沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.3 二维连续型随机变量

43.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及其联合分布二、两个常见的连续型分布三、边缘分布沈阳师范大学

一、二维连续型随机变量及其联合分布 二、两个常见的连续型分布 三、边缘分布 3.3 二维连续型随机变量

一、二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,有F(x,y)= m/mf(u,v) dudv,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,J)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度沈阳师范大学

. ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) d d , ( , ) , ( , ) ( , ), 机变量 和 的联合概率密度 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随 则称 是连续型的二维随机变量 函数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 对于二维随机变量 的分布函数 X Y X Y X Y f x y F x y f u v u v f x y x y X Y F x y y x − − = 1.定义 一、二维连续型随机变量及其联合概率密度

2.性质(1) f(x,)≥0. 非负性(2) 规范性f(x,y) dxd y = F(o,o) =1.(3)设G是xoy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为P((X,Y) e G) = [[ f(x, y) dxd y.Ga"F(x,y)(4)若f(x,y)在(x,y)连续,则有 f(x,y).axay沈阳师范大学

(2) ( , ) d d = (,) = 1.   + − + − f x y x y F {( , ) } ( , ) d d .   = G P X Y G f x y x y (1) f (x, y)  0. 2.性质 内的概率为 设 是 平面上的一个区域 点 落在 G(3) G xoy , (X,Y ) ( , ). ( , ) (4) ( , ) ( , ) , 2 f x y x y F x y f x y x y =    若 在 连续 则有 非负性 规范性

43.说明几何上,z=f(x,J)表示空间的一个曲面"f(x,y)dxdy = 1,表示介于f(x,y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.P((X,Y)eG) = (/ f(x,y) dxd y,P((X,Y)EG的值等于以G为底,以曲面z= f(x,J)为顶面的柱体体积。沈阳师范大学

表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1. { ( , ) } ( , ) d d ,   = G P X Y G f x y x y ( , )d d = 1,   + − + − f x y x y 3.说明 . {( , ) } , ( , ) 为顶面的柱体体积 P X Y G 的值等于以G为底 以曲面z = f x y 几何上, z = f (x, y) 表示空间的一个曲面

例1 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为Cxy, 0≤x≤1, 0≤y≤1,2 y10,其他求(1) 常数C; (2) P[X+YY沈阳师范大学

例1 设二维随机变量( X,Y )的密度函数为 ( ) , 0 1, 0 1, , 0, . Cxy x y f x y      =   其他 求(1)常数C;(2)P{X+YY}

-4例2 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为4xy, 0≤x≤1, 0≤y≤1,(x,y10,其他求(X,Y)的联合分布函数沈阳师范大学

例2 设二维随机变量( X,Y )的密度函数为 ( ) 4 , 0 1, 0 1, , 0, . xy x y f x y      =   其他 求( X,Y )的联合分布函数

例3设二维随机变量(X,Y)具有概率密度[2e-(2x+y)x>0, y>0,f(x,y) =[0,其它.(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率 P(Y≤X)沈阳师范大学

(1) ( , );(2) { }. 0, . 2e , 0, 0, ( , ) ( , ) (2 ) F x y P Y X x y f x y X Y x y       = − + 求分布函数 求概率 其它 例3 设二维随机变量 具有概率密度

H解 (1)F(x,y)= ((f(x,y)dxdyy (" 2e-(2x+y) dxd y, x > 0, y > 0,J00其他.0,)(1-e-), x>0,y>01-E得F(x,y)其他0,沈阳师范大学

解 − − = y x (1)F(x, y) f (x, y)d xd y       =   − + 0, . 2e d d , 0, 0, 0 0 (2 ) 其他 y x x y x y x y    − −   = − − 0, . (1 e )(1 e ), 0, 0. ( , ) 2 其他 得 x y F x y x y

(2)将（X,Y)看作是平面上随机点的坐标即有 (Y≤X}=((X,Y)eG),P(Y ≤ X) = P((X,Y)EG)Y X= JJ (x,y)dxdyGG+82x2dxe-ydyeJox3沈阳师范大学

{Y  X} = {(X,Y )G}, P{Y  X} = P{(X,Y )G} (2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 Y = X G x y O f x y x y G ( , )d d  = 2 0 0 2 e d e d x x y x y + − − =   . 3 1 =

心4-两个常用的分布、P1.均匀分布定义设G是平面上的有界区域,其面积为 Sc,若二维随机变量（X，Y）具有概率密度(x, y)eG,Sf(x,y)=3 s其他0,则称（X，Y）在G上服从均匀分布沈阳师范大学

1.均匀分布 定义 设 G 是平面上的有界区域,其面积为 SG ,若 二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 则称 ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布. 1 , ( , ) , ( , ) 0, . G x y G f x y S    =    其他 二、两个常用的分布