线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量第16讲授课题目84.1向量的内积与正交向量组1.了解向量内积与长度的概念2.理解正交向量组的概念教学目的3.掌握施密特正交化法，会求正交矩阵教学重点密特正交化法与正交矩阵的求法教学难点密特正交化法与正交矩阵的求法2 学时教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合教学时数备注教学过程一、向量的内积与长度定义1设有n维向量bb,Rb.1称数ab+a,b,++a,b,为向量α与β的内积，记作[α,β].即[α,β]=ab +a,b, +...+a,b, =α'β=βα内积具有下列性质：（其中α，β,为n维向量，入为任意实数）(1)对称性[α,β]=[β,α]（2）非负性当α±0时，α,α>0.事实上，[α,α=0的充分必要条件是α=0;(3)线性性[α+β,]=[α,"]+[β,"];[α, β]=[α, β]定义2对于任意一个n维向量α=(a,a2,a），称[α,α]为向量α的长度，记作α，即al-[a,α]=a +a+.+a向量的长度具有如下性质：（其中α,β为n维向量，入为任意实数）-70-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 70 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 授课题目 §4.1 向量的内积与正交向量组 第 16 讲 教学目的 1.了解向量内积与长度的概念 2.理解正交向量组的概念 3.掌握施密特正交化法，会求正交矩阵 教学重点 密特正交化法与正交矩阵的求法 教学难点 密特正交化法与正交矩阵的求法 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 一、向量的内积与长度 定义 1 设有 n 维向量 1 2 n a a a ， 1 2 n b b b 称数 1 1 2 2 n n a b a b a b 为向量 与 的内积，记作, .即 T T 1 1 2 2 , n n a b a b a b 内积具有下列性质： （其中, , 为 n 维向量， 为任意实数） （1）对称性 , , ； （2）非负性 当 0 时，, 0 .事实上，, 0 的充分必要条件是 0 ； （3）线性性 , , , ； , , 定义 2 对于任意一个 n 维向量 T 1 2 , , , n a a a ，称 , 为向量 的长 度，记作 ，即 2 2 2 1 2 , n a a a 向量的长度具有如下性质： （其中, 为 n 维向量， 为任意实数）
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量（1）非负性α≥0，当且仅当α=0时α=0（2）齐次性α=：（3）三角不等式α+β≤α+β长度为1的向量称为单位向量%为单位向量。由向量α得到单位向量e。的过程称显然，当α0时，e。=a为将非零向量α单位化容易证明，对于任意两个向量α,β，总有[α,β≤[α,α[β,β] (或[α,β≤αβ上式称为Cauchy-Schwarz不等式，由此可得[α, β]4a于是[α,β]对于两个非零向量α,β，称θ=arccos为向量α,β的夹角/al/ ll(0≤0≤元)例1 向量α=(1 2 2 -1),求[α与e。解α=/12+22+22 +(-1)2=/10尚( 2 2 -例2设向量α=(100)，β=(1 01 0)，求α与β的夹角解由于[α,β]=1,[α=2，β=V,故两向量的夹角为[α,β]1元Q=arccos=arccos1al/ 23二、正交向量组-71计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 71 - （1）非负性 ≥0，当且仅当 0 时 0 ； （2）齐次性 ； （3）三角不等式 ≤ 长度为 1 的向量称为单位向量. 显然，当 0 时， eα 为单位向量。由向量 得到单位向量eα的过程称 为将非零向量 单位化. 容易证明，对于任意两个向量, ，总有 2 , ≤, , （或 , ≤ ） 上式称为 Cauchy–Schwarz 不等式，由此可得 , ≤1 于是 对 于 两 个 非 零 向 量 , ， 称 , arccos 为 向 量 , 的 夹 角 (0 ) . 例 1 向量 T 1 2 2 1 ，求 与eα. 解 2 2 2 2 1 2 2 (1) 10 1 T 1 2 2 1 10 eα 例 2 设向量 T 1 1 0 0 ， T 1 0 1 0 ，求 与 的夹角. 解 由于, 1， 2 ， 2 ， 故两向量的夹角为 , 1 arccos arccos 2 3 二、正交向量组
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量定义3对于n维向量α,β，如果[α,]=0，即ab+a,b,++a,b,=0，称α与β正交，记作αβ由定义知，零向量与任何向量都正交定义4如果一组非零向量两两正交，则称该向量组为正交向量组定义5如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组，也称标准正交组或规范正交组例如，ef =0,e,0)0为一标准正交组定理1若α,αz,,α,构成一组非零正交向量组，则α,αzα,线性无关.证明设有，，…,，使得a+a,+...+a,=0成立用αT左乘上式两端，得Mafa, +Maa, +.+n,a,a,= 0由于αα2"α,两两正交，故有[α,α,]=αfα, =0, j+1于是有Ma,==0由α,0得α>0，所以必然有=0同理可得==入,=0，故向量组α,α2，α,线性无关.证毕注意，正交向量组只是向量组线性无关的充分条件，其逆定理不成立，即线性无关的向量组不一定是正交向量组.但对于任一线性无关的向量组αi,α2，,α,，总可- 72 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 72 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 定义 3 对于 n 维向量, ，如果, 0 ，即 1 1 2 2 0 n n a b a b a b ， 称 与 正交，记作 . 由定义知，零向量与任何向量都正交. 定义 4 如果一组非零向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定义 5 如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正 交向量组，简称单位正交组，也称标准正交组或规范正交组. 例如， 1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1 e e e 为一标准正交组. 定理 1 若 1 2 , , , r 构成一组非零正交向量组，则 1 2 , , , r 线性无关. 证明 设有 1 2 , , , r ，使得 11 22 r r 0 成立.用 T 1 左乘上式两端，得 T T T 1 1 1 2 1 2 1 0 r r 由于 1 2 , , , r 两两正交，故有 T 1 1 , 0 j j ， j 1 于是有 T 1 1 1 1 1 0 由1 0 得 1 0 ，所以必然有 1 0 . 同理可得 2 0 r ，故向量组 1 2 , , , r 线性无关.证毕. 注意，正交向量组只是向量组线性无关的充分条件，其逆定理不成立，即线性无 关的向量组不一定是正交向量组.但对于任一线性无关的向量组 1 2 , , , r ，总可
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量以找到一个与之等价的正交向量组β,β,，,β..这里不加证明地介绍一种实现这一过程的方法：施密特（Schmidt）正交化方法.具体步骤如下：设向量αα.α,线性无关，取 β, =αB =α. -(aP)p(β,β)(α,β) β(a.,β) β,β,=α,(βr,β.)(β2,β,)(α,β) r(a.B) β(αr,β)β, =α,(β2,β,)(β,β)(βr-,βr-)则β,β2，,β,为一个正交向量组，且(β,β,"",β,]=(α,α2"",α,)如果再把正交向量组β,β,，,β,的每个向量单位化，即令β,i=1,2,.,rY, =P.则可得到与α,α,α等价的标准正交组2，,简言之，将任一线性无关向量组化为标准正交组的步骤如下：（1）根据施密特正交化方法将其正交化：（2）将（1）所得的每个向量单位化这个过程称为单位正交化过程，上述步骤次序不可交换例3已知向量组α =(1 0 -1 1)′,α, =(1 -1 0 1),α;=(-1 1 1 0)线性无关，试将其化为标准正交组解第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化取β=α=(1 0 -1 1)-73 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 73 - 以找到一个与之等价的正交向量组 1 2 , , , r .这里不加证明地介绍一种实现这一 过程的方法：施密特（Schmidt）正交化方法.具体步骤如下： 设向量 1 2 , , , r 线性无关， 取 1 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) r r r r r r r r r 则 1 2 , , , r 为一个正交向量组，且 1 , 2 ,, r 1 ,2 ,, r 如果再把正交向量组 1 2 , , , r 的每个向量单位化，即令 , 1,2, , i i i i r 则可得到与 1 2 , , , r 等价的标准正交组 1 2 , , , r . 简言之，将任一线性无关向量组化为标准正交组的步骤如下： （1）根据施密特正交化方法将其正交化； （2）将（1）所得的每个向量单位化. 这个过程称为单位正交化过程，上述步骤次序不可交换. 例 3 已知向量组 T T T 1 2 3 1 0 1 1 , 1 1 0 1 , 1 1 1 0 线性无关，试将其化为标准正交组. 解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化 取 T 1 1 1 0 1 1
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量(α,β)Rβ, =α, -21(βi,β)(αs,β)(αs,β) 1334)β,=α,-(β1,β) P(β2,β)"3所得的β,β,β,即是与α,αz,α,等价的正交向量组第二步，再单位化V15BJ=35由于=所以令P335B=10-1 1)CY1=IIPIV3β=一(11-321)2 =V45B,IB=1(-1 3 3 4)Y3 =IBJ~V35则1.Y2,3为所求标准正交组三、正交矩阵定义6如果n阶矩阵A满足AA-E（或AA-E)则称A为正交矩阵例如，对于矩阵V20)22100A=临。归22容易验证A'A=E，所以矩阵A是一个三阶正交矩阵显然，单位矩阵也是正交矩阵定理2矩阵A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量组为一个单位正交向量组- 74 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 74 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） T 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) 1 1 3 2 1 ( , ) 3 T 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 3 3 4 ( , ) ( , ) 5 所得的 1 2 3 , , 即是与 1 2 3 , , 等价的正交向量组. 第二步，再单位化 由于 1 2 3 15 35 3, , 3 5 ，所以令 T 1 1 1 1 1 0 1 1 3 T 2 2 2 1 1 3 2 1 45 T 3 3 3 1 1 3 3 4 35 则 1 2 3 , , 为所求标准正交组. 三、正交矩阵 定义 6 如果 n 阶矩阵 A 满足 T A A E （或 T AA E ） 则称 A 为正交矩阵. 例如，对于矩阵 2 2 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2 A 容易验证 T A A E ，所以矩阵 A 是一个三阶正交矩阵. 显然，单位矩阵也是正交矩阵. 定理 2 矩阵 A 为 n 阶正交矩阵的充要条件是 A 的列向量组为一个单位正交向 量组
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量证明必要性设A=（ααz，,α），由于A为正交矩阵，根据定义有ATA=E，即αfarafa,.afan(10..0)a,01..0aar aa..aanaAA=(α.α,..,αn):..(a,aa,a..a,an)00.1α,Mi=j即α,α, =5故α,αz，",α,为一个单位正交向量组0,itj充分性设α,αz，,α,为一个单位正交向量组，则-J1,i=jα,α, =0,ij令A=（α,αz，",α），显然有AA=E，所以A为正交矩阵证毕类似地，也可以证明正交矩阵A的行向量组为单位正交向量组正交矩阵具有如下性质：（1）设A为正交矩阵，则A为可逆矩阵（2）A为正交矩阵AT=A-1（3）设A为正交矩阵，则A=1或一1（4）设A为正交矩阵，则AT，A-都是正交矩阵（5）若A和B都是正交阵，则AB也是正交矩阵上述性质的证明留给读者自己完成例4判断下列矩阵是否为正交矩阵：(100)cosg-sing)010(1)(2)singcosa(010)解（1）第2、3列不是单位向量，故不是正交矩阵-75 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 75 - 证明 必要性 设 A 1 ,2 ,, n ，由于 A 为正交矩阵，根据定义有 T A A E ，即 T T T T 1 1 1 1 2 1 T T T T T 2 2 1 2 2 2 1 2 T T T T 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 n n n n n n n n A A 即 T 1,0, i j i j i j ，故 1 2 , , , n 为一个单位正交向量组. 充分性 设 1 2 , , , n为一个单位正交向量组，则 T 1,0, i j i j i j 令 A 1 ,2 ,, n ，显然有 T A A E ，所以 A 为正交矩阵.证毕. 类似地，也可以证明正交矩阵 A 的行向量组为单位正交向量组. 正交矩阵具有如下性质： （1）设 A 为正交矩阵，则 A 为可逆矩阵. （2） A 为正交矩阵 T 1 = A A . （3）设 A 为正交矩阵，则 A 1或－1. （4）设 A 为正交矩阵，则 T 1 , A A 都是正交矩阵. （5）若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交矩阵. 上述性质的证明留给读者自己完成. 例 4 判断下列矩阵是否为正交矩阵： （1） 1 0 0 0 1 0 0 1 0 （2） cos sin sin cos 解 （1）第 2、3 列不是单位向量，故不是正交矩阵
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量cos-sine)cos-sinの0(2）由于(sin(sinecosocos0所以是正交矩阵巩固练习：课后小结：-76 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 76 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） （2）由于 T cos sin cos sin 1 0 sin cos sin cos 0 1 所以是正交矩阵. 巩固练习： 课后小结：
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量授课题目$4.2矩阵的特征值与特征向量第17讲理解特征值与特征向量的概念2.掌握特征值与特征向量的性质1.教学目的2.会求特征值与特征向量教学重点求特征值与特征向量教学难点特征值与特征向量的性质教学手段教学时数教学方法探究-讨论板书与多媒体相结合2学时备注教学过程一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩阵，如果存在非零向量n和数入，使得关系式(1)An=an成立，则称入为A的特征值，非零向量n为矩阵A的属于特征值入的特征向量将（1）式改写为(A-E)n=0其中n0.容易看出，n为齐次线性方程组(2)(A-^E)x=0的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是A-E|=0若记n阶矩阵A=（a），则[au - ~ai2an.a-元..a21a2nA-E-= 0:::antan2.. am-由行列式的定义知，A-E是一个关于入的n次多项式，在复数范围内有n个根即A有n个特征值.这其中，我们定义：定义2称矩阵A-入E为A的特征矩阵：称入的n次多项式A-入E为A的特征多项式，记为f（a）：称以入为未知元的n次方程A-E=0为A的特征方程-77-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 77 - 授课题目 §4.2 矩阵的特征值与特征向量 第 17 讲 教学目的 1． 理解特征值与特征向量的概念 2.掌握特征值与特征向量的性质 2． 会求特征值与特征向量 教学重点 求特征值与特征向量 教学难点 特征值与特征向量的性质 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 一、特征值与特征向量的概念 定义 1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在非零向量 和数 ，使得关系式 A （1） 成立，则称 为 A 的特征值，非零向量 为矩阵 A 的属于特征值 的特征向量. 将（1）式改写为 A E 0 其中 0 .容易看出， 为齐次线性方程组 A E x 0 （2） 的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是 A E 0 若记 n 阶矩阵 A aij ，则 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a A E 由行列式的定义知， A E 是一个关于 的 n 次多项式，在复数范围内有 n 个根， 即 A 有 n 个特征值.这其中，我们定义： 定义 2 称矩阵 A E 为 A 的特征矩阵；称 的 n 次多项式 A E 为 A 的 特征多项式，记为 f () ；称以 为未知元的 n 次方程 A E 0为 A 的特征方 程
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量定义3若入为特征方程A-入E=0的k重根，称入为A的k重特征值二、特征值与特征向量的求法上述分析表明，若入是A的特征值，则必有A-入E|=0，即元为特征方程A-E=0的根，此时方程组(A-E)x=0有非零解n，使得(A-E)n=0即An=n.根据定义1可知，n是A的属于特征值的特征向量，由前面的讨论可得出求n阶矩阵A的特征值和特征向量的方法（1）写出矩阵A的特征多项式f()=A-^E；（2）求特征方程A-元E=0的根，由此得到A的特征值（共n个，这其中可能有重复的根，也可能有复数根）；（3）对于每一个特征值元，求解齐次线性方程组（A-1E）x=0的基础解系，从而得到属于特征值入的特征向量.设(A-入E)x=0的一个基础解系为51,52，，5,，则矩阵A的属于特征值入的全部特征向量为k5 +k52+..+k,5,其中k，kz，,k,不全为零（这是因为特征向量是非零向量）由求解过程可以注意到，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属于相同的特征值注求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解21例1求矩阵A=的特征值与特征向量-25解A的特征多项式为[1-元2= 22 - 6α + 9= (α - 3)[A-E|=-25-2所以A的特征值为==3-78 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 78 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 定义 3 若 为特征方程 A E 0的 k 重根，称 为 A 的 k 重特征值. 二、特征值与特征向量的求法 上述分析表明，若 是 A 的特征值，则必有 A E 0 ，即 为特征方程 A E 0的根，此时方程组 A E x 0 有非零解 ，使得 A E 0 ， 即 A .根据定义 1 可知， 是 A 的属于特征值 的特征向量. 由前面的讨论可得出求 n 阶矩阵 A 的特征值和特征向量的方法： （1）写出矩阵 A 的特征多项式 f () A E ； （2）求特征方程 A E 0的根，由此得到 A 的特征值（共 n 个，这其中可 能有重复的根，也可能有复数根）； （3）对于每一个特征值 ，求解齐次线性方程组 A E x 0 的基础解系， 从 而 得 到 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 . 设 A E x 0 的 一 个 基 础 解 系 为 1 2 , , , r ，则矩阵 A 的属于特征值 的全部特征向量为 1 1 2 2 r r k k k 其中 1 2 , , , r k k k 不全为零（这是因为特征向量是非零向量）. 由求解过程可以注意到，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向 量可以属于相同的特征值. 注 求特征值就是求一元 n 次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性 方程组的非零解. 例 1 求矩阵 1 2 2 5 A = 的特征值与特征向量. 解 A 的特征多项式为 2 2 1 2 6 9 ( 3) 2 5 A E 所以 A 的特征值为 1 2 3
线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量解齐次线性方程组（A-3E)x=0，A-3E=(-2 3)-(1 -1)-2 2)(00一个基础解系为17=()于是，属于==3的全部特征向量为kn（k0）( 4-3 -3)-23例2求矩阵A=1的特征值与特征向量(231解A的特征多项式为[4-元-3 -3A-E|=-23-元1=(4- 2)(2-2)213-元所以A的特征值为4==4,M=2对于==4，求解齐次线性方程组（A-4E)x=0，即0-33-3)(x)70-22 -110X2-201-一个基础解系为1n =1于是，属于==4的全部特征向量为kn（k0），对于2=2，求解齐次线性方程组（A-2E)x=0，即702-3-3)(x)-2110X.O21X3-79-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 79 - 解齐次线性方程组(A3E)x 0 ， 2 2 1 1 3 2 2 0 0 A E = 一个基础解系为 1 1 于是，属于 1 2 3 的全部特征向量为 k （ k 0 ）. 例 2 求矩阵 4 3 3 2 3 1 2 1 3 A 的特征值与特征向量. 解 A 的特征多项式为 2 4 3 3 2 3 1 (4 ) (2 ) 2 1 3 A E 所以 A 的特征值为 1 2 3 4, 2 对于 1 2 4 ，求解齐次线性方程组 (A 4E)x 0 ，即 1 2 3 0 3 3 0 2 1 1 0 2 1 1 0 x x x 一个基础解系为 1 1 1 1 于是，属于 1 2 4 的全部特征向量为 1 1 k （ 1 k 0 ）. 对于 3 2，求解齐次线性方程组 (A 2E)x 0 ，即 1 2 3 2 3 3 0 2 1 1 0 2 1 1 0 x x x