沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 5.2 中心极限定理

H45.2 中心极限定理一、 问题的引入二、中心极限定理三、 例题分析沈阳师范大学

5.2 中心极限定理 一、问题的引入 二、中心极限定理 三、例题分析

+-1问题的引入例如对某物的长度进行测量，在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响，使测量产生误差X测量者观察时视线所产生的误差X：测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X；.显然这些误差是微小的、随机的，而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即X,沈阳师范大学

例如对某物的长度进行测量, 在测量时有 许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度 等因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1 ; 测量者观察时视线所产生的误差X2 ; 测量者心 理和生理上的变化产生的测量误差X3 ; .显然 这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi . 一、问题的引入

T我们关心的是当n一8时，随机变量和>X的极限分布是什么？由于直接研究>X的极限分布不方便，故先将其标准化为ZX,-EXi-1i=1Y=n2+=再来研究随机变量序列Y的极限分布沈阳师范大学

我们关心的是当n→∞时, 随机变量和∑Xi的极 限分布是什么? 由于直接研究∑Xi的极限分布不方 便, 故先将其标准化为:             − =    = = = n i i n i i n i i n D X X E X Y 1 1 1 再来研究随机变量序列{Yn }的极限分布

七生中二.中心极限定理1、林德伯格-列维（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X2,,X.相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(X)=μ，D(X)=2>0(k=1,2,)，则随机变量之和的ZX-EZX,-nμXkk=lk=k=l标准化变量Y.=ngZDXk=l沈阳师范大学

二. 中心极限定理 （独立同分布的中心极限定理） 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2    =  = = D X k E X X X X k k n               − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1   n X n n k k − = =1 1、林德伯格-列维

的分布函数F.(x）对于任意x满足ZXi-nμk-1lim F,(x)= lim P≤xn>0n>VnoF2 dt = Φ(x)12元上述定理表明当n8o.随机变量序列Y.的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数沈阳师范大学

               − = = → → x n X n F x P F x x n k k n n n n   1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满足 上述定理表明: . , 标准正态分布的分布函数 当 n →  随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2 

H上述定理意义：只要{X，独立同分布，期望和方差存在，不管原来的分布是什么,只要n充分大,就可以用正态分布去逼近X,i=1ZX,-nμ上述定理表明：k=lY, =~N(0,1)1VnoZX~ N(nu,no*)k=1b- EXa-EX近似计算公式：Pla<X<b)~d(DVDX/DX沈阳师范大学

上述定理意义:   1 , , , , n n i i X n X =  只要 独立同分布 期望和方差存在 不管原来的分布 是什么 只要 充分大 就可以用正态分布去逼近 ( ) 1 ~ 0,1 n k k n X n Y N n   = − = 上述定理表明：  ( ) 2 1 X ~ N n,n n k  k =   ( ) ( ) DX a E X DX b E X P a X b − − − 近似计算公式：     

例3用机器包装白糖，每袋重量为随机变量，期望值为100g，标准差为10g.一箱内装100袋白糖，求一箱白糖质量大于10200g的概率解设x表示第i袋白糖的重量，i=1,2；，U则一箱白糖的重量X=乙X，其中X相互独立，且EX, =100, DX, =102 =100100100EX = EX, =100EX, = 10000,，DX= DX,=100DX, =10000-=由林德伯格-列维中心极限定理可知：X~N(10000,10000)PX >10200} =1- PX ≤10200}10200- EX= 1-@(2) = 1- 0.9772 = 0.02281-d沈阳师范大学VDX

例3 用机器包装白糖，每袋重量为随机变量, 期望值 为100g, 标准差为10g.一箱内装100袋白糖, 求一箱 白糖质量大于10200g的概率. 解 设Xi表示第i袋白糖的重量，i =1, 2, ,100 . 则一箱白糖的重量X 100 1 i i X = =  ，其中Xi相互独立，且 100 100 1 1 100 10000, 100 10000. i i i i i i EX E X EX DX D X DX = = = = = = = =   由林德伯格-列维中心极限定理可知： (10000,10000) a X N P X P X { 10200} 1 { 10200}  = −  10200 1 1 (2) 1 0.9772 0.0228. EX DX    −  − = −  = − =     2 100 , 10 100 EX DX i i = = =

练习：将一颗般子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？=1,2,..,100,则解设X为第i次掷出的点数X1"，X100独立同分布735D(X,)= E(X})-[E(X)]E(X)=122由林德伯格-列维中心极限定理可知：1100x100500-500- EX2P(ZX, ≥500) ~1-Φ1-ΦVDX35i=11012= 1-Φ(8.78) ~ 0沈阳师范大学

练习： 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少 于500的概率是多少？ 解 设Xi为第i 次掷出的点数, i=1,2,.,100, 则 X1 ,., X100独立同分布. 7 ( ) , 2 E Xi = 7 500 100 2 1 35 10 12     −  = −         =1−(8.78)  0 由林德伯格-列维中心极限定理可知： 100 1 500 { 500} 1 i i EX P X = DX   −   −        2 2 35 ( ) ( ) ( ) 12 D X E X E X i i i = − =

2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理二项分布的正态近似设 X~B(n,P) (O<p<1)的,则对于任意x,恒有X-np-e 2 dt = Φ(x)lim P<xn-00Vnp(1- p)上述定理表明：正态分布是二项分布的极限分布.当n充分大时。可以利用该定理来计算二项分布的概率沈阳师范大学

( ) 2 2 ~ , (0 1) , , 1 lim e d ( ). (1 ) 2π t x n X B n p p x X np P x t x np p − →  −       −    = =    −    设 的 则 对于任意 恒有 2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理 二项分布的正态近似 上述定理表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率

例1设随机变量X~B(100,0.8),求 P80≤X≤100)解因为X～B(100,0. 所以EX = np =100×0.8= 80, DX = npg =100×0.8×0.2 =16由莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知：100-EX80-EXP[80 ≤X ≤100) ~Φ0/DX/DX100-8080-80004= Φ(5) -Φ(0) = 1- 0.5 = 0.5沈阳师范大学

例1 设随机变量 X ~ B(100,0.8) ,求 P80  X 100. 解 因为 X B(100, 0.8), 所以 EX np = =  = 100 0.8 80, 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知： 100 80 {80 100} EX EX P X DX DX       − −    −         DX npq = =   = 100 0.8 0.2 16. =  −  = − = (5) (0) 1 0.5 0.5. 100 80 80 80 4 4       − − = −        