s9.3 欧氏空间同构2
§9.3 欧氏空间同构 2
定义8实数域R上的欧氏空间V与V同构，如果存在双射o：V-V'，满足：对任意的α，βEV，kER,1)c(α+β) =α(α) + (β);2)c(ka) = ko(α) ;3)（(c(α) ,o(β) ) = (α,β) :该映射c称为V到V的同构映射，并记为VVl>注：由该定义可知欧氏空间V到V'的同构映射一定是线性空间V到V'的同构映射，故得如下性质：性质1有限维欧氏空间V=V/当且仅当dimV=dimVl证明：必要性若VV!→作为线性空间来说，V与V'仍然同构，据线性空间理论即知dimV=dimVl充分性设dimV=dimVl。当n=O时，它们显然同构
定义8 实数域R上的欧氏空间V与V/同构，如果存在双射σ ：V→V/ ，满足：对任意的α，β∈V，k∈R， 1） σ(α+β) =σ(α) + σ(β)； 2） σ(kα) = kσ(α)； 3） (σ(α) ,σ(β) ) = (α,β) . 该映射σ称为V到V/的同构映射，并记为V≌V/ . ➢注：由该定义可知欧氏空间V到V/的同构映射一定是线性 空间V到V/的同构映射，故得如下性质： 性质1 有限维欧氏空间V≌V/当且仅当dimV=dimV/ . 证明: 必要性 若V≌V/ → 作为线性空间来说，V与V/仍 然同构，据线性空间理论即知dimV=dimV/ . 充分性 设dimV=dimV/ . 当n = 0时，它们显然同构
当n≥0时，设α1,α2"αn与β1,β2,β,分别为V及V/的标准正交基,则 f: α= Xα+x2α2+ ... +xnαn→f(α)=β=xβ+x2β2+…+x,β,是线性空间V到V/的同构映射，且取=Yiαi+y2α2+... +ynαn,有(α,) =xiy1 + x2y2 + ... + xnyn=(f(α), f() ),即f是欧氏空间V到V'的同构映射，VV!口性质2任一n维欧氏空问V都与Rn同构证明：据题设dimV=dimRn及性质1，即知VRn.性质3欧氏空问之问的同构关系具有自反性、对称性、传递性，证明：略
当n ≥0时，设α1 ,α2 ,···,αn 与β1 ,β2 ,···,βn分别为V及V/的标准正 交基，则 f : α= x1α1+x2α2+ ··· +xnαn → f(α) =β= x1β1+x2β2+ ··· +xnβn 是线性空间V到V/ 的同构映射，且 取γ= y1α1+y2α2+ ··· +ynαn , 有 (α,γ) = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn= ( f (α), f (γ) ), 即 f 是欧氏空间V到V/的同构映射， V≌V/ . □ 性质2 任一n维欧氏空间V都与Rn同构. 证明：据题设dimV= dimRn 及性质1，即知V≌Rn . □ 性质3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、 传递性. 证明： 略