复旦大学：《Matlab Math》（双语版）CHAPTER 2 线性方程组

Matlab Math 线性方程组 Cleve morler著 陈文斌(woche@fudan.edu.cn) 复旦大学2002

Matlab Math 线性方程组 Cleve Morler著 陈文斌（wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学2002

线性方程组 Ax=b有x=A1b,但实际上并不显式求A1 例子: 7x=2l x=21/7=3 如果求逆 x=71X21=.l42857X21=2.99997 这就需要一次除和一次乘,且精度更低

Ax = b 有x = A-1b，但实际上并不显式求A-1 线性方程组 例子： 7x = 21 x = 21/7=3 如果求逆 x = 7-1×21 = .142857 ×21 = 2.99997 这就需要一次除和一次乘，且精度更低

Backslash运算符 MATLAB AX= B X=AB 左除 MATLAB XA=B X= B/A 右除

Backslash运算符 AX = B X = A\B 左除 XA = B X = B/A 右除

3-by-3的例子 10-70 10x1-7x2 →-3x1-2x2+6 5-15 7467 5 2+5x 6 10-70 10-70 0-0.16 6.1 02.55 2.5 02.55 2.5 0-0.16 10-70 02.55 0062 6.2

3-by-3的例子           =                     − − − 6 4 7 5 1 5 3 2 6 10 7 0 3 2 1 x x x 5 5 6 3 2 6 4 10 7 7 1 2 3 1 2 3 1 2 − + = − − + = − = x x x x x x x x           =                     − − 2.5 6.1 7 0 2.5 5 0 0.1 6 10 7 0 3 2 1 x x x           =                     − − 6.1 2.5 7 0 0.1 6 0 2.5 5 10 7 0 3 2 1 x x x           =                     − 6.2 2.5 7 0 0 6.2 0 2.5 5 10 7 0 3 2 1 x x x

算法矩阵表示 10-70 100 L=0510U=0255P=001 0.3-0.04 006.2 010 单位下三角阵 上三角阵 置换阵 LU=PA

算法矩阵表示           − = 0 0 6.2 0 2.5 5 10 7 0 U           − − = 0.3 0.04 1 0.5 1 0 1 0 0 L           = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 P LU = PA 单位下三角阵 上三角阵 置换阵

置换阵 000 P=/1000/P交换A的行,AP交换A的列 0 0100 置换向量p=4132]PA=A(p,) 置换方程求解 x= pib

置换阵               = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 P PA交换A的行，AP交换A的列 置换向量 p =[4 1 3 2] PA = A(p , :) Px = b x = PTb 置换方程求解

角阵的求解 Ux= b MAtLaB x=zeros(n, 1) X=zeros(n, for k=n: -1 for k=n: -1: 1 x(k)=b(k)/U(k, k) j=k+l:n i=(1k-1)7; x(k)=(b(k)-U(k)*x()/U(kk); b()=b()-X(k)*U(k) end end 求出x(m),然后把x(n)消掉

三角阵的求解 Ux = b x = zeros(n, 1); for k = n:-1:1 x(k) = b(k)/U(k,k); i = (1:k-1)’; b(i) = b(i) – x(k)*U(i,k); end x = zeros(n, 1); for k = n:-1:1 j = k+1:n x(k) = (b(k) – U(k,j)*x(j))/U(k,k); end 求出x(n)，然后把x(n)消掉 = = n j i ij j bi u x

LU分解 CF Gauss:高斯消去法(GE) 1955-1977: pivot选主元,舍入误差的影响 高斯消去法分为两步:向前消去和向后替换 U=M.,P.,M,、BM,PA 12…Lm-2U=Pn LU= PA P=PPP

LU分解 C.F.Gauss: 高斯消去法(GE) 1955~1977: pivot选主元，舍入误差的影响 高斯消去法分为两步：向前消去和向后替换 U = Mn−1 Pn−1 ...M2 P2 M1 P1 A L1 L2 ...Ln−1 U = Pn−1 ...P2 P1 A 1 2 1 1 2 1 ... ... P P P P L L L L n n − − = = LU = PA

LU分解例子 10-70 100 100 P=010 M1=0.310L=0.510 001 0.50 -0.30 100 00 100 P=001M 010L2=0 010 00.041 0-0.04

LU分解例子           − − − = 5 1 5 3 2 6 10 7 0 A           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 P1           = 0 0.04 1 0 1 0 1 0 0 M2           = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 P2           − = 0.5 0 1 0.3 1 0 1 0 0 M1           − = 0.3 0 1 0.5 1 0 1 0 0 L1           − = 0 0.04 1 0 1 0 1 0 0 L2

线性方程组求解 Ax= b LU= PA Ly=Pb / x=y MAtLaB x=Ab

线性方程组求解 Ax = b LU = PA Ly = Pb Ux = y x = A\b