沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量

第四章特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念与求法 特征值与特征向量的性质 相似矩阵的概念与性质 特征值与特征向量 方阵可相似对角化的条件 将方阵相似对角化的方法 实对称矩阵的性质 用正交矩阵使对称阵对角化 沈阳顺范大学 《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 第四章 特征值与特征向量

4.1--特征值与特征向量的概念与求法特征值与特征向量的概念2.特征值与特征向量的求法3.特征值与特征向量的性质.食食沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 2. 特征值与特征向量的求法 1. 特征值与特征向量的概念 4.1-特征值与特征向量的概念与求法 3. 特征值与特征向量的性质

一、特征值与特征向量的概念n阶方阵特征值An=an对应非零向量特征向量2如即An=n，则=1为矩阵JIC22为A的属于1=1的特征向量。的特征值，n=2-31洗阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 A =  n阶方阵 非零向量 特征值 特征向量 对应 一、特征值与特征向量的概念 如                 3 4 2 2 1 2 3 1 1    ，即A =  ，则=1为矩阵       3 4 2 3 A    的特征值，       2 1   为A的属于=1的特征向量

A：n阶方阵特征值An=an特征矩阵特征向量(非零)A-ZE(A-ZE)n= 01特征多项式[A-2E| = 0特征方程au-aa12...aina22-2... azna21[A-^E| =.anlan2 .... ann-2沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 A =  (A–E) = 0 |A–E| = 0 特征方程 |A–E| = a11– a12 . a1n a21 a22–. a2n . . . . an1 an2 . ann– 特征多项式 A – E 特征矩阵 特征值 特征向量(非零) A：n阶方阵

注意(A-2E)n = 0（1）矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一若n为A的属于的特征向量，则k（k0）也是A的属于2的特征向量。即A的属于的特征向量不唯一。若n，n为A的属于的特征向量，则kii+k≠0(ki，k,不全为零）也是A的属于a的特征向量。(2)一个特征向量不能属于不同的特征值沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 (2)一个特征向量不能属于不同的特征值。 (1)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一 个特征值具有的特征向量不唯一； 注意 若为A的属于的特征向量，则k（k ≠ 0）也是A的属于 的特征向量。即A的属于的特征向量不唯一。 若1， 2为A的属于的特征向量，则k11+ k22 ≠ 0 （k1，k2不全为零）也是A的属于的特征向量。 (A–E) = 0

特征值与特征向量的求法二1.理论依据(1)为A的特征值 A-E=0.(2）n为A的对应于2特征向量 (A-E) n=0.2.步骤计算A-E求[A-αE|=0的根1求(A-^E)x = 0的基础解系沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 (1) 0为A的特征值  |A–0E| = 0. (2) 为A的对应于0特征向量  (A–0E)  = 0. 1 .理论依据 2. 步骤 计算| A–E| 求| A–E| = 0的根 求(A–E)x = 0的基础解系 二、特征值与特征向量的求法

思考22的特征值为,,…,对角矩阵Λ=anla2a22aan的特征值为11,a22,",an上三角矩阵ann沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 思考 对角矩阵 1 2  n            的特征值为_ 上三角矩阵 11 12 1 22 2     n n nn a a a a a a       的特征值为_ 1 2 , ,,    n 11 22 , ,, nn a a a

求特征值就是求一元n次方程的根：求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解2例1求矩阵A=的特征值与特征向量-25解A的特征方程为1-222-6+9=(-3)= 0-25-所以A的特征值为元==3即求特征方程的根沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解 相应的齐次线性方程组的非零解. 例1 求矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值与特征向量. A 的特征方程为 2 2 1 2 6 9 ( 3) 0 2 5                  A E A 的特征值为 1 2     3 解 所以 即求特征方程的根

21A5-2解齐次线性方程组(A-3E)x=0(-22)-1A-3E=2-2001一个基础解系为n于是，属于==3的全部特征向量为k≠0即求齐次线性方程组的全部非零解沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 解齐次线性方程组 2 2 1 1 3 2 2 0 0                  A E = 一个基础解系为 1 1         于是，属于 的全部特征向量为 （ ）. 1 2     3 k k  0 (A 3E)x  0 1 2 2 5        A = 即求齐次线性方程组 的全部非零解

4-3)-331例2 求矩阵A=-2的特征值与特征向量(213解A的特征方程为14-元-3-3A-E-23-元1=(4-)(2 - 2)=0=213-元所以A 的特征值为==4,=2沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例2 求矩阵 4 3 3 2 3 1 2 1 3           A 的特征值与特征向量. A的特征方程为 2 4 3 3 2 3 1 (4 ) (2 ) 0 2 1 3                   A E 所以A 的特征值为 1 2 3     4,  2 解