沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型

第五章 二次型二次型及其矩阵表示二次型化二次型为标准形正定二次型沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 第五章 二次型

5.1--二次型及其矩阵表示 1.)二次型的基本概念 2.二次型的表示方法 3.线性变换与合同矩阵 沈阳师范大学 《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 线性变换与合同矩阵 2. 1. 二次型的基本概念 二次型的表示方法 5.1-二次型及其矩阵表示 3

一、二次型的基本概念定义1含有n个变量x1，X2，…，×,的二次齐次多项式：Cf(Xi,X2,*, x,)=ax? +a2x2 +..+amnnn+2a2Xx +2a3xx +...+2anXxn+2a23X2X, +...+2a2nX2Xn+... +2an-1,nXn-1Xn称为n元二次型当αi中有复数时，称之为复二当ai全为实数时称之为实二次型次型，沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x  x  a x  a x  a x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 2 n n  a x x  a x x  a x x 23 2 3 2 2 2 2 n n  a x x  a x x  1, 1 2 n n n n a x x    定义1 含有n个变量 的二次齐次多 项式： 1 2 , , , n x x  x 一、二次型的基本概念 ij 称为n元二次型， 当 a 中有复数时，称之为复二 次型， 当 全为实数时称之为实二次型. ij a

例如f(x1,X2,x3) = 2x2 +4x2 +5x -4xx3f(x1,X2,x) = XX2 +XX +X2X3都为二次型沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例如   2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x , x , x  2x  4x  5x  4x x 都为二次型.  1 2 3  1 2 1 3 2 3 f x , x , x  x x  x x  x x

二、二次型的表示方法1.用和号表示对二次型f(x,X2,*.., xn)= ax? +a22x2 +... +annn+2a2xx2 +2a13Xix +...+2an-1,nxn-1x,规定aj, =aji, Vi, j=1,2,...,n则2a,x,x, =a,x,x, +ajx,x沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 1．用和号表示   2 2 2 1 2 11 1 22 2 , , , n nn n f x x  x  a x  a x   a x 对二次型 二、二次型的表示方法 规定 , , 1, 2, , ij ji a  a i j   n 则 2 ij i j ij i j ji j i a x x  a x x  a x x 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 2 2 n n n n a x x a x x a x x     

于是二次型可以写成：f(xi,X2,...,xn) =ax +ai2xx2 +... +ainxix+a21X2X+a2x2+...+a2nX2xn+..+anxnXi +an2xnx2 +...+anmXnn.YnZa,x,xj二i,j=lC沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 于是二次型可以写成： 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  a x  a x x  a x x 2 21 2 1 22 2 2 n 2 n a x x  a x  a x x  2 n1 n 1 n2 n 2 nn n a x x  a x x  a x , 1 n ij i j i j a x x   

2．用矩阵表示记xaaInX2an1a22danx=··.anlanann则上述二次型可记作：aXX2annnAxf(x,x,,x)=(xXxYandnm沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 记 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 , n n n n n nn x a a a x a a a x a a a                          x A 则上述二次型可记作：   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                        x Ax 2．用矩阵表示

其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型f的矩阵，把f 称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型f 的秩记作R(f).X232nnAxf(x,x2,..,x)=(xX...万an2Qnl沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 记作R( f ). 其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型 f 的矩阵，把 f 称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型 f 的秩，   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                        x Ax

任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.因此一一对应二次型对称矩阵沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 因此 二次型 一一对应 对称矩阵 任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵； 反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个 二次型

例1写出三元二次型f(x,x2,x)=x2 +5x2 +9x +6xx2 +10xx +14xx的矩阵和矩阵表示式解 因为a1 =1,a22 =5,a33 =9,a2 =α21 =3,a3 =a1 =5,a23 =a2 = 7所以f(x,x2,x)的矩阵5/3753A=957沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例1 写出三元二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x )  x 5x 9x 6x x 10x x 14x x 的矩阵和矩阵表示式 解 因为 11 22 33 12 21 13 31 23 32 a 1,a 5,a 9,a a 3,a a 5,a a 7 所以 1 2 3 f (x , x , x )的矩阵 1 3 5 3 5 7 5 7 9        A