中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）3 开集、闭集、聚点、极限点和闭包.pdf_大学文库

定义 3.2. 设 (X, T) 为拓扑空间，A ⊂ X，如果 Ac = X − A 是 X 的开集，则称 A 为 (X, T) 或 X 的闭集 (Closed set)。闭集的全体记作 σ。例 3.1. R 的子集 [a, b] 是闭的，因为它的补集 R − [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) 是开的。类似地，[a, +∞) 是闭的，因为它的补集 (−∞, a) 是开的。这些事实解释了我们所用的术语“闭区间”和“闭射线”。而 R 的子集 [a, b) 既不是开集也不是闭集。例 3.2. 在集合 X 上的余有限拓扑中，σ 由 X 自己和所有有限子集组成。例 3.3. 在集合 X 上的离散拓扑中，每个集合都是开集，进而指出每个集合也都是闭集。这些例子暗含了一个数学家们谜语的答案：“一个集合和门有什么不同？”应当是：“一扇门要么是关的要么是开的，而不能二者皆之，但一个集合可以是开的，或闭的，或都是，或都不是！” 拓扑空间 X 的闭子集族 σ 具有类似于它的开子集族满足的性质：定理 3.2. 拓扑空间 (X, T) 的闭集族 σ 具有下列三个性质： 1. X, ∅ ∈ σ； 2. 如果 Fα ∈ σ，则 ∩ α Fα ∈ σ； 3. 如果 F1, F2 ∈ σ，则 F1 ∪ F2 ∈ σ，由 3 和归纳法可推出：如果 Fj ∈ σ (j = 1, · · · , n)，则 ∪n j=1 Fj ∈ σ。反之，设 σ 是 X 的一个子集族，且满足上述 1,2,3 的三个条件。则存在 X 的唯一的一个拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的闭集族就是 σ。证明. 因为 Xc = X − X = ∅ ∈ T, ∅c = X − ∅ = X ∈ T，所以 X, ∅ ∈ σ。如果 Fα, F1, F2 ∈ σ，则 F c α , Fc 1 , Fc 2 ∈ T。由 De Morgan 公式和 T 的条件 2,3 得到 ( ∩ α Fα) c = ∪ α F c α ∈ T, ∩ α Fα ∈ σ (F1 ∪ F2) c = F c 1 ∩ F c 2 ∈ T, F1 ∪ F2 ∈ σ 为了证明定理的后半部分，我们令 T = {X − F = F c | F ∈ σ} 从 De Morgan 公式和 σ 的三个条件，T 是 X 的一个拓扑。由 T 的定义可知， F ∈ σ ⇔ F c = X − F ∈ T 因此，σ 是 (X, T) 的所有闭集组成的闭集族。此外，要使 σ 是另一个拓扑空间 (X, T ′ ) 的所有闭集所组成的闭集族，当且仅当 T ′ = T。 2

比起使用开集，我们也可以通过给出一个满足这条定理三个性质的的集族（即所谓的“闭集”）来确定集合上的拓扑。我们可以定义开集为闭集的补集，并像前面一样推导。这一套流程比起我们已经接受的那一套并没有什么特别的好处，而且绝大多数数学家偏好以开集来定义拓扑。例3.4.Rn中开集的构造：1.直线R1中的开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并集。事实上，对任何aEG，令aa= inf[α / a E (a,β) C G],βa= sup[β I aE (α, β) CG),则显然有aE（aa,Ba),aa.βa±G，且（aa,Ba）是G中含a的最大区间（称为G的构成区间）。不难看出，这种构成区间或者不相交，或者重合。在G的每个构成区间中取一个有理点与它相对应，显然，不同的构成区间对应着不同的有理点，而有理点的全体是可数的，因此，G的构成区间的全体是至多可数的。2.R"，n≥1中的开集O是至多可数个两两几乎不相交1的闭立方体的并集。我们需要构造一个含有可数多个闭立方体的集族Q，满足它们的内部不交，且O =UQQQ.第一步，考虑Rn中取所有顶点为整点且边长为1的闭立方体形成的网格。换句话说，我们考虑平行于坐标轴的自然网格，即由Z"生成的网格。我们还要用到通过不断二分原来的网格得到的边长为2-N的网格。我们将最开始网格的格子，作为Q的一部分，进行筛选。若Q完全包含在内，则我们保留Q；若Q同时与O和O°相交，则我们暂时保留它；若Q完全被O包含，则我们删去它。第二步，我们将那些暂时保留的立方体二分成2个边长为一的立方体。然后我们重复这一过程，保留那些完全被包含的小之又小的立方体，暂时保留那些同时与O和Oc的立方体，删去那些完全被Oc的立方体。图1描述了R2中的过程。Step1Step2图1：将○分解为几乎不交的集合这里指的是最多只有边界相交，内部不交3

比起使用开集，我们也可以通过给出一个满足这条定理三个性质的的集族（即所谓的“闭集”）来确定集合上的拓扑。我们可以定义开集为闭集的补集，并像前面一样推导。这一套流程比起我们已经接受的那一套并没有什么特别的好处，而且绝大多数数学家偏好以开集来定义拓扑。例 3.4. R n 中开集的构造： 1. 直线 R 1 中的开集 G 是至多可数个两两不相交的开区间的并集。事实上，对任何 a ∈ G，令 αa = inf{α | a ∈ (α, β) ⊂ G}, βa = sup{β | a ∈ (α, β) ⊂ G}, 则显然有 a ∈ (αa, βa), αa, βa ∈/ G，且 (αa, βa) 是 G 中含 a 的最大区间（称为 G 的构成区间）。不难看出，这种构成区间或者不相交，或者重合。在 G 的每个构成区间中取一个有理点与它相对应，显然，不同的构成区间对应着不同的有理点，而有理点的全体是可数的，因此，G 的构成区间的全体是至多可数的。 2. R n , n ≥ 1 中的开集 O 是至多可数个两两几乎不相交1的闭立方体的并集。我们需要构造一个含有可数多个闭立方体的集族 Q，满足它们的内部不交，且 O = ∪ Q∈Q Q。第一步，考虑 R n 中取所有顶点为整点且边长为 1 的闭立方体形成的网格。换句话说，我们考虑平行于坐标轴的自然网格，即由 Z n 生成的网格。我们还要用到通过不断二分原来的网格得到的边长为 2 −N 的网格。我们将最开始网格的格子，作为 Q 的一部分，进行筛选。若 Q 完全包含在 O 内，则我们保留 Q；若 Q 同时与 O 和 Oc 相交，则我们暂时保留它；若 Q 完全被 Oc 包含，则我们删去它。第二步，我们将那些暂时保留的立方体二分成 2 d 个边长为 1 2 的立方体。然后我们重复这一过程，保留那些完全被 O 包含的小之又小的立方体，暂时保留那些同时与 O 和 Oc 的立方体，删去那些完全被 Oc 的立方体。图 1 描述了 R 2 中的过程。图 1: 将 O 分解为几乎不交的集合 1这里指的是最多只有边界相交，内部不交 3

这一过程不断重复，而（由构造）最后所有被保留的立方体组成的集族 Q 是可数的，并由几乎不交的立方体组成。为了确认为什么它们的并是 O 的全部，我们指出，给定 x ∈ O，存在一个边长为 2 −N 立方体（从不断二分一开始的网格得到的）包含 x 并完全包含在 O 内。要么这个立方体被保留了，要么这个立方体被完全包含在某个已经保留的立方体内。这就指出 Q 的所有立方体的并覆盖了 O。 3.2 聚点、极限点和闭包定义 3.3. 设 (X, T) 是拓扑空间，A ⊂ X，且 x ∈ X。如果 x 的在 X 中的任一邻域 U 都包含 A − {x} 的一个点（即 U ∩ (A − {x}) 6= ∅）。则称 x 为 A 的在 X 中的一个聚点或极限点 (Limit point)。称 A 的聚点的全体为 A 的导集 (Derived set)，记为 A′（或 Ad）。而 A¯ = A ∪ A′ 称为 A 的在 X 中的闭包 (Closure) 。如果 A¯ = X，则称 A 为 X 的稠密子集 (Dense subset)。评论. 集合 A 的闭包也可以定义为所有包含 A 的闭集的交。例 3.5. 注意到 Q′ = R, Q¯ = R, (R − Q) ′ = R, R − Q = R。即 Q 和 R − Q 都是 R 的稠密子集。例 3.6. 设 (X, ρ) 是度量空间。 1. 如果 A ⊂ X 是有限子集，则 A′ = ∅。 2. 如果 X 的子集 A 中的任两点的距离都大于一固定的正数 σ，则 A′ = ∅（留作习题）。例 3.7. 设 X 是多于两点的集合，(X, Ttrivial) 为平凡拓扑空间。 A = {a, b | a, b ∈ X, a 6= b} 则 A′ = X = A¯，即 A 是 X 的稠密子集（与例 3.6 比较）。例 3.8. 设 (X, T) 为 Lec3 例 2.7 中的拓扑空间，且 A = {(x, y) | 0 < x2 + y 2 < 1 4 } 则 A ′ = Q ∪ {(x, y)|0 < x2 + y 2 ≤ 1 4 } = A¯ 定理 3.3. 设 (X, T) 是拓扑空间，A ⊂ X，则 1. A¯ = A ∪ A′ = A ∪ ∂A。 2. A¯ 是包含 A 的最小闭集。 3. A 是闭集 ⇔ A¯ = A（或 A′ ⊂ A）。证明. 1. 如果 x ∈ A′ − A，则 x ∈ ∂A，于是 A ∪ A′ = A ∪ (A′ − A) ⊂ A ∪ ∂A。如果 x ∈ ∂A − A，则 x ∈ A′，于是 A ∪ ∂A = A ∪ (∂A − A) ⊂ A ∪ A′。这就证明了 A ∪ A ′ = A ∪ ∂A 4

2. 如果 x ∈ A¯c，则 x /∈ A¯ = A ∪ A′，于是存在 x 的邻域 U(x)，使 U(x) ∩ A = ∅，由此推出 U(x) ∩ (A ∪ A′ ) = U(x) ∩ A¯ = ∅, U(x) ⊂ A¯c。这就证明了 A¯c = ∪ x∈A¯c U(x) 是开集（或由 A¯c = (Ac ) o 可知是开集），即 A¯ 是闭集。此外，如果闭集 F ⊃ A，则对任何 x ∈ F c（开集），必有 x /∈ A ∪ A′ = A¯，即 A¯ ⊂ F。综合上述可知 A¯ 是包含 A 的最小闭集。 3. (⇐) 由 2 知 A = A¯ 是闭集。 (⇒) 由 2 和 A 是闭集得到 A ⊃ A¯ ⊃ A，即 A¯ = A。定理 3.4. 设 (X, T) 为拓扑空间，则闭包具有以下四个性质： 1. ∅¯ = ∅； 2. A ⊂ A¯； 3. A ¯¯ ⊂ A¯（由 2,3 推出 A ¯¯ = A¯）； 4. A ∪ B = A¯ ∪ B¯，反之，设 X 是一个集合，而且给定了子集之间的对应 h ∗ : A 7→ A∗，且具有四个性质： 1. ∅∗ = ∅； 2. A ⊂ A∗； 3. A∗∗ = A∗（由 2,3 推出 A∗∗ = A∗）； 4. (A ∪ B) ∗ = A∗ ∪ B∗，则存在 X 的唯一的一个拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的子集对应 h : A 7→ A¯ 就是给定的 h ∗ : A 7→ A∗。证明. 从定义 3.3 立即推出闭包的性质 1 和 2。设 x ∈ A ¯¯，则对任何 x 的邻域 U(x) 必包含一点 y ∈ A¯。于是，对于 y 的邻域 U(x) 必包含一点 a ∈ A，这就证明了 x ∈ A¯，A ¯¯ ⊂ A¯，即闭包的性质 3。由 A ∪ B ⊃ A 得到 A ∪ B ⊃ A¯，同理 A ∪ B ⊃ B¯。所以 A ∪ B ⊃ A¯ ∪ B¯。闭包性质 4 的另一部分用反证法证明。设 x ∈ A ∪ B，但 x /∈ A¯ ∪ B¯，则存在 x 的邻域 U(x) 和 V (x)，使得 U(x) 不含 A 的点，V (x) 不含 B 的点，因而 x 的邻域 U(x) ∩ V (x) 不含 A ∪ B 的点，这与 x ∈ A ∪ B 矛盾。反之，如果给定了满足四个性质的子集之间的对应 h ∗，我们令 σ = {F ⊂ X | F ∗ = F} 则 σ 具有定理 3.2 的三个性质。由 h ∗ 的性质 1，∅∗ = ∅ ⇒ ∅ ∈ σ。由 h ∗ 的性质 2，X ⊂ X∗ ⊂ X ⇒ X = X∗ ⇒ X ∈ σ。 5

由 h ∗ 的性质 4，如果 F1, F2 ∈ σ，则 (F1 ∪ F2) ∗ = F ∗ 1 ∪ F ∗ 2 = F1 ∪ F2。于是 F1 ∪ F2 ∈ σ 由 h ∗ 的性质 4，如果 A ⊂ B，则有 A ∗ ⊂ A ∗ ∪ (B − A) ∗ = (A ∪ (B − A))∗ = B ∗ 设 Fα ∈ σ，即 F ∗ α = Fα，则有 ( ∩ α Fα) ∗ ⊂ F ∗ α = Fα, ( ∩ α Fα) ∗ ⊂ ∩ α Fα 再由 h ∗ 的性质 2 得到 ∩ α Fα ⊂ ( ∩ α Fα) ∗ 这就证明了 ( ∩ α Fα) ∗ = ∩ α Fα, i.e. ∩ α Fα ∈ σ 根据定理 3.2，存在 X 的唯一的拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的闭集族恰为 σ。令 (X, T) 的子集与它的闭包之间的对应为 h : A 7→ A¯。因此，h 具有闭包的四个性质。最后，我们只需证明 h = h ∗，即对任何 A ⊂ X，有 A¯ = A∗。由 h ∗ 的性质 2，有 A ⊂ A∗。再根据 h 的性质 4 推出 A¯ ⊂ A¯∗。因为 A∗∗ = A∗，所以 A∗ ∈ σ，即 A∗ 为 (X, T) 的闭集，A¯∗ = A∗。于是 A¯ ⊂ A∗。类似地，由 h 的性质 2，有 A ⊂ A¯。再根据 h ∗ 的性质 4 推出 A∗ ⊂ (A¯) ∗。因为 A¯ 是 (X, T) 的闭集，即 (A¯) ∗ = A¯。于是 A∗ ⊂ A¯。因此，A¯ = A∗。定义 3.4. 设 (X, T) 为拓扑空间，xn, x ∈ X，如果对于 x 的每个邻域 U(x)，存在 N ∈ N，当 n > N 时，有 xn ∈ U(x) 则称点列 {xn} = {x1, x2, · · · , xn, · · · } 收敛 (Converge) 于 x，记为 lim n→+∞ xn = x (或xn → x(n → +∞)) 而 x 称为 {xn} 的极限点 (Limit point) 定理 3.5. 设 (X, T) 为拓扑空间，A ⊂ X 是闭集，则对 A 中的任何点列 {xn}，若 lim n→+∞ xn = x 必有 x ∈ A，反之不成立（参看例 3.9）证明. 设 xn ∈ A， lim n→+∞ xn = x。如果有某个 xn = x，则自然 x ∈ A。如果对一切 n, xn 6= x，则对 x 的任何邻域 U(x)，存在 N ∈ N，当 n > N 时，xn ∈ U(x)。因此， x ∈ A′ ⊂ A（A 为闭集）。例 3.9. 设 X = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}，T = {∅, X − C | C是X中的至多可数集}，由 De Morgan 公式可以验证 T 是一个拓扑，于是 (X, T) 是一个拓扑空间。 6