沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量非正常积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分

授课题目4学时818.1隐函数教学内容隐函数的概念、隐函数存在惟一性定理。1.深入理解隐函数的概念。教学目标2.理解隐函数存在惟一性定理，掌握判断隐函数存在惟一性的方法3.熟练运用隐函数求导公式，并利用隐函数的导数来研究隐函数的性态。教学重点隐函数存在惟一性定理。1.隐函数存在惟一性定理的证明。教学难点2.判断隐函数存在惟一性。教学方法“系统讲授”结合“问题教学”课程导入讲授新课思考练习小结与作业教学过程设计注释教学过程及授课内容在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如y=x+l,u=e"(sinxy+sinyz+sinzx)这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。☆本节将介绍由一个方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数求导法；课[F(x,y,z,u,v) = 0程☆下一节将介绍由方程组所确定的隐函数求导法。G(x,y,z,u,v) = 0导入

授课题目 §18.1 隐函数 4 学时 教学内容 隐函数的概念、隐函数存在惟一性定理。 教学目标 1.深入理解隐函数的概念。 2.理解隐函数存在惟一性定理，掌握判断隐函数存在惟一性的方法 3.熟练运用隐函数求导公式，并利用隐函数的导数来研究隐函数的性态。 教学重点 隐函数存在惟一性定理。 教学难点 1.隐函数存在惟一性定理的证明。 2.判断隐函数存在惟一性。 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 1 2 y  x  ，u e (sin xy sin yz sin zx). xyz    这种形式的函数称为显函数。 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。 ☆ 本节将介绍由一个方程 F(x, y,z)  0 所确定的隐函数求导法； ☆ 下一节将介绍由方程组      ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 所确定的隐函数求导法

隐函数概念设XcR，YcR，函数F:XxY→Rdf:对于方程F(x,y)=0(1)若存在集合ICX与JCY，使得对于任何xEI，恒有唯一确定的YEJ，使得（x,y）满足方程(1)，则称由方程(1)确定一个定义在I上，值域含于J的隐函数。注：1）定义中的y=f(x）xel,yeJ,仅表示定义域为I,值域为J的函数，而y未必能用x的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法．是用隐形关系式表示函数关系的一种。结论：若由F(x,J)=O确定的隐函数为y=f(x）xel,yeJ.则成立恒等式F(x,F(x)=0,x1讲授新例：方程xy+y-1=0，当×定义在(-00,-1)U(-1,+o0)上时，可得隐函数y=f(x)。其显函数形式为：=课1+x例：圆方程x?+y2=1能确定一个定义在[-1,+1]上，函数值不小于0的隐函数y=V1-x2；又能确定另一个定义在[-1,+1]上，函数值不大于的隐函数y=-vi-x?.注：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及x,y的取值范围后才有意义。2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程x?+y?+c=0当c>0时，就不能确定任何函数F(x)，使得x2+[f(x)P+c=0.而只有当c≤0时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程F(x,y)=0在什么条件下才能确定隐函数。4）倘若方程F(x,J)=0能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那

讲 授 新 课 一 、 隐函数概念 设 X  R ，Y  R ，函数 F : X Y  R. 注．：1）定义中的 y  f (x) x I, y  J, 仅表示定义域为 I,值域为 J 的函数， 而 y 未必能 用 x 的显式表示 2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的 一种。 结论．．：若由．．F(x, y)  0 确定的隐函数为 ．．．．．．．y  f (x) x I, y  J. 则成立恒等式 ．．．．．． F(x,F(x))  0, x I. 例： 方程 xy  y 1  0 ，当 x 定义在 (,1)(1,) 上时，可得隐函数 y  f (x) 。其显函数形式为： . 1 1 x y   例： 圆方程 1 2 2 x  y  能确定一个定义在 1,1 上，函数值不小于 0 的隐函 数 2 y  1 x ；又能确定另一个定义在 1,1 上，函数值不大于 0 的隐函数 2 y   1 x 。 注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及 x, y 的取值范围后才有意义。 2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。 3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程 0. 2 2 x  y  c  当 c  0 时，就不能确定任何函数 f x ，使得  ( ) 0. 2 2 x  f x  c  而只有当 c  0 时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程 F(x, y)  0 在什么条件下才能确定隐函数。 4）倘若方程 F(x, y)  0 能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那 df：对于方程 F(x, y)  0 (1) 若存在集合 I  X 与 J  Y ，使得对于任何 x  I ，恒有唯一确定的 y  J ，使得 （x,y）满足方程(1)，则称由方程(1)确定一个定义在 I 上，值域含于 J 的隐函数。 一般可记为

样，能从方程中解出y，并用自变量x的算式来表示（即使F(x,J)是初等函数）。例如，（证明见P149）例1）对于方程siny=0y-x-2可以证明确实存在一个定义在(-o0,+)上的函数f(x)，使得f(x)-x+siny=02但这函数f(x)却无法用x的算式来表达。5）由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程F(x,y)=0能否确定隐函数以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。二、隐函数存在性条件的分析[== F(x,), 即(x,y)分析1：满足方程F(x,J)=0的（x,y）应满足方程组Z=0应属于曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交集。（z=0，：该交集在0-xy平面上）结论：若方程F(x,y)=0能确定一个函数，则至少要求曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交集非空，即存在0-xy平面上的点P(xo,y）使F。(xo,y）=0。分析2：其次，对上述P。而言，若方程F(x,y)=0能在点P附近确定一个连续函数，则从几何意义上表现为上述交集是一条通过点P。的连续曲线段（该曲线段在0-xy平面上）（P145图18-1）。如果曲面z=F(x,y)在点P处存在切平面，2-Fx且切平面与坐标平面==0相交于直线1（同样1也在0-xy平面上），那么曲面z=F(x,J)在点图18-1P。附近亦必与坐标平面z=0相交（其交线在点

样，能从方程 中解出 y ，并用自变量 x 的算式来表示（即使 F(x, y) 是初等函数）。例如， （证明见 P149）例 1）对于方程 sin 0. 2 1 y  x  y  可以证明确实存在一个定义在 (,) 上的函数 f (x) ，使得 sin 0, 2 1 f (x)  x  y  但这函数 f (x) 却无法用 x 的算式来表达。 5) 由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程 F(x, y)  0 能否 确定隐函数 以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。 二 、隐函数存在性条件的分析 分析 1：满足方程 F(x, y)  0 的（x , y）应满足方程组      0 ( , ) z z F x y ，即（x , y） 应属于曲面 z  F(x, y) 与坐标平面 z  0 的交集。（∵ z  0，∴该交集 在 0-xy 平面上） 结论．．：若方程 ．．．F(x, y)  0 能确定一个函数，则至少要求曲面 ．．．．．．．．．．．．．．．z  F(x, y) 与坐标 ．．． 平面．．z  0 的交集非空，即存在 ．．．．．．．．．0-xy 平面上的点 ．．．．． ( , ) 0 0 0 P x y 使．F0 (x0 , y0 )  0。． 分析 2：其次，对上述 P0 而言，若方程 F(x, y)  0 能在点 P0 附近确定一个连 续函数，则从 几何意义上表现为上述交集是一条通过点 P0 的连续曲线段（该曲线段在 0-xy 平面上）（P145 图 18-1）。 如果曲面 z  F(x, y) 在点 P0 处存在切平 面， 且切平面与坐标平面 z  0 相交于直线 l （同 样 l 也在 0-xy 平面上），那么曲面 z  F(x, y) 在点 P0 附近亦必与坐标平面 z  0 相交（其交线在 点

P。处的切线正是1)。为此，我们有以下结论。结论：若z=F(x,y)在点P。可微，且(F(Po),F,(P))+(0,0)(2)则z=F(x,y)在点P存在切平面，并与z=0相交成直线。事实上：由P113Th17.4可知，若z=F(x,y)在点P。可微，则z=F(x,y)在点P存在切平面，又(F(P),F,(P)+(0,0),所以切平面不平行于0-xy平面，所以必与z=0(即 0-xy平面)相交成直线。分析3：如果进一步要求上述隐函数y=f(x）（或x=g(y)）在点P可微，则在F为可微的假设下，通过方程F(x,y)=0在点P处对x求导，依链式法则得到可得到以下结论。结论：若隐函数y=f(x)（或x=g(y)）在点P可微，且z=F(x,y)也可微则F(P)dyi(4)当F,(P)+0时，dx /F,(P.)F,(P)dx类似地，当F(P)+0时，=hF.(P)事实上：由F(x,J)=0，两端对x求导，依链式法则可得F(P)+F,(P).- = 0(3)所以，当F,(P）±0时，由上式可解出（4)F,(P.)dx同理，当F（P）0时，可得dyl=yF,(P)注：1)应关注条件(F(P),F,(P)(0,0),对隐函数的存在性及对隐函数的求导的重要性

P0 处的切线正是 l ）。为此，我们有以下结论。 结 论 ． ． ： 若． z  F(x, y) ．在 点． P0 ．可微，且 ． ． ． ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  （．2．）． 则．z  F(x, y) 在点．．P0 存在切平面，并与 ．．．．．．．．z  0 相交成直线。 ．．．．．． 事实上：由 P113 Th17.4 可知，若 z  F(x, y) 在点 P0 可微，则 z  F(x, y) 在点 P0 存在切 平面，又 ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  所以切平面不平行于 0-xy 平面，所以必与 z  0 (即 0-xy 平面)相交成直线。 ▋ 分析 3：如果进一步要求上述隐函数 y  f (x) （或 x  g(y) ）在点 P0 可微，则 在 F 为可微 的假设下，通过方程 F(x, y)  0 在点 P0 处对 x 求导，依链式法则得到可得到 以下结论。 结论．．：若隐函数 ．．．．y  f (x) （或．．x  g(y) ）在点 ．．．P0 可微，且 ．．．．z  F(x, y) 也可微， ．．．． 则． 当．Fy (P0 )  0 时，．．     . 0 0 0 F P F P dx dy y x xx   （．4．）． 类似地，当 ．．．．．Fx P0   0 时，．．     . 0 0 0 F P F P dy dx x y yy   事实上：由 F(x, y)  0 ，两端对 x 求导，依链式法则可得     0 0 0 0 x  y  xx  dx dy F P F P （3） 所以，当 Fy (P0 )  0 时，由上式可解出（4） 同理，当 Fx P0   0 时，可得     . 0 0 0 F P F P dy dx x y yy   ▋ 注．：1)应关注条件 ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  对隐函数的存在性及对隐函数的求 导的重要性

三、隐函数定理（P146)定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若满足下列条件：(i）函数F在以P。（xo,y）为内点的某一区域DCR?上连续；(i）F(xo,yo）=0（通常称为初始条件）；(ii）在D内存在连续的偏导数F,(x,y)：(iv) F,(xo,yo)*0,则在点P的某邻域U(Po)CD内，方程F(x,y)=0惟一地确定了一个定义在某区间(x-α,x+α)内的函数（隐函数）y=f(x)，使得10 f(x)= yo,xe(xo -α,Xo +α)时(x, f(x)eU(P)且 F(x, f(x)=02°f()在(x-α,x+α)内连续证明：由条件(iv),不妨设F,(o,y)>0(若F(xo,y)0.因此,对每个固定的xe[x-β,x+β],F(x,J)作为y的一元函数,必定在[%-β,%+β]上严格增且连续.②由F(xo,y%)=0(初始条件(i)可知 F(xo,-β)0③又由F的连续性条件（i）可知道函数F(x,y-β)与F(x,y+β)在[-β,x+上也是连续的。因此由保号性存在α>0(α≤β)，当x(x -α,X +α)时恒有 F(x, -β)0

三 、 隐函数定理（P146） 证明：由条件(iv),不妨设   0 0 F x , y x >0(若   0 0 F x , y x 0. 因此,对每个固定的 x      0 0 x , x , Fx, y 作为 y 的一元函数,必定在      0 0 y , y 上严格增且连续. ②由 F(x0 , y0 )  0 （初始条件(ii)）可知 Fx0 , y0     0 ,     0 0 F x , y >0 ③又由 F 的连续性条件（i）可知道函数     0 F x, y 与     0 F x, y 在      0 0 x , x 上也是连续的。因此由保号性存在   0   ， 当    0 0 x x , x 时恒有  ,  0,  ,  0. F x y0    F x y0    定理 18.1（隐函数存在惟一性定理） 若满足下列条件： （i）函数 F 在以 P0 ( , ) 0 0 x y 为内点的某一区域 2 D  R 上连续； （ii） F(x0 , y0 )  0 （通常称为初始条件）； （iii）在 D 内存在连续的偏导数 F x y y , ； （iv）   0 0 F x , y y  0， 则在点 P0 的某邻域 U(P0 )  D 内，方程 Fx, y =0 惟一地确定了一个定义 在某区间 ( , ) x0  x0  内的函数（隐函数） y  f (x) ，使得 1º   0 0 f x  y , ( , ) x x0  x0  时 ( , ( )) ( ) U P0 x f x  且 Fx, f (x)  0 ； 2° f x 在 ( , ) x0  x0  内连续

如图18-2所示，在矩形ABB'A的AB边上F取负值，在AB边上F取正值因此对(x-α,x+α)内每个固定值x，同样有 F(x, o -β)0 。图18-2根据前已指出的F(x,J)在[-β,y+β)上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的ye(y-β,y。+β)，使得满足F(x,y)= 0.③由x在(x-α,x+α)中的任意性，这样就确定了一个隐函数y=f(x)，它的定义域为(x-α,x+α)，值域含于(%-β,+β)若记U(P)=(xo-α,x +α)x(yo-β,y +β)则y=f(x）即为所求（满足结论1°的各项要求.）二），再证明f的连续性（前面已证y=f(x)，现证其连续性）只须证明：对(x-α,+α)中的任x及唯一对应的=f(x)，使得对任8>0，存在8>0，当x-对0，不妨设ε0.成立③由F的连续性及保号性存在x的某邻域(x-8,x+)(x-α,x+α)使得当x(x-8,x+)时(即x-时),有F(x,-8)0

如图 18-2 所示，在矩形 ABB' A' 的 AB 边上 F 取负值， 在 A'B' 边上 F 取正值．④因此对 ( , ) x0  x0  内每个固定值 x ， 同样有 F(x, y0  )  0， F(x, y0  )  0。 根据前已指出的 F(x, y) 在      0 0 y , y 上 严格增且连续，由介值性保证存在唯一的 ( , ) y  y0   y0   ，使得满足 F(x, y)  0． ⑤ 由 x 在 ( , ) x0  x0  中 的 任 意 性 ， 这 样 就 确 定 了 一 个 隐 函 数 y  f (x) ，它的定义域为 ( , ) x0  x0  ，值域含于 ( , ) y0   y0   ．若记 ( ) ( , ) ( , ), U P0  x0  x0   y0   y0   则 y  f (x) 即为所求 （满足结论 1°的各项要求．） 二）. 再证明 f 的连续性． （前面已证 y  f (x) ，现证其连续性） 只须证明：对 ( , ) x0  x0  中的任 x 及唯一对应的 y  f (x) ，使得对任   0 ，存在   0 ，当 x  x   时 f (x)  f (x)   即可。 ①由上述结论可知： 对于 x  ( , ) x0  x0  内的任意点，有唯一的 y  ( , ) y0   y0   ，使得 y  f (x) 且满足 F(x, y)  0． ②所以，对任给   0 ，不妨设 min , ,   y0    y y  y0   使得 . y0    y   y    y0   则在 [y , y   ] 上同样有： F(x, y  )  0， F(x, y   )  0 ．成立 ③由 F 的连续性及保号性存在 x 的某邻域 ( , ) ( , ), x  x   x0  x0  使得当 x  (x , x  ) 时（即 x  x   时），有 F(x, y  )  0 ，F(x, y   )  0

④因此由介值性定理，存在唯一的yE(y-8,y+8)，使得F(x,J)=0y-J0，存在>0，当-对时(x)-(<，即f(x)在x连续．由x的任意性，证得(x)在(xo-α,x+α)内处处连续．■注：1）本“隐函数存在惟一性定理”仅保证了在点P的某邻域U(P)CD内，方程F(r,y)=0 唯一地确定了一个定义在某区间(-α,x+α)内的函数（隐函数）=f(x)，并非保证在使F(x,J)=0有意义的全体区域内存在隐函数，所以该定理仅仅给出了由F(x,y)=0确定的某局部存在隐函数的一个充分条件。例如：见（P150）例22）（P147倒10-倒3行）定理18.1的条件仅仅是充分而非必要的。例如：方程y3-x3=0在点(0,0)不满足条件(iv）（F,(0,0)=0)，但它仍能确定惟一的连续函数V=X.当然，由于条件（iv)不满足，往往导致定理结论的失效。例如：（P147倒8-13行）图18-3所示的双纽线，其方程为F(x)=(+)-+y=0由于F(0,0)=0，F与F,=4y(x2+y)+2）均连续，故满足定理条件(i)（ii）（iii).函18-3但因F,(0,0)=0，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数，3）（P147倒2-P148第4行）定理中的条件(ii)和(i)是比较强的，在定理证明过程中，条件(iii)和(iv)只是用来保证存在P。的某一邻域，使得F在此邻域内关于变量y是严格单调的.因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F在

④因此由介值性定理，存在唯一的 y  (y , y   ) ，使得 F(x, y)  0， y  y   ． ⑤由 y 的唯一性，推知 y  f (x)． 这就证得：对任   0 ，存在   0 ，当 x  x   时 f (x)  f (x)   ，即 f (x) 在 x 连续．由 x 的任意性，证得 f (x) 在 ( , ) x0  x0  内处处连 续． ▋ 注．：1) 本“隐函数存在惟一性定理” 仅保证了在点 P0 的某邻域 U(P0 )  D 内，方程 Fx, y =0 唯一地确定了一个定义在某区间 ( , ) x0  x0  内的函数 （隐函数） y  f (x) ，并非保证在使 Fx, y =0 有意义的全体区域内存在隐函 数，所以该定理仅仅给出了由 Fx, y =0 确定的某局部存在隐函数的一个充 分条件。 例如：见（P150）例 2 2）（P147 倒 10-倒 3 行）定理 18．1 的条件仅仅是充分而非必要的． 例如： 方程 0 3 3 y  x  在点 (0,0) 不满足条件(iv) ( (0,0)  0) Fy ，但 它仍能确定惟一的连续函数 y  x ． 当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效。 例如：(P147 倒 8-13 行)图 18-3 所示的 双纽线， 其方程为 ( , ) ( ) 0. 2 2 2 2 2 F x y  x  y  x  y  由于 F(0,0)  0， F 与 F y x y y y 4 ( ) 2 2 2    均连续，故满足定理条件(i)(ii) (iii)． 但因 Fy (0,0)  0 ，致使在原点的无论怎样 小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数． 3) （P147 倒 2-P148 第 4 行）定理中的条件 (iii) 和 (iv) 是比较强的， 在定理证明过程中，条件(iii)和(iV)只是用来保证存在 P0 的某一邻域，使 得 F 在此邻域内关于变量 y 是严格单调的． 因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“ F 在

P的某一邻域内关于y严格单调”。现在采用较强的条件(ii)和(ii)，只是为了在实际应用中便于检验。4）条件“F在P。的某一邻域内关于y严格单调”类似于一元函数存在反函数的充分条件为1-1对应的（连续的1-1对应函数必为严格单调函数，）。应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。5）（P148第5-P148第7行）如果把定理的条件(ii)、（iv)改为F(x,J)连续，且F(xo,y)±0.这时结论是存在唯一的连续函数x=g(y)定理18.2（隐函数可微性定理）设F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理中的条件(i)-(iv)，又设在D内还存在连续的偏导数F(x,J)，则由方程（1)所确定的隐函数在y=f(x)在其定义域(xo-α,xo+α)内有连续导函数，且F(x)=-E(x,y)F,(x,y)证明：设x(x-α,x+α)，给x一增量△x使x+xe(x-α,X+α)，且使得它们所对应的函数值y=f(x)与y+Ay=f(x+Ax)均含于( -β,% +β)内。:F(x,y)=0,F(x+Ax,y+Ay)=0：.由F、F,的连续性以及二元函数中值定理（P133定理17.8），有0= F(x+Ax,y+Ay)-F(x,y)=F,(x+x,y+y)Ar+F,(x+xr,y+y)Ay,（其中0<0<1. )

P0 的 某一邻域内关于 y 严格单调”。现在采用较强的条件 (iii) 和 (iv) ，只是为了在 实际应用中便于检验。 4）条件“ F 在 P0 的某一邻域内关于 y 严格单调”类似于一元函数存在 反函数的充分条件为 1-1 对应的（连续的 1-1 对应函数必为严格单调函数，）。 应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。 5）（P148 第 5-P148 第 7 行）如果把定理的条件 (iii)、(iv) 改为 F (x, y) x 连续，且 ( , ) 0. Fx x0 y0  这时结论是存在唯一的连续函数 x  g(y). 证明：设 x  ( , ) x0  x0  ，给 x 一增量 x 使 x  x  ( , ) x0  x0  ，且 使 得 它 们 所 对 应 的 函 数 值 y  f (x) 与 y  y  f (x  x) 均含于 ( , ) y0   y0   内。 ∵ F(x, y)  0, F(x  x, y  y)  0 ∴由 Fx 、 Fy 的连续性以及二元函数中值定理（P133 定理 17.8），有 0  F(x  x, y  y)  F(x, y) F (x x, y y) x F (x x, y y) y,  x     y    （其中 0   1. ） 定理 18.2（隐函数可微性定理）设 F(x, y) 满足隐函数存在唯一性定理中的条件 (i)  (iv) ，又设在 D 内还存在连续的偏导数 F (x, y) x ，则由方程（1）所确定的隐函 数在 y  f (x) 在其定义域 ( , ) x0  x0  内有连续导函数，且 . ( , ) ( , ) '( ) F x y F x y f x y x   （5）

Ay -- F(x+Ax, y+ Ay)因而注意到上式右端是连续函数ArF,(x+Ax,y+Ay)F,(x,Jy)、F,(x,y)与f(x)的复合函数，且F,(x,y)±0(xeU(P))Ay=-F.(x,y)f(x)= lim 所以有（导函数的存在性）Ar-=0AxF,(x,y)且F(x)在(x-α,xo+α)内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数）注：1)(P148倒7-P1496行)P146已经有结论：若方程F(x,y)=0确实存在连续可微的隐函数，则可对方程F(x,J)=0应用复合函数求导法得到隐函数的导数.事实上：若把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，则有F(x,y)+F,(x,y)y=0.所以，当F,(x,y)+0时，即可推得（5）式成立。2）（自看：P148倒2-149第6行）对于隐函数的高阶导数，可用和上面同样的方法来求得，这时只要假定函数F存在相应阶数的连续的高阶偏导数。例如，要计算y"，只要对恒等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得Fr(x,y)+Fy(x,y)y +[F(x,y)+F,(x,y)y lv +F,(x,y)y =0再把（5）得结果代入上式，整理后得到"--f(F+2Fay+Fys)_2FF,F-FF-FF,F3T当然它也可由公式（5）直接对x求导而得到

因而 . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x                 注意到上式右端是连续函数 F (x, y) x 、 F (x, y) y 与 f (x) 的复合函数，且 Fy (x, y)  0 ( ( ) U P0 x  ) 所以有 ( , ) ( , ) '( ) lim 0 F x y F x y x y f x y x x        （导函数的存在性） 且 f '(x) 在 ( , ) x0  x0  内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数） ▋. 注．：1)(P148 倒 7-P1496 行)P146 已经有结论：若方程 F(x, y)  0 确实存在连 续可微的隐函数，则可对方程 F(x, y)  0 应用复合函数求导法得到隐函数的 导数. 事实上：若把 F(x, f (x)) 看作 F(x, y) 与 y  f (x) 的复合函数时，则有 F (x, y)  F (x, y)y'  0. x y 所以，当 F (x, y) y  0 时，即可推得（5）式成立。 2)(自看：P148 倒 2-149 第 6 行)对于隐函数的高阶导数，可用和上面同 样的方法来求得，这时只要假定函数 F 存在相应阶数的连续的高阶偏导数。 例如，要计算 '' y ，只要对恒等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得 ( , ) ( , )  ( , ) ( , )  ( , ) 0. ' ' ' " Fxx x y  Fxy x y y  Fyx x y  Fyy x y y y  Fy x y y  再把（5）得结果代入上式，整理后得到   2 " ' ' 2 1 F F y F y F y xx xy yy y     , 2 3 2 2 y x y xy y xx x yy F F F F  F F  F F  当然它也可由公式（5）直接对 x 求导而得到

定理18.3（P149）若)函数F(x,x2,,x)在以点P(x,x2,.,xy)为内点的区域DcR"+I上连续；() F(x,x2,,x)=0;i）偏导数F，FsFF,在D内存在且连续；(iv)F, (,x,.x,y)+0,则在点P的某邻域U(P)D内，方程F(x,x,x,J)=0惟一地确定了一个定义在Q（xx2xy°)的某邻域U(o)cR"内的n元连续函数（隐函数）=(,x)，使得I当(xx,)eU(o)时(x,Xn (x,X,)eU(P),月F(x,x.,xn.f(,x,,x.))=0,y=f(,.,x2y=f(,x，"x）在U(o）内有连续偏导数：，J,J，而且FxF.FaJ.f=fLF,F,F,☆（可自看P149第7-22行，）最后，我们可以类似地理解由方程F(x,x"",xy)=0所确定的n元隐函数的概念.并叙述下列n元隐函数的唯一存在与连续可微性定理：四、隐函数求导举例（P149）例1（P149）设方程(7)siny=0.F(x,y)=y-x:2由于F及其偏导数Fr,F,在平面上任一点都连续（满足第（i)（i）条件iv），且F(0,0)=0，（满足第（ii）个条件，即初始条件）

☆ （可自看 P149 第 7-22 行,）最后，我们可以类似地理解由方程 Fx1 , xx ,  , xn , y  0 所确定的 n 元隐函数的概念.并叙述下列 n 元隐函数的 唯一存在与连续可微性定理： 四、隐函数求导举例（P149） 例 1（P149） 设方程 sin 0. 2 1 F(x, y)  y  x  y  （7） 由于 F 及其偏导数 Fx Fy , 在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ）， 且 F(0,0)  0, （满足第（ⅱ）个条件，即初始条件）， 定理 18.3 （P149）若 i 函数 Fx x x y n , , , , 1 2  在以点 ( , , , , ) 0 0 0 2 0 0 1 P x x x y  n 为内点的区域 1  n D R 上连续； (ii) ( , , , , ) 0; 0 0 0 2 0 F x1 x  xn y  (iii) 偏导数 Fx Fx Fx Fy n , , , , 1 2  在 D 内存在且连续； (ⅳ)  , , , ,  0, 0 0 0 2 0 Fy x1 x  xn y  则在点 P0 的某邻域 UP0   D 内，方程 Fx1 , xx ,  , xn , y  0 惟一地确定了一 个定义在 ( , , , , ) 0 0 0 2 0 0 1 Q x x x y  n 的某邻域   n U Q0  R 内的 n 元连续函数（隐函 数）   n y f x , , x  1  ，使得  1 当     1 0 x , xx ,  , xn U Q 时  , , , ,  , , ,   , 1 1 U P0 x x x f x x x x  n x  n  且  , , , ,  , , ,  0, F x1 xx  xn f x1 xx  xn   , , . 0 0 1 0 n y  f x  x   x n 2 y f x , x , , x   1  在   U Q0 内有连续偏导数： n x x x f , f , , f 1 2  ，而且 , , , , 2 2 1 1 y x x y x x y x x F F f F F f F F f n n       