沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案（一，授课教师：黄影）

高等代数1线上线下混合式教学教案课程思政类课程名称：高等代数1课程代码：07100230课程性质：专业必修课【核心课】课程学分：6学分授课对象：数学与应用数学专业一年级本科生数学与系统科学学院黄影1

1 高等代数 1 线上线下混合式教学教案 ——课程思政类 课程名称：高等代数 1 课程代码：07100230 课程性质：专业必修课 【核心课】 课程学分：6 学分 授课对象: 数学与应用数学专业一年级本科生 数学与系统科学学院 黄 影

授课题目$1.1数域教学时数1学时1、了解数域的概念线上预习目标2、了解数域与数集的区别1、掌握数域、有理数域、实数域、复数域等概念；教学目标2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。1、理解“抽象与具体”的哲学思想思政目标2、通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理3、数学家的故事介绍激励学生勇于探索数域的定义。教学重点教学难点数域的证明。线上线下混合式教学（0.4学时线上线下混合式教学教学方法教学手段+0.6学时）（线上自制知识点总结微课+线上（0.4学时）：线上自制习题讲解微课+(1)预习自建微课视频线下多媒体教学）（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（0.6学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式

2 授课题目 §1.1 数域 教学时数 1 学时 线 上 预 习 目标 1、了解数域的概念 2、了解数域与数集的区别 教学目标 1、掌握数域、有理数域、实数域、复数域等概念； 2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、 理解 “抽象与具体”的哲学思想 2、 通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理 3、 数学家的故事介绍激励学生勇于探索 教学重点 数域的定义。 教学难点 数域的证明。 教学方法 线上线下混合式教学（0.4 学时 +0.6 学时） 线上（0.4 学时）: （1） 预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（0.6 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）

教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1.学生带着问题学习视频课，1.通过在开学前建立学生微信群，将所有学生加入学习通，以方便本学期第一次课开展线上教学。使学生把握重点，有的放矢，2.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频提高预习效果。上课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设2.检验预习效果计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。教学过程学生：（线上学习内容）3.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课3、4.通过视频课预，提前的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师了解本节课内容，加深知识点生共同讨论理解。4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题教师：（线上教学总结）5.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务5、6.通过预习测验题的扇形点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完统计图，了解学生的知识点掌握情况，使线下教学更有针对成率达百分之百。6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解性。学生知识点掌握情况。3

3 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.通过在开学前建立学生微信群，将所有学生加入 学习通，以方便本学期第一次课开展线上教学。 2.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 3. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 5.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。 2.检验预习效果 3、4.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 5、6.通过预习测验题的扇形 统计图，了解学生的知识点掌 握情况，使线下教学更有针对 性

提问学生：通过线上预习，有哪些收获？线锻炼学生的1.数域的定义抽象思维能2.数域与数集的区别下力导由自然数集合、整数集、有理数集、实数集、复数集作为数集所具有的共性以及它们对数的加法、减法、除法所具有的共性和不同性质引入（或入抽象出）数域的概念。即：课有理数集、实数集、复数集：它们都是复数集的非空子集，都包含0，1程都对数的四则运算封闭.-抽象出数域这个概念。1.数域的定义：设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。例1：常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；注：①自然数集N及整数集Z都不是数域：②若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的。③数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集对数的四则运算是封闭的，则称集P为一个数域。2.数域的性质性质1：数域有无穷多个。例2:证明：数集Q(V2)=(a+b/2|a,beQ)是数域。线证明：因为0=0+0~2,1=1+0~2，所以0,1Q(V2)：下让学生开展又对任意的x,eQ(V2),设x=a+bv2,y=c+d/2,a,b,c,d eQ,讲讨论，培养协作精神。则有：x±y=(a±c)+(b±d)/2eQ(2)授新xy =(ac + 2bd)+ (ad +bc)~2 e Q(v2)课 设x=a+b2±0，则有α-b/2+0，否则，若α-b/2=0，那么α=b/2，推出当b0时，有号=2eQ，当b=0时有α=0，从而D有x=α+b/2=0，矛盾于是有：-号-(t)-+e(v2)xa+b/2(a+b/2)(a-b/2)a2-262a -26b22注：将此例子中的V2换成/P（p是任意素数），同理可证：Q(VP)=(a+b/pla,beQ)

4 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1. 数域的定义 2. 数域与数集的区别 由自然数集合、整数集、有理数集、实数集、复数集作为数集所具有 的共性以及它们对数的加法、减法、除法所具有的共性和不同性质引入（或 抽象出）数域的概念。即： 有理数集、实数集、复数集：它们都是复数集的非空子集，都包含 0，1 都对数的四则运算封闭-抽象出数域这个概念。 锻 炼 学 生 的 抽 象 思 维 能 力 线 下 讲 授 新 课 1. 数域的定义: 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1，如 果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是 P 中的数，则 称 P 为一个数域。 例 1：常见数域： 复数域C ；实数域 R ；有理数域Q ； 注：① 自然数集 N 及整数集 Z 都不是数域； ② 若数集 P 中任意两个数作某一运算的结果仍在 P 中，则说数集 P 对这 个运算是封闭的。 ③ 数域的等价定义：如果一个包含 0，1 在内的数集对数的四则运算是封 闭的，则称集 P 为一个数域。 2. 数域的性质 性质 1：数域有无穷多个。 例 2: 证明：数集Q 2   a  b 2 a,bQ 是数域。 证明：因为0  0  0 2,1 1 0 2 ，所以 0,1Q 2  ； 又对任意的 x, y Q 2  ，设 x  a  b 2, y  c  d 2 ，a,b,c,d Q ， 则有： x  y  a  c   b  d  2 Q 2  xy  ac  2bd   ad  bc  2  Q 2  设 x  a  b 2  0 ，则有 a b 2  0 ，否则，若 a b 2  0 ，那么 a  b 2 ，推出当b  0 时，有 2 a b  Q ，当b  0时有 a  0 ，从而 有 x  a  b 2  0 ，矛盾. 于是有：       2 2 2 2   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c d a b y c d ac bd ad bc x a b a b a b a b a b                Q 注：将此例子中的 2 换成 p （ p 是任意素数），同理可证： Q p   a  b p a,bQ 让学生开展 讨论，培养协 作精神

都是数域，说明数域有无穷多个性质2：有理数域是最小数域，即任意数域都包含有理数域。证明：设P为任意一个数域．由定义可知，OeP,1eP，于是：VmeZ+,m=1+1++lePVm,neZ,"eP,-"=0-"eP-Dnnn而任一有理数可表成两个整数的商，因此QP。3.数域的判别例3：下列数集是否是数域？①(0,1)：②偶数集2Z：③0(i)=(a+bila,be9)新解：①（0)不是数域，因为2=1+1(0,1)；让学生知道知如何证明或②偶数集2Z不是数域，因为12Z；判定一个数扩③Q(i)=(a+bia,be9)是数域，讨论过程如例2。集不是数域展注：要说明一个数集不是数域只需说明其不满足数域定义的某一条即可。数环：设R为非空数集，若对Va,beR，都有a土b,abeR，则称R为一个数环。小本节主要学习了：①数域定义（两个）；②数域的性质：③数域的判别。结判断数集P,P,是否为数域？为什么？思对于本节的考P={2n+1|nez):教学重点一与数域的定义练P =(n/2)neZ)=z(V2)是否掌握牢习固.《高等代数选讲》的典型例题作业41

5 都是数域，说明数域有无穷多个. 性质 2：有理数域是最小数域，即任意数域都包含有理数域。 证明： 设 P 为任意一个数域．由定义可知，0 P,1 P ，于是： m Z ,m 1 1 1 P        , , , 0 m m m m n Z P P n n n         而任一有理数可表成两个整数的商，因此Q  P 。 新 知 扩 展 3. 数域的判别 例 3: 下列数集是否是数域？ ① 0,1 ；② 偶数集 2Z ；③ Qi  a  bi a,bQ。 解：① 0 不是数域，因为 2 110,1 ； ② 偶数集 2Z 不是数域，因为12Z ； ③ Qi  a  bi a,bQ是数域，讨论过程如例 2。 注：要说明一个数集不是数域只需说明其不满足数域定义的某一条即可。 数环：设 R 为非空数集，若对a,b R ，都有 a  b,ab R ，则称 R 为 一个数环。 让学生知道 如何证明或 判定一个数 集不是数域 小 结 本节主要学习了： ① 数域定义（两个）；② 数域的性质；③ 数域的判别。 思 考 与 练 习 判断数集 1 2 P,P 是否为数域？为什么? P1  2n 1 n Z ； P2  n 2 n Z  Z 2  对 于 本 节 的 教 学 重 点 — 数 域 的 定 义 是 否 掌 握 牢 固. 作 业 《高等代数选讲》的典型例题

1、线上视频课的预习加深了学生的对知识的理解，从学生课上的反馈看，混合式教学效果明显好于传统教学。教2、通过提问发现，仍有学生预习效果不明显，态度不够认真。需加强引学导和督促。反3、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形思成了较为浓厚的线上学习氛围。6

6 教 学 反 思 1、线上视频课的预习加深了学生的对知识的理解，从学生课上的反馈看， 混合式教学效果明显好于传统教学。 2、通过提问发现，仍有学生预习效果不明显，态度不够认真。需加强引 导和督促。 3、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形 成了较为浓厚的线上学习氛围

教学时数1学时授课题目$1.2一元多项式1、了解一元多项式的概念线上预习目标2、了解一元多项式的运算1、掌握一元多项式及其运算以及次数的概念教学目标2、了解多项式环的概念；3、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。1、课堂讨论培养学生“合作学习意识”。思政目标2、通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理3、数学家的故事介绍激励学生勇于探索一元多项式的定义及运算。教学重点教学难点一元多项式的性质，线上线下混合式教学（0.4学时线上线下混合式教学教学方法教学手段+0.6学时）（线上自制知识点总结微课+线上（0.4学时）：线上自制习题讲解微课+线下多媒体教学）（2）预习自建微课视频（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（0.6学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式

7 授课题目 §1.2 一元多项式 教学时数 1 学时 线 上 预 习 目标 1、了解一元多项式的概念 2、了解一元多项式的运算 教学目标 1、 掌握一元多项式及其运算以及次数的概念； 2、 了解多项式环的概念； 3、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、 课堂讨论培养学生“合作学习意识”。 2、 通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理 3、 数学家的故事介绍激励学生勇于探索 教学重点 一元多项式的定义及运算。 教学难点 一元多项式的性质。 教学方法 线上线下混合式教学（0.4 学时 +0.6 学时） 线上（0.4 学时）: （2） 预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（0.6 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）

教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频1.学生带着问题学习视频课，课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设使学生把握重点，有的放矢，计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。提高预习效果。检验预习效果上教学过学生：（线上学习内容）程2.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师2、3.通过视频课预习，提前生共同讨论了解本节课内容，加深知识点3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测理解。验题教师：（线上教学总结）4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务4、5.通过预习测验题的扇形点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。统计图，了解学生的知识点掌5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解握情况，使线下教学更有针对性。学生知识点掌握情况

8 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 2. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。检验预习效果 2、3.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 4、5.通过预习测验题的扇形 统计图，了解学生的知识点掌 握情况，使线下教学更有针对 性

提问学生：通过线上预习，有哪些收获？1.一元多项式的定义2.此处的一元多项式与中学所学有何区别？中学里讲授的多项式有下列局限性：线（1）没有讲清楚一个多项式分解到什么程度才算不能再分解了；培养学生的下例1:x4-4在有理数范围可分解为：x*-4=(x2+2)(x2-2)：逻辑思维能导力在实数范围可分解为x*-4=(x+2)(x+V2)(x-2)：入在复数范围可分解为课x* -4=(x+ V2i)(x- ~2i)(x+ 2)(x- 2)程于是多项式的因式分解与讨论的范围有关。（2）中学里的多项式中的字母只是用来表示数的---这很有局限性。由（1）、（2）来说明重新定义多项式的意义。1.一元多项式的定义：设P是一个数域，x是一个符号（或称文字），n是一个非负整数，形式表达式：a,x"+a,-*" +..+a,x+ao其中ao,a,",an-,a,eP，称为数域P上的一元多项式，常用f(x),g(x),h(x)等表示。线注：在多项式()=a,x"+aw-*"++ax+a中：下①ax称为i次项，a称为i次项系数讲②若a±0，则称a,x"为f(x)的首项（或最高次项），a,为f(x)的授首项系数，n称为多项式f(x)的次数，记作a(f(x))=n新③系数全为零的多项式称为零多项式，零多项式不定义次数。此处学生探课2.多项式的相等究易混淆概念：零次多项若多项式f(x)与g(x)的同次项系数全相等，则称f(x)与g(x)相式与零多项式的区别，培等，记作f(x)=g(x)。养学生的探注：①零多项式即为数零：②零次多项式就是数域P中的所有非零常究精神。数，于是数域P中的数都是数域P上的一元多项式；③看到符号9

9 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1. 一元多项式的定义 2. 此处的一元多项式与中学所学有何区别？ 中学里讲授的多项式有下列局限性： （1）没有讲清楚一个多项式分解到什么程度才算不能再分解了； 例 1： 4 x  4 在有理数范围可分解为：    4 2 2 x  4  x  2 x  2 ； 在实数范围可分解为     4 2 x  4  x  2 x  2 x  2 ； 在复数范围可分解为      4 x  4  x  2i x  2i x  2 x  2 于是多项式的因式分解与讨论的范围有关。 （2）中学里的多项式中的字母只是用来表示数的-这很有局限性。 由（1）、（2）来说明重新定义多项式的意义。 培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 能 力 线 下 讲 授 新 课 1. 一元多项式的定义: 设 P 是一个数域，x 是一个符号（或称文字）， n 是一个非负整数，形式表达式： 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a      其 中 0 1 1 , , , , n n a a  a  a P ， 称 为 数 域 P 上 的 一 元 多 项 式 ， 常 用 f  x, g  x,h x  等表示。 注：在多项式   1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a       中： ① i i a x 称为i 次项， i a 称为 i 次项系数； ② 若 0 n a  ，则称 n n a x 为 f  x 的首项（或最高次项）， n a 为 f  x 的 首项系数， n 称为多项式 f  x 的次数，记作   f  x  n 。 ③ 系数全为零的多项式称为零多项式，零多项式不定义次数。 2.多项式的相等 若多项式 f  x 与 g  x 的同次项系数全相等，则称 f  x 与 g  x 相 等，记作 f  x  g  x  。 注：① 零多项式即为数零；② 零次多项式就是数域 P 中的所有非零常 数，于是数域 P 中的数都是数域 P 上的一元多项式；③ 看到符号 此处学生探 究易混淆概 念：零次多项 式与零多项 式的区别，培 养学生的探 究精神

a(f(x))，意味着了(x)0。2.多项式的运算：加法（减法）、乘法设f(x)=a,x"+an-r"-+..+ax+aog(x)=b.x"+bm-x"-+++b,x+b。=hj=0是数域P上的任意两个多项式。（1）加法、减法不妨设n≥m，在g(x)中令b+=…=b.--=b,=0此处的符号语言是学生加法：(x)+g(x)=Z(a,+b)x*;学习代数课i=0程的入门内容，建立逻辑减法: (t)-g(t)=-2(a,-b)x思维习惯。i=0(2)乘法(x)g(x)=a,b.x+(a,bm +aw-bm)+- +..+(a,bo+aob.)x+aoboZZ(ab,)r5=0 i+j=s注：(x)g(x)的第s次项系数为a,b+ab+.+aob,=Zab,。3.多项式的运算性质(1）f(x)与g(x)为数域P上任意两个多项式，则f(x)土g(x)、f(x)g(x)仍为数域P上的多项式，因此将数域P上的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为P[x](2) 次数定理：任取f(x),g(x)eP[x]①若f(x)±g(μ)0，那么a((x)+g(x)≤ max (0(f (x),0 (g (x)②若f(x）±0且g(x）±0，那么f(x)g(x）±0，且：0(f(x)g()=0(f(x)+0 (g (x)10

10   f  x ，意味着 f  x  0 。 2.多项式的运算：加法（减法）、乘法 设   1 1 1 0 0 n n n i n n i i f x a x a x a x a a x            1 1 1 0 0 m m m j m m j j g x b x b x b x b b x          是数域 P 上的任意两个多项式。 （1）加法、减法 不妨设 n  m ，在 g  x 中令 1 1 0 m n n b b b      加法：       0 n i i i i f x g x a b x      ； 减法：       0 n i i i i f x g x a b x      （2）乘法         1 1 1 1 0 0 1 0 0 n m n m n m n m n m f x g x a b x a b a b x a b a b x a b              0 n m s i j s i j s a b x        注： f  x g  x 的第 s 次项系数为 s 0 s 1 1 0 s i j i j s a b a b a b a b        。 3. 多项式的运算性质 （1） f  x 与 g  x 为数域 P 上任意两个多项式，则 f  x  g  x 、 f  x g  x 仍为数域 P 上的多项式，因此将数域 P 上的一元多项式全体 称为数域 P 上的一元多项式环，记为 Px。 （2）次数定理：任取 f  x, g  xPx 。 ① 若 f  x  g  x   0 ，那么   f  x  g  x   max  f x , g x  ② 若 f  x  0 且 g  x  0 ，那么 f  x g  x  0 ，且：   f  x g  x    f x   g x  此处的符号 语言是学生 学习代数课 程的入门内 容，建立逻辑 思维习惯