沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 7.2 估计量的评选标准

47.2估计量的评选标准一、问题的提出二、 评选标准沈阳师范大学

7.2 估计量的评选标准 一、问题的提出 二、评选标准

H中问题的提出(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准沈阳师范大学

问题的提出 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准

1 无偏性若X,X2,,X,为总体X的一个样本,E④是包含在总体X的分布中的待估参数(是θ的取值范围)若估计量=(X,X2,,X,）的数学期望E() 存在,且对于任意 E ① 有 E()= Q, 则称是θ的无偏估计量无偏估计的实际意义：：无系统误差若lim E(①)=,则称 是的渐近无偏估计,n→0沈阳师范大学

1 无偏性 若 X1 , X2 ,  , Xn为总体 X的一个样本，   是包含在总体 X的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存在 且对于任意 有 则称 若估计量 的数学期望           = = E E X X  Xn 无偏估计的实际意义: 无系统误差. . ˆ ) , ˆ 若 lim ( =  则 称  是的渐近无偏估计 → E n

心-例1设总体X的k阶原点矩μ=E(X)(k≥l)存在又设X,X,,X,是X的一个样本，试证明不论总体服从什么分布，k阶样本原点矩A,=-x 是kn i=l阶总体原点矩从的无偏估计证日因为X,X2,,X,与X同分布,故有 E(X,)= E(X*)=μk， i=1,2,,n.1ZE(X) = μk即 E(A)=ni=l沈阳师范大学

1 2 1 ( ) ( 1) , , , , 1 , . k k n n k k i i k X k E X k X X X X k A X k n   = =  =  设 总 体 的 阶 原 点 矩 存 在 又 设 是 的 一 个 样 本，试 证 明 不 论 总 体 服 从 什 么 分 布 阶 样 本 原 点 矩 是 阶 总 体 原 点 矩 的 无 偏 估 计 证 因为 X1 , X2 ,, Xn与 X同分布， ( ) ( ) k k 故有 E Xi = E X , i 1,2, ,n. = k =  = = ni k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . = k 例 1

故k阶样本原点矩A是k阶总体原点矩u的无偏估计特别地：不论总体X服从什么分布只要它的数学期望存在X总是总体X的数学期望μ,=E(X)的无偏估计量。沈阳师范大学

. k k 故 k A k 阶样本原点矩 是 阶总体原点矩  的无偏估计 特别地: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望  = E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在

H4例2证明(1)样本均值X是总体均值μu的一个无偏估计：(2)样本方差S2是总体方差S2的一个无偏估计(③)未修正的样本方差S?是总体方差S2的一个渐近无偏估计沈阳师范大学

2 2 (2)样本方差S 是总体方差 的一个无偏估计; 例2 证明 (1) 样本均值X是总体均值的一个无偏估计； 2 2 . n (3)未修正的样本方差S 是总体方差 的一个 渐近无偏估计

设X,X，,X是来自总体X的一个样本，显然它们具有相同的分布，从而有相同的期望和方差故EX, = EX, =... = EX, = μDX, = DX2 = ... = DX, = 21（ZX)>EX=EEX二==一nu=unni=所以样本均值是总体均值从的一个无偏估计,沈阳师范大学

EX EX EX 1 2 = = = = n  2 DX DX DX 1 2 = = = = n  1 1 1 1 1 n n i i i i E X E X EX n n n n   = =   = = = =      

2ZZ(X,-Xx)2(2) ES? = EEnXn-n-=i=11nMEX? -nEXn-i=11E(u?n1=1n-所以样本方差S是。?的无偏估计沈阳师范大学

2 2 1 1 ( ) 1 n i i ES E X X n =   = −     −  2 2 1 1 1 n i i E X nX n =   = −   −    2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 n i i n i EX nE X n n n n n n        = =   = −   −       = + − +     −     = − − =   (2)

-n(3) ES? = EE'Snnn而lim ES?1nn→00所以未修正样本方差S是。?的渐近无偏估计沈阳师范大学

2 2 2 2 1 1 1 n n n n ES E S ES n n n    − − − = = =     2 2 lim n n ES  → = (3) 而

例3（1）设X,,X,,X,是来自总体N(u,α2)的一个样本，证明：5Yaui12ΛXX.Xu33412都是的无偏估计.(2）设 Xi,X2,,X来自总体N(u,α)的一个样本，证明：对于任意常数 C,C2,,Cn，若C,=1 ，则c,X, 是μ 的无偏估计.i=li=1沈阳师范大学

1 1 2 3 1 1 1 3 3 3  X X X  = + + 2 1 2 3 1 1 5 3 4 12  X X X  = + + 3 1 2 3 1 3 1 3 4 12  X X X  = + −