沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度

-2.4连续型随机变量及其率密度一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布沈阳师范大学

一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度

中一、概率密度的定义与性质1.定义设随机变量X的分布函数 F(x),如果存在一个非负可积函数f(x），使得对于任一实数x有F(x) = ( f(t)dt,则称X为连续型随机变量,相应的F(x)为连续型分布函数,同时称 f(x)是F(x)的概率密度函数简称概率密度Probabilitydensityfunction注：连续型随机变量的分布函数是连续函数沈阳师范大学

( ), ( ) , ( ) ( )d , , ( ) , ( ) ( ) , . x X F x f x x F x f t t X F x f x F x − =  设随机变量 的分布函数 如果存在一个 非负可积函数 使得对于任一实数 有 则称 为连续型随机变量 相应的 为连续型 分布函数 同时称 是 的概率密度函数 简称概率密度 一、概率密度的定义与性质 1.定义 Probability density function 注：连续型随机变量的分布函数是连续函数

-f(x) f(x)dx=1S/S, = ( f(x)dxx0Xi X2沈阳师范大学

o x f (x) 1 f x x ( )d 1 + − =  S1 S f x x x x ( )d 2 1 1  = x1 • x2 •

性质非负性(1) f(x)≥0;(2) - f(x)dx=1; 规范性(3)对于任意实数 a,b,且 α≤b有 P(a<X≤b)=[" f(x) dx即 [" f(x) dx = F(b)-F(a)(4) 若 f(x)在点x处连续,则有F(x)= f(x)沈阳师范大学

{ } ( ) b a P a X b f x dx = 有  性质 (1) f (x)  0; (2) ( )d = 1;  + − f x x 非负性 规范性 (3) 对于任意实数 a, b,且 a b  , (4) 若 f (x) 在点 x 处连续,则有 F(x) = f (x). ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − 即 

中重(5）对于任意可能值α,连续型随机变量取α的概率等于零.即P(X = a) = 0.由此可得Pa≤X≤bi=Pia<X≤bi=Pia≤X<b= Pia<X<b)连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关沈阳师范大学

(5) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 概率等于零.即 P{X = a} = 0. 由此可得 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 P{a  X  b}= P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b}

H山注意若X是连续型随机变量，X=a}是不可能事件，则有 P[X=α}=0.连续型若 P(X =a}= 0,则不能确定{X=α是不可能事件离散型若X为离散型随机变量(X =α)是不可能事件 台 P[X=)= 0.沈阳师范大学

P{X = a} = 0. 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 若 P{X = a} = 0, {X = a}是不可能事件  P{X = a} = 0. 若 X 为离散型随机变量, 注意 连 续 型 离 散 型 则不能确定{X = a}是不可能事件

H例1设随机变量X具有概率密度Ax?,0≤x≤1,f(x)=其他[0,(1)试确定常数 A;(2) 求 P(-1 < X ≤ 0.5);(3)求 F(x).沈阳师范大学

( ) 2 , 0 1, ( ) 0, . (1) ; (2) { 1 0.5}; (3) . X Ax x f x A P X F x    =   −   设随机变量 具有概率密度 其他 试确定常数 求 求 例1

-例2设连续型随机变量X的分布函数为0.x<0,元F(x)=^Asinx, 0≤x<2元x≥2求 (1)系数 A; pp43(2) P(|X|<):(3)X的概率密度函数f(x)沈阳师范大学

( ) 0, 0, ( ) sin , 0 2 1, . 2 (1) ; (2) { }; 6 (3) . X x F x A x x x A P X X f x         =          设连续型随机变量 的分布函数为 求 系数 的概率密度函数 例2 pp43

重-二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布Uniform distribution定义设[a,b]为任一区间,若连续型随机变量X的概率密度函数为1a≤x≤b.f(x)=3b-a其他,0,则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为 X ~U(a,b),沈阳师范大学

二、常见连续型随机变量的分布     , , 1 , , ( ) 0, , , , ~ ( , ). a b X a x b f x b a X a b X U a b     =  −   定义 设 为任一区间 若连续型随机变量 的概率密度函数为 其他 则称 在区间 上服从均匀分布 记为 1. 均匀分布 Uniform distribution

中--概率密度函数图形f(x)1b-a0bxa均匀分布的分布函数F(x)0,x<a,1x-aF(x) :a≤x<b.b-a[1,x ≥ b.0bxa沈阳师范大学

          − −  = 1, . , , 0, , ( ) x b a x b b a x a x a F x 均匀分布的分布函数 o x F(x) • a • b 1• 概率密度函数图形 x o f (x) • a • b b − a 1