沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数字特征 4.1 数学期望

4.1数学期望一、数学期望的概念随机变量函数的数学期望二三、数学期望的性质沈阳师范大学

一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 4.1 数学期望 三、数学期望的性质

-1引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次，(命中的环数是一个随机变量)射中次数记录如下034125命中环数k21513102030命中次数n21315103020nk频率909090909090n试问：该射手每次射击平均命中靶多少环?沈阳师范大学

设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 引例 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 0 1 2 3 4 5 2 13 15 10 20 30 90 15 90 13 90 2 90 20 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 频率 nk n nk

-射中靶的总环数解 平均射中环数射击次数0×2+1×13±2×15+3×10+4×20+5×30-90220131510=0x+2×+4×+1x+3x909090909030+5×90nkEk.3.37.nk=0“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加沈阳师范大学

解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 +  =  +  +  +  +   = 3.37. = =  5 k 0 k n n k “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加

4一、数学期望的概念1.离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为P[X = x,} = Pk, k = 1,2,....88ZxPk绝对收敛,则称级数若级数XkPkk=1k=1为随机变量X的数学期望,记为E(X).即8ZE(X) =XkPk.k=1沈阳师范大学

1. 离散型随机变量的数学期望 定义 ( ) . , ( ). , { } , 1,2, . 1 1 1     =  =  = = = = = k k k k k k k k k k k E X x p X E X x p x p P X x p k X 为随机变量 的数学期望 记为 即 若级数 绝对收敛 则称级数 设离散型随机变量 的分布律为  一、数学期望的概念

H关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同沈阳师范大学

关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变

中2X1假设0.020.98p1 +2随机变量X的算术平均值为:1.5,2E(X) = 1× 0.02 + 2× 0.98= 1.98x012它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X的期望值与算术平均值相等沈阳师范大学

x O • 随机变量 X 的算术平均值为 1.5, 2 1 2 = + 假设 E(X) = 1 0.02 + 2 0.98= 1.98. 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. • 1 • 2 • • X 1 2 p 0.02 0.98

H4例1设X服从参数为p的0-1分布：P(X =0)=1- p,P(X =1)= p. 求E(X)解E(X)=0×(1-p)+1×p= p沈阳师范大学

例 1 ( ) ( ) ( ) : 0 1 , 1 . . X p P X p P X p E X = = − = = 设 服从参数为 的0-1分布 求 解 E(X ) = 0(1− p)+1 p = p

-例2设X服从参数为2的泊松分布：akk = 0,1,2,...求E(X)Pk =k!2k8解E(x)=Zkpk=Zkek!k=0k=08()e= e-^e=几沈阳师范大学

例 2 , 0,1,2, . ( ). ! : e k E X k p X k k 求 设 服从参数为 的泊松分布 = − =    解 ( ) = = k 0 k E X kp = − = 0 ! k k e k k  ( )1 1 1 ! k k e k     − − = = −    e e − == 

例3谁的技术比较好?甲、乙两个射手，他们射击的分布律分别为8910击中环数甲射手概率0.60.30.19810击中环数乙射手概率0.20.50.3试问哪个射手技术较好？沈阳师范大学

甲、乙两个射手, 他们射击的分布律分别为 试问哪个射手技术较好? 例3 谁的技术比较好? 乙射手 击中环数 概率 8 9 10 0.2 0.5 0.3 甲射手 击中环数 概率 8 9 10 0.3 0.1 0.6

解设甲、乙射手击中的环数分别为Xi,X,·E(X) = 8×0.3 + 9×0.1 +10×0.6 = 9.3(环)E(X2) = 8× 0.2 + 9×0.5+10×0.3 = 9.1(环)故甲射手的技术比较好沈阳师范大学

解 ( ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3( ), E X1 =  +  +  = 环 ( ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1( ), E X2 =  +  +  = 环 , . 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1 X2 故甲射手的技术比较好