沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数字特征 4.3 常见分布的数学期望和方差

H4.3常见分布的期望与方差一、两点分布二、 二项分布三、 泊松分布四、均匀分布五、指数分布六、正态分布沈阳师范大学

一、两点分布 三、泊松分布 四、均匀分布 4.3 常见分布的期望与方差 二、二项分布 五、指数分布 六、正态分布

中一。两点分布已知随机变量X的分布律为0X11-ppp则有E(X)=1·p+0·(1-p)=p,DX = EX? -(EX)2= 12 . p + 02 . (1- p) - p'= p(1-p)沈阳师范大学

一. 两点分布 E X p p ( ) 1 0 (1 ) =  +  − X p 1 0 p 1 − p 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 2 = 1  p + 0 (1 − p) − p p = p(1-p)

二．泊松分布设X ～ P(a),且分布律为ak-2.P[X = k}k = 0,1,2,.., 2 > 0.k!则有k8280ZE(X) =keek!(k-1)!k=0= Ne-.e? = .沈阳师范大学

二. 泊松分布 e , 0,1,2, , 0. ! { = } = =  −    k  k P X k k 则有   = − =  0 e ! ( ) k k k E X k   1 1 e ( 1)! k k k     − − = = −    = e  e − = . 设 X P ~ ( ),  且分布律为 

EX2 = E[X(X -1)+ X]= E[X(X -1)]I+ EXk+8Zk(k-k!k=02k~2+8222+ = e- += ? +Ze(k - 2)!k=2所以DX = EX?-(EX)2 = ? + -? = .泊松分布的期望和方差都等于参数2沈阳师范大学

2 EX E X X X = − + [ ( 1) ] = − + E X X EX [ ( 1)]  + = − = −  + 0 e ! ( 1) k k k k k     + = − − + − =  2 2 2 ( 2)! e k k k         = + − e e 2 . 2 =  +  所以 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 =  +  −  =  . 泊松分布的期望和方差 都等于参数  . 

1三。均匀分布设 X～U(a,b),其概率密度为1a<x<b.f(x) =b-a4.[0,其他。则有 E(X)= (~ xf(x)dx=xdxJab-a(a+b)沈阳师范大学

三. 均匀分布 则有 E(X) xf (x)d x   − =  − = b a x x b a d 1 ( ). 2 1 = a + b        = − 0, . , , 1 ( ) 其他 a x b f x b a 设 X ~ U(a,b), 其概率密度为 ( ). 2 1 a + b

结论均匀分布的数学期望位于区间的中点DX = EX2 -(EX)dxb-a(b-a)12沈阳师范大学

结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 2 d 1       + − − =  a b x b a x b a . 12 ( ) 2 b − a = 12 ( ) 2 b − a

四．指数分布设随机变量X服从指数分布.其概率密度头e-x,x≥0,其中>0.f(x)=0,x<0.则有+x. Ne-x d xE(X)= / xf(x)dx =JO1+80+0-xxdxe一xeX0-x d x= 1/2ev沈阳师范大学

四. 指数分布 0. 0, 0. e , 0, ( ) ,       = −    其中 设随机变量 服从指数分布 其概率密度为 x x f x X x 则有 E(X) xf (x)d x  + − = x x x e d 0 + − =    x x x x e e d 0 0 + − + − = − +   x = 1/λ x e d 0 + − = 

DX = EX? -(EX)7+8x?. Ne-ix dx-22Jo2122221221-和指数分布的期望和方差分别为二2元沈阳师范大学

2 2 DX EX EX = − ( ) 2 0 2 1 e d    =  −  + − x x x 2 2 2 1   = − 2 1  =  1 指数分布的期望和方差分别为 和 2 1 

中五.正态分布设X～N(u,2),其概率密度为(x-μ)212g2a>0,-8<x<+8.f(x)e2元0则有E(X) =xf(x)dx(x-u)1+82g2dx.eX12元08uX风:t =x=u+ot, dx=odta沈阳师范大学

五. 正态分布 设 X ~ N(μ,σ 2 ), 其概率密度为 则有 E(X) xf (x)d x  + − = e d . 2π 1 2 2 2 ( ) x σ x σ x− μ + − − =  t σ x μ = − 令  x = μ + σ t, e , 0, . 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) =  −    + − − σ x σ f x σ x μ dx = σd t

(x-μ)22g2所以dxE(X) ::2元0t2奇函数2 dt(u+t)e2元0+0dtdtte2元沈阳师范大学

= μ. t t σ μ t t t e d 2π e d 2π 1 2 2 2 2   + − + − − − = + x σ E X x σ x μ e d 2π 1 ( ) 2 2 2 ( − ) + − − 所以 =  μ σt t t ( )e d 2π 1 2 2 + − − = + μ 奇函数 2