图形 d' d 用几何元素表示平面