沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

-2.3随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、 分布函数的性质三、小结沈阳师范大学

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、小结 2.3 随机变量的分布函数

一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值要知道X取这些值的概率例如求随机变量 X 落在区间(xi,x,J内的概率P(X ≤ x}P(x x} =1-P(X≤x)分布函数沈阳师范大学

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 { } 1 { } 1 1 P X  x = − P X  x 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入 ( , ) . 又如 求随机变量 X 落在区间 x1 + 内的概率 分布函数

H1中2.分布函数的定义Cumulative distribution function定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x) = P(X≤ x)称为X的分布函数说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况(2)分布函数 F(x)是定义在(-o0,+)上,取值于[0,1]的一个函数沈阳师范大学

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称为 的分布函数 定义 设 是一个随机变量 是任意实数 函数 X F x P X x X x =  (2) ( ) , , 0,1 ( )   . 分布函数 F x 是 定义在 − + 上 取值于 的一个函数 Cumulative distribution function

1中实例抛掷均匀硬币，令[1,出正面,X =0,出反面求随机变量X的分布函数1解P(X =1)= P(X =0) = 2'x01当x<0时,=0;F(x)= P(X ≤x)沈阳师范大学

实例 抛掷均匀硬币, 令    = 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. 解 P X{ 1} = = = P X{ 0} , 2 1 = • 0 • 1 x 当 x  0时, F x P X x ( ) { } =  = 0;

Hx01当0≤x<1时,F(x) = P(X≤x}= P(X = 0) :2当x≥1时，[0,x<0,F(x)= P(X ≤ x)1=P(X=0)+ P(X=1) 得 F(x) :0≤x<1,21[1,x ≥1.22沈阳师范大学

• 0 • 1 x 当0  x  1时, F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 2 1 = 当 x  1时, F(x) = P{X  x} = P{X = 0}+ P{X = 1} 2 1 2 1 = + = 1.            = 1, 1. , 0 1, 2 1 0, 0, ( ) x x x 得 F x

二、分布函数的性质单调非减性(1) F(x)≤ F(x),，(x, <x,);(2) 0 ≤ F(x)≤1, xE (-0,); 有界性特别地, F(-oo)= lim F(x)= 0, F(oo)= lim F(x)=1;-0x→800+x0X(3) lim F(x)= F(x), (-00 < x< 0)X-→Xo即任一分布函数处处右连续即 F(x+0)= F(x)沈阳师范大学

(2) 0 ( ) 1, ( , );    −  F x x 1 2 1 2 (1) ( ) ( ), ( ); F x F x x x   二、分布函数的性质 有界性 单调非减性 , ( ) lim ( ) 0, x F F x → − 特别地 − = = o x o x () = lim ( ) = 1; → F F x x 0 0 0 (3) lim ( ) ( ), ( ). x x F x F x x → + = −    即任一分布函数处处右连续. 0 0 即 ( +0) ( ). F x F x =

-+重要公式(1) P(a a) =1- F(a)沈阳师范大学

重要公式 (1) P{a  X  b} = F (b) − F (a) , (2) P{X  a} = 1 − F (a)

F例1设离散型随机变量X的分布列为01-1X111P362求X的分布函数 F(x)，并求(1) P(X ≤23(2) P(<X≤0)2(3) P(0 ≤ X ≤1)沈阳师范大学

设离散型随机变量 X 的分布列为 X P −1 0 1 6 1 2 1 3 1 例1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 { }; 2 3 2 { 0}; 2 3 {0 1}. X F x P X P X P X  −     求 的分布函数 并求

H0.x<-1.1-1≤x<0,3HCxF(x)50≤x<1,6(1 ,x ≥1.Hm01X沈阳师范大学

0, 1, 1 , 1 0, 3 ( ) 5 , 0 1, 6 1 , 1. x x F x x x   −   −    =        

-练习设离散型随机变量X的分布列为23-1XP0.50.250.25求PX ≤0.5},P(1.5<X ≤ 2.5)并求X的分布函数 F(x)沈阳师范大学

设离散型随机变量 X 的分布列为 X P −1 2 3 0.25 0.5 0.25 练习 ( ) { 0.5}, {1.5 2.5}, . P X P X X F x 求    并求 的分布函数