沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 7.4 正态总体均值与方差的区间估计

47.4正态总体均值与方差的区间估计一、单个正态总体的均值二、单个正态总体的方差沈阳师范大学

7.4 正态总体均值与方差的区间估计 一、单个正态总体的均值 二、单个正态总体的方差

一、单个正态总体的均值设给定置信水平为1-α,并设X,Xz,,X,为总体N(u,α2)的样本,X,s2分别是样本均值和样本方差。均值u的置信区间(1)2为已知，由上节例1可知:u的一个置信水平为1-α的置信区间X--uα/2, X +.Uα/2yn

. ( , ) , , 1 , , , , 2 2 1 2 本方差 总体 的样本 分别是样本均值和样 设给定置信水平为 并设 为 N X S X X Xn   −  一、单个正态总体的均值 (1) ,  2为已知 由上节例1可知: 的一个置信水平为 1 − 的置信区间 , . / 2 / 2       −  +    u n u X n X 均 值  的置信区间

(2)α2为未知,u的置信水平为1-α的置信区间一x_X+.=tα/2(n-l),tα/2(n-l)Vn推导过程如下：O由于区间|x±土中含有未知参数。,不能Uα/2Vn直接使用此区间但因为S2是2的无偏估计,可用 =s2替换

(2) ,  2为未知 , , / 2 直接使用此区间 由于区间 中含有未知参数 不能          u n X , , 2 2 2 但因为 S 是 的无偏估计 可用 S = S 替换 的置信水平为1−的置信区间       − ( −1), + ( −1) / 2 / 2 t n n S t n X n S X   推导过程如下:

at-α/2(n -1)tα/2(n -1)

/ 2 t n( 1) t n 1 / 2 − ( 1) −  −   1 −

x-μ又根据P135定理2(2)知~ t(n -1)S//nX-μ则 P-S//nS即P/X(n-1)<u<x+于是得μ的置信度为1-α的置信区间X.=-ta/2(n-l), X+-tα/2(n-1)InY

( 1) ( 1) 1 ,  / 2   / 2 = −       − −   + t n − n S t n X n S 即 P X 于是得 的置信度为1 − 的置信区间       − ( −1), + ( −1) / 2 / 2 t n n S t n X n S X   135 2 2 ~ ( 1), ( ) / X P t n S n −  又根据 定理 知 − ( 1) 1 , / ( 1) / 2 / 2     = −        − − − −  t n S n X 则 P t n

例1科学上的很多重大发现往往由年轻人提出下表是16世纪中期到20世纪的12项重大科学突破的情况：时间年龄科学发现科学家日心说401543哥白尼望远镜、43天文学伽利略1600基本定律动力学、牛顿231665万有引力、微积分

例1 科学上的很多重大发现往往由年轻人提出， 下表是 16 世纪中期到 20 世纪的 12 项重大科学 突破的情况： 科学发现 科学家 时间 年龄 日心说 哥白尼 1543 40 望远镜、 天文学 伽利略 1600 43 基本定律 动力学、 万有引力、 牛顿 1665 23 微积分

年龄时间科学发现科学家40电的本质富兰克林174631拉瓦锡燃烧即氧化1774莱尔33地球的演变183049进化论达尔文185833麦克思韦光的电磁特性1864居里34放射性1896普朗克43量子力学190126爱因斯坦狭义相对论1905量子力学的薛定39数学基础1926

科学发现 科学家 时间 年龄 电的本质 富兰克林 1746 40 燃烧即氧化 拉瓦锡 1774 31 地球的演变 莱尔 1830 33 进化论 达尔文 1858 49 光的电磁特性 麦克思韦 1864 33 放射性 居里 1896 34 量子力学 普朗克 1901 43 狭义相对论 爱因斯坦 1905 26 量子力学的 数学基础 薛定谔 1926 39

假定数据来自期望、方差均未知时的正态总体试问以95%的把握估计科学家们在什么年龄段可能做出重要的工作？分析类型：α2未知,求u的置信水平为1一α的置信区间u的置信水平为1-α的置信区间X-ta/2(n-1), X+ta/2(n-1)

假定数据来自期望、方差均未知时的正态总体， 试问以95％的把握估计科学家们在什么年龄段 可能做出重要的工作？ 分析 : , 1 . 类型  2 未知 求的置信水平为 −的置信区间 的置信水平为1−的置信区间       − ( −1), + ( −1) / 2 / 2 t n n S t n X n S X  

二、单个正态总体的方差方差。？的置信区间(①u已知的情况的置信水平为1一α的置信区间为Z(X,-μ)Z(X, -μ)i-1i=xa(n)x2α (n)Q22/2a/2Xa(n-1)Xi-a2(n-1)

(1)已知的情况. 方 差 2 的置信区间 ( ) ( ) ( ) ( )             − − − = =   n X n X n i i n i i 2 2 1 1 2 2 2 1 2 ,        2 的置信水平为1−的置信区间为 1 − 二、单个正态总体的方差

具体推导如下：K,-u~N(0,1) i=1,2,.,n因X,~N(u,α2),故a再利用独立性及?分布的定义知(X-=~ x (n)92i=1i-1(X,-μ),由上式知,它服从的分布0i=1不依赖于任何未知参数由分布的分位点，可得

( ) ( ) 2 ~ , , ~ 0,1 1,2, , i i X X N N i n     − 因 故 = 再利用独立性及 2 分布的定义知 ( ) ( ) (n) X X n i i n i i 2 1 2 2 1 2 2 ~ 1        = = − − = ( ) 不依赖于任何未知参数 由 分布的分位点 可得 令 由上式知 它服从的分布 , , , , 1 2 1 2 2    = = − n i Q Xi 具体推导如下: