Matlab Math 积分 Cleve morler著 陈文斌(wbchen(@fudan.edu.cn) 复旦大学2002
Matlab Math Cleve Morler著 陈文斌（wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学2002 积分
Presentation 首页:题目,作者,时间,单位,资助 介绍:以前工作的介绍,背景,经验和教训,参考文献 介绍二:你的工作和主要结果,和比较 主要内容:理论、计算、试验,困难,有趣的事情 总结:主要的结论,意义,不足 展望:可能的发展,前景,应用,可以深入的工作 用图形、动画、多媒体,美工 详尽的资料,观众的预期
Presentation •首页：题目，作者，时间，单位，资助 •介绍：以前工作的介绍，背景，经验和教训，参考文献 •介绍二：你的工作和主要结果，和比较 •主要内容：理论、计算、试验，困难，有趣的事情 •总结：主要的结论，意义，不足 •展望：可能的发展，前景，应用，可以深入的工作 用图形、动画、多媒体，美工 详尽的资料，观众的预期
Quadrature x(2+sin(2 x)) 广(x) 2
0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 x x (2+sin(2 x)) Quadrature b a f (x)dx
Quadrature f(x)dx= f(x)dx+f(x)dx 基本求积公式 中点公式: at b ftx≈M=hf 两阶求 梯形公式( trapezoid rule) 积公式 fx≈T=h f∫(a)+f(b) The order of a quadrature rule is the degree of the lowest degree polynomial that the rule does not integrate exactly
Quadrature b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 基本求积公式 2 a b fdx M hf b a 中点公式： 梯形公式(trapezoid rule) 2 f ( a ) f (b ) fdx T h b a The order of a quadrature rule is the degree of the lowest degree polynomial that the rule does not integrate exactly. 两阶求 积公式
X(2+sin(2 x)) 8
0 1 2 3 4 5 6 024681012 x x (2+sin(2 x))
Adaptive Quadrature 3412 0+121 (S-T)=-2(S-M)S=M+T Simpson s rule: S 3+-T四阶求积公式 atb S=-(f(a)+4f(c)+f(b), Composite quadrature rule: X[a, c][c, d ] d=(a-c)/2, e=(c-b)/2 h (∫(a)+4f(d)+2f(c)+4f(e)+f(b)
Adaptive Quadrature 1 0 2 3 1 x dx 4 1 2 1 1 2 M 2 1 2 0 1 1 2 T 12 1 4 1 3 1 6 1 2 1 3 1 ( S T ) 2( S M ) S M T 3 1 3 2 Simpson’s rule: 2 ( ( ) 4 ( ) ( )), 6 a b f a f c f b c h S S M T 3 1 3 2 四阶求积公式 Composite quadrature rule: 对[a,c],[c,d],d=(a-c)/2,e=(c-b)/2 ( ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )), 12 2 f a f d f c f e f b h S
Adaptive Quadrature S和S2都逼近同样的积分,他们的差可以用来估计误差 E=(S2-S) 二者也可以组合起来得到更精确的逼近。这两个求积 公式都是四阶的,但S2的步长是S的一半 (Q-S)=16(-S2) 5六阶求积公式 2 Weddle's rule the sixth order Newton-Cotes rule or the first step of romberg integration Extrapolated Simpsons rule
Adaptive Quadrature S和S2都逼近同样的积分，他们的差可以用来估计误差 ( ) E S 2 S 二者也可以组合起来得到更精确的逼近。这两个求积 公式都是四阶的，但S2的步长是S的一半 ( ) 16 ( ) 2 Q S Q S ( ) / 15 2 2 Q S S S 六阶求积公式 Weddle’s rule, the sixth order Newton-Cotes rule or the first step of Romberg integration. Extrapolated Simpson’s rule
quaatx Matlab中quad用递归自适应的外插 sImmon公式 quadtx是一个简化版本。先求出三点的函数值,然后用递 归过程 quadtxstep完成积分 MATLAB http://www.inf.ethz.ch/personal/gander quadtxm to的故事: [Qa, ka]-quadtxstep(, a, c tol, fa, fd, fc, varargin [Qa, ka]=quadtxstep(F, c, b, tol, fc, fe, fb, varargin
quadtx Matlab中quad用递归自适应的外插Simpon公式 quadtx是一个简化版本。先求出三点的函数值，然后用递 归过程quadtxstep完成积分。 quadtx.m [Qa,ka] = quadtxstep(F,a,c,tol,fa,fd,fc,varargin{:}); [Qa,ka] = quadtxstep(F,c,b,tol,fc,fe,fb,varargin{:}); tol的故事： http:// www.inf.ethz.ch/personal/gander
Specifying Integrands d x f=inline( 1/sqrt(1+x 4)) x Q=quadtx(f,o, 1) Sin( x f= inline(sin(x)x)Q=quadtx(f, realmin, pi) Q=quadtx(f,0, pi)Q= quadtx(@sinc,O, pi) t(1-t)dx f=inline('t(z-1)*(1-t)(w-1),t,,,w) z=8/3:W=10/3:tol=1e-6 Q= quadtx( f, o, 1, tol, z, w) MATLAB vectorize
Specifying Integrands 1 0 4 1 1 dx x f = inline(‘1/sqrt(1+x^4)’) Q = quadtx(f,0,1) 1 0 sin( ) dx x x f = inline(‘sin(x)/x’) Q = quadtx(f,0,pi) Q = quadtx(f,realmin,pi) Q = quadtx(@sinc,0,pi) 1 0 1 1 t (1 t) dx z f = inline(‘t^(z-1)*(1-t)^(w-1)’ , ’t’ , ’z’ , ’w’) z = 8/3; w = 10/3; tol = 1.e-6; Q = quadtx(f,0,1,tol,z,w) vectorize
Performance humps函数h(x) (x-0.3)2+0.g1(x-0.9)2+0.04 LLLLLLLLL⊥⊥LLL⊥⊥LLLL⊥LL quadgui (@humps, o, 1, 1.e-4)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 93 Performance ( 0.9) 0.04 1 ( 0.3) 0.01 1 ( ) 2 2 x x h x humps 函数 quadgui(@humps,0,1,1.e-4)