高中数学基本观念拙作作者：Xuxuayame组织：双叶数理咖啡厅教理力厅时间：April10,2022BANATPATICALCAFT版本：0.1illustrator：犬A道阻且长，行则将至。行而不锻，未来可期
高中数学基本观念 拙作 作者：Xuxuayame 组织：双叶数理咖啡厅 时间：April 10, 2022 版本：0.1 illustrator：捨て犬 A 道阻且长，行则将至。行而不辍，未来可期
目录1第一部分必修2第一章数学基础21.1集合与逻辑初步21.1.1集合的基本定义1.1.2逻辑基础481.1.3集合间的关系与运算131.2映射：131.2.1映射的基本概念161.2.2映射的复合理咖啡方171.2.3满射，单射，双射与逆映射CALCAFE191.2.4集合值映射201.3数列与极限初步201.3.1数列的定义211.3.2等差数列与等比数列小331.3.3数列的性质351.3.4递推数列1.3.5数列的极限41471.3.6Stolz定理501.4向量，复数与极坐标系511.4.1向量1.4.2复数591.4.3极坐标系63641.5求和与求积641.5.1求和求积的基本概念661.5.2求和的常见公式69第一章练习75第二章函数752.1函数概念与性质752.1.1函数的概念与表示2.1.2函数的性质77832.2初等函数832.3微积分初步832.3.1导数及其应用2.3.2不定积分100
目录 第一部分 必修 1 第一章 数学基础 2 1.1 集合与逻辑初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 集合的基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 逻辑基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 集合间的关系与运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 映射的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 映射的复合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 满射, 单射, 双射与逆映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 集合值映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 数列与极限初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 数列的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 等差数列与等比数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 数列的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.4 递推数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.5 数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.6 Stolz 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.4 向量, 复数与极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.1 向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.2 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4.3 极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5 求和与求积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.5.1 求和求积的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.5.2 求和的常见公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 第一章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 第二章 函数 75 2.1 函数概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1.1 函数的概念与表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1.2 函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2 初等函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3 微积分初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.1 导数及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.2 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
目录1142.3.3浅探定积分2.4不等式简述114115第三章解析几何1153.1直线1153.2圆锥曲线与参数方程3.3空间解析几何115116第四章立体几何4.1立体几何公理116117第五章概率统计与计数原理1175.1统计5.2概率1171175.3计数原理汉叶数理咖啡方1175.4排列与组合ATHEMATICALCAFE1175.5随机变量及其分布5.6成对数据的统计分析117第二部分选修118MAT120第六章数学拓展1206.1关系1206.1.1关系的概念1216.1.2等价关系与序关系6.1.3运算1271296.2自然数与数学归纳法6.2.1Peano公理1301346.2.2加法1386.2.3乘法1396.2.4补充1466.3实数的构造与公理化1466.3.1整数与有理数1636.3.2实数的构造1786.4无穷级数1786.5线性空间178第六章练习182第七章集合论初步7.1有限集·1821827.2可数集与不可数集B
目录 2.3.3 浅探定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.4 不等式简述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 第三章 解析几何 115 3.1 直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 圆锥曲线与参数方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.3 空间解析几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 第四章 立体几何 116 4.1 立体几何公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 第五章 概率统计与计数原理 117 5.1 统计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 计数原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 排列与组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.5 随机变量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.6 成对数据的统计分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 第二部分 选修 118 第六章 数学拓展 120 6.1 关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.1 关系的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.2 等价关系与序关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.3 运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 自然数与数学归纳法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.1 Peano 公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2 加法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2.3 乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.4 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3 实数的构造与公理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.1 整数与有理数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.2 实数的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.4 无穷级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 第六章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 第七章 集合论初步 182 7.1 有限集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2 可数集与不可数集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 B
目录1827.3递归原理1827.4无限集与选择公理7.5良序集1821827.6最大值原理7.7补充练习：良序化182183第八章函数1838.1函数的连续性1838.1.1函数极限1848.1.2函数的连续性1848.1.3闭区间上的连续函数1848.2微分中值定理1848.3LHospital法则1848.4Taylor定理1848.5微积分基本定理又叶数理咖啡厅1848.6常微分方程初步TICALCAFE1848.7多变量函数初步8.8复变函数初步184MATHEMAT185第九章不等式186第十章解析几何10.1线性代数初步18618610.2仿射变换187第十一章概率论与数理统计11.1概率密度函数187188第十二章代数学基础18812.1整除理论18812.1.1整除19412.1.2素数与算术基本定理19712.2群环域初步12.2.1群19812.2.2环与域20120112.3同余20112.4群论初步12.5多项式20112.6对称群20120112.7素数域上的算术201第十二章练习c
目录 7.3 递归原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.4 无限集与选择公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 良序集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6 最大值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.7 补充练习：良序化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 第八章 函数 183 8.1 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.1.1 函数极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.1.2 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.1.3 闭区间上的连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2 微分中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3 L’ Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.4 Taylor 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.5 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.6 常微分方程初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.7 多变量函数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.8 复变函数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 第九章 不等式 185 第十章 解析几何 186 10.1 线性代数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2 仿射变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 第十一章 概率论与数理统计 187 11.1 概率密度函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 第十二章 代数学基础 188 12.1 整除理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.1 整除 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.2 素数与算术基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.2 群环域初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.2.1 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.2.2 环与域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.3 同余 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.4 群论初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.5 多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.6 对称群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.7 素数域上的算术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 第十二章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 C
袋一部么MENATEALAE双叶数理MATHEMATFUTABAI
第一部分 必修
第一章数学基础1.1集合与逻辑初步1.1.1集合的基本定义先来考虑这么一个问题：假设你是南七中学的一名高一新生，你在高一一班，今天是开学第一天，你会想知道什么？一般而言，大家会比较关心：班上有多少人，多少男生，多少女生，哪个男生最高最帅，哪个女生最好看，入学考试排名等等问题.在这个问题里面，你关心的对象是你的同班同学，我们把这些东西抽象-下，就得到了相关概念：定义1.1（集合与元素）称研究对象的全体为集合(Set)，简称为集.单个的研究对象为元素（Element).通常使用大写的拉丁字母如A,B，C...来表示集合，用小写的拉丁字母a，b,c....来表示元素福CAY定义1.2（集合的势D集合A的势（Cardinality）指的是集合A中元素的个数，记作cardA.如果集合有有限个元素，称为有限集(Finiteset)，反之称为无限集(Infiniteset)ab“对于无限集的势我们暂不讨论，在后面我们会给出更严谨的定义，而具体的应用，你可以去学习选修部分的内容有些同学可能听说过容斥原理或已经知道，这里我不会介绍它的直观表述，它的严谨证明会在选修部分留作习题这样就得到了最基本的概念．在上例中，你的班级的所有同学组成了这个集合，每一个同学是这个集合里面的一个元素，如果你们班的集合记为A，你们班有56个人，那么cardA=56.显然，你关心你们一班的情况，隔壁二班同学自然会先去关注二班的情况.高一一班是一个集合，高一二班当然也是一个集合，而这两个集合理所当然是不同的.你在高一一班，不在高一二班.这就牵涉到集合与元素的从属关系：定义13（属于）设有一个集合A与一个元素a,如果a在A里面，我们就称a属于A,记作aEA,反之,我们就称a不属于A，记作a±A比如，把高一一班这个集合记作A，高一二班记作B，你自己记作a，那么根据定义1.3，我们有αEA,atB.当然你可能会考虑到一个问题，你可以将你们班视作一个集合，那么你是否能将你们班比较帅的人视作一个集合呢？答案是不行的，因为我们要求集合应当是明确的，毕竞帅这种东西很主观，不易量化你可能又会想，那能否把你们班比较高的同学视作一个集合呢？毕竞身高总可以量化吧.事实上也是不行的，身高的确可以量化，但问题在于“比较高”是不明确的，多少是比较高呢，每个人的标准不一样。但你可以把你们班身高高于180cm的同学视作一个集合，这就有着明确的描述，事实上集合有着如下的性质：
第一章 数学基础 1.1 集合与逻辑初步 1.1.1 集合的基本定义 先来考虑这么一个问题： 假设你是南七中学的一名高一新生, 你在高一一班, 今天是开学第一天, 你会想知道什么? 一般而言, 大家会比较关心: 班上有多少人, 多少男生, 多少女生, 哪个男生最高最帅, 哪个女生最好 看, 入学考试排名等等问题. 在这个问题里面, 你关心的对象是你的同班同学. 我们把这些东西抽象一 下, 就得到了相关概念： 定义 1.1 (集合与元素) ♣ 称研究对象的全体为集合 (Set), 简称为集. 单个的研究对象为元素 (Element). 通常使用大写的拉 丁字母如 A, B, C, . . . 来表示集合, 用小写的拉丁字母 a, b, c, . . . . 来表示元素. 定义 1.2 (集合的势 I) ♣ 集合 A 的势 (Cardinality) 指的是集合 A 中元素的个数, 记作 cardA. 如果集合有有限个元素, 称 为有限集 (Finite set), 反之称为无限集 (Infinite set)ab . a对于无限集的势我们暂不讨论, 在后面我们会给出更严谨的定义, 而具体的应用, 你可以去学习选修部分的内容. b有些同学可能听说过容斥原理或已经知道, 这里我不会介绍它的直观表述, 它的严谨证明会在选修部分留作习题. 这样就得到了最基本的概念. 在上例中, 你的班级的所有同学组成了这个集合, 每一个同学是这个 集合里面的一个元素, 如果你们班的集合记为 A, 你们班有 56 个人, 那么 cardA = 56. 显然, 你关心你们 一班的情况, 隔壁二班同学自然会先去关注二班的情况. 高一一班是一个集合, 高一二班当然也是一个 集合, 而这两个集合理所当然是不同的. 你在高一一班, 不在高一二班. 这就牵涉到集合与元素的从属关 系: 定义 1.3 (属于) ♣ 设有一个集合 A 与一个元素 a, 如果 a 在 A 里面, 我们就称 a 属于 A, 记作 a ∈ A, 反之, 我们就称 a 不属于 A, 记作 a /∈ A. 比如, 把高一一班这个集合记作 A, 高一二班记作 B, 你自己记作 a, 那么根据定义1.3, 我们有 a ∈ A, a /∈ B. 当然你可能会考虑到一个问题, 你可以将你们班视作一个集合, 那么你是否能将你们班比较帅的人 视作一个集合呢? 答案是不行的, 因为我们要求集合应当是明确的, 毕竟帅这种东西很主观, 不易量化. 你可能又会想, 那能否把你们班比较高的同学视作一个集合呢? 毕竟身高总可以量化吧. 事实上也是不 行的, 身高的确可以量化, 但问题在于 “比较高” 是不明确的, 多少是比较高呢, 每个人的标准不一样. 但 你可以把你们班身高高于 180cm 的同学视作一个集合, 这就有着明确的描述. 事实上集合有着如下的性质：
1.1集合与逻辑初步定理1.1（集合的要素）所有的集合应当满足如下的性质：明确性集合元素的共同特征应当是明确的；不相容性集合中不存在相同的元素；无序性集合不要求元素的顺序M明确性的含义我们已经在刚才解释过了，对于不相容性，我们规定集合不会出现相同的元素，比如不会出现一个集合同时包含两个1这种情况.对于无序性，我们只关心集合里面到底有哪些元素，不关心这些元素的相对顺序，比如（1,2,3]和[2.1,3]是同一个集合，它们都由1,2,3这三个数字组成.以此我们有一个推论：推论11（集合的无序性）如果两个集合由完全相同的元素组成，则两个集合相同3同时这一推论也告诉了我们两个集合相等的含义一集合的组成元素一致在更进一步对集合的阐述之前，我们先介绍集合的表示方式：自然语言也就是用你平时的口语或者书面语来描述一个集合，比如刚才的“你们班身高高于180cm的同学在外面还要套一个花括号，即（你们班身高高于180cm的同学）.列举法也就是在花括号里面将集合中所有的元素穷举出来，比如刚才的（1,2.3)描述法也就是用集合的共同特征来描述这个集合，如果我们用来代表集合的一般元素，P（）来表示集合的共同特征，那么集合可以写作（「P()]自然语言和列举法你已经在刚才见到了，我们稍微举一个描述法的例子：比如你要形容全体自然数组成的集合，那么你可以这么说：是自然数】.描述一个集合时，哪种方法简便，我们就选择哪种方法对于那些很常见的集合，我们有专门的记号来表示它们表1.1：常见集合记号N|全体自然数?集z全体整数集Q全体有理数集R全体实数集在右下角加个“+”号则往往表示大于零的部分，比如Z+表示全体正整数集以及一个很常见的记号是：定义1.4（区间与邻域）我们称：(a,b) :=fra<r<b)为从a到b的开区间（Openinterval)，而[a, b] := [ [ a≤a≤b]"这个记号一般用来表述一个和有关的命题，这一点我们将在后面讲到2不同资料对自然数的定义不太一致，有些人认为自然数包含0，有些人则不这么认为，但这并非要紧事，本书认为自然数包含零.3
1.1 集合与逻辑初步 定理 1.1 (集合的要素) ♥ 所有的集合应当满足如下的性质： 明确性 集合元素的共同特征应当是明确的; 不相容性 集合中不存在相同的元素; 无序性 集合不要求元素的顺序. 明确性的含义我们已经在刚才解释过了, 对于不相容性, 我们规定集合不会出现相同的元素, 比如 不会出现一个集合同时包含两个 1 这种情况. 对于无序性, 我们只关心集合里面到底有哪些元素, 不关 心这些元素的相对顺序, 比如 {1,2,3} 和 {2,1,3} 是同一个集合, 它们都由 1,2,3 这三个数字组成. 以此我 们有一个推论： 推论 1.1 (集合的无序性) ♥ 如果两个集合由完全相同的元素组成, 则两个集合相同. 同时这一推论也告诉了我们两个集合相等的含义——集合的组成元素一致. 在更进一步对集合的阐述之前, 我们先介绍集合的表示方式： 自然语言 也就是用你平时的口语或者书面语来描述一个集合, 比如刚才的 “你们班身高高于 180cm 的 同学”. 在外面还要套一个花括号, 即 {你们班身高高于 180cm 的同学}. 列举法 也就是在花括号里面将集合中所有的元素穷举出来, 比如刚才的 {1,2,3}. 描述法 也就是用集合的共同特征来描述这个集合, 如果我们用 x 来代表集合的一般元素, P(x) 1来表示 集合的共同特征, 那么集合可以写作 {x | P(x)}. 自然语言和列举法你已经在刚才见到了, 我们稍微举一个描述法的例子：比如你要形容全体自然数组 成的集合, 那么你可以这么说：{x|x 是自然数}. 描述一个集合时, 哪种方法简便, 我们就选择哪种方法. 对于那些很常见的集合, 我们有专门的记号来表示它们： 表 1.1: 常见集合记号 N 全体自然数2集 Z 全体整数集 Q 全体有理数集 R 全体实数集 在右下角加个 “+” 号则往往表示大于零的部分, 比如 Z+ 表示全体正整数集. 以及一个很常见的记号是： 定义 1.4 (区间与邻域) 我们称： (a, b) := {x | a < x < b} 为从 a 到 b 的开区间 (Open interval), 而 [a, b] := {x | a ≤ x ≤ b} 1这个记号一般用来表述一个和 x 有关的命题, 这一点我们将在后面讲到. 2不同资料对自然数的定义不太一致, 有些人认为自然数包含 0, 有些人则不这么认为, 但这并非要紧事, 本书认为自然数包含 零. 3
1.1集合与逻辑初步为从a到b的闭区间（Closedinterval).至于(a,b] := (r/ a<r≤b),[a, b) := (r [a≤a<b],则分别称为左开右闭区间，左闭右开区间：以上四种集合统称为区间（Interval)，a称为区间的下端点，b称为区间的上端点，我们规定区间的上端点必然大于区间的下端点而（a一E，a十）称为以a为中心的E一邻(Neighborhood)，记为U(a,).如果邻域去掉中心a，则称为去心邻域(Deletedneighborhood),记为U(a,e).更抽象的邻域定义为包含a的任意开区间品当然一个更重要的概念是空集(Emptyset).记作の，它是不包含任何元素的集合，这一点非常有趣就像一个箱子不一定要装东西，一个集合也不一定要有元素，这样的集合就是空集，不过你可能会想，不装东西的箱子可以各种各样，那么空集是否也可以各种各样呢？这一点我们在学习了后面的知识之后将会进行解答1.1.2逻辑基础在进一步对集合进行介绍之前，介绍一些逻辑基础对后面的理解是大有禅益的.虽然这些内容对于初学者而言可能并非一遍就能看懂，而且贼长，但希望大家能认真地弄清楚这部分的内容，因为很重要。事实上数学是一门符号语言，我们大量使用符号来表达我们的意思，想要方便高效地表达，符号逻辑是十分重要的.而符号逻辑作用的对象是命题，命题是什么？定义1.5（命题）福命题(Proposition）是可判别真伪的陈述句：也就是说，每个命题都有相应的真值（Truthvalue)“真”或者“伪”，不存在其他可能性，也不存在既真又伪的命题比方说“现在在下雨”“天上有云”，“所有的读者都觉得这本书真不错”就属于命题，因为它们是可以判定真伪的陈述句；而“这是个白球吗？”就不是命题，因为它是疑问句一个比较经典的例子是“这句话是伪命题”，这也不是命题，因为它是不可判断真假性的每一个命题都有一个相应的否定，比如“现在在下雨”的否定是“现在没在下雨”，“天上有云”的否定是“天上没有云”，“所有的读者都觉得这本书真不错”的否定是”有读者觉得这本书并没有那么不错”（注意，而不是“没有读者觉得这本书不错"）你会发现一个命题和它的否定是对着干的，两个命题必然一真一伪.定义如下：定义1.6（否定）福称命题B为命题A的否定(Negation)，如果A真时B伪，A伪时B真，记作-A我们推荐用真值表来表示这种关系：表1.2：命题与否定的真值表ＡTＦ-AFT
1.1 集合与逻辑初步 ♣ 为从 a 到 b 的闭区间 (Closed interval). 至于 (a, b] := {x | a < x ≤ b}, [a, b) := {x | a ≤ x < b}, 则分别称为左开右闭区间, 左闭右开区间. 以上四种集合统称为区间 (Interval), a 称为区间的下 端点, b 称为区间的上端点, 我们规定区间的上端点必然大于区间的下端点. 而 (a − ε, a + ε) 称 为以 a 为中心的 ε− 邻域 (Neighborhood), 记为 U(a, ε). 如果邻域去掉中心 a, 则称为去心邻域 (Deleted neighborhood), 记为 U˚(a, ε). 更抽象的邻域定义为包含 a 的任意开区间. 当然一个更重要的概念是空集 (Empty set), 记作 ∅, 它是不包含任何元素的集合, 这一点非常有趣. 就像一个箱子不一定要装东西, 一个集合也不一定要有元素, 这样的集合就是空集. 不过你可能会想, 不 装东西的箱子可以各种各样, 那么空集是否也可以各种各样呢? 这一点我们在学习了后面的知识之后 将会进行解答. 1.1.2 逻辑基础 在进一步对集合进行介绍之前, 介绍一些逻辑基础对后面的理解是大有裨益的. 虽然这些内容对于 初学者而言可能并非一遍就能看懂, 而且贼长, 但希望大家能认真地弄清楚这部分的内容, 因为很重要. 事实上数学是一门符号语言. 我们大量使用符号来表达我们的意思, 想要方便高效地表达, 符号逻 辑是十分重要的. 而符号逻辑作用的对象是命题, 命题是什么? 定义 1.5 (命题) ♣ 命题 (Proposition) 是可判别真伪的陈述句. 也就是说, 每个命题都有相应的真值 (Truth value) ——“真” 或者 “伪”, 不存在其他可能性, 也不存在既真又伪的命题. 比方说 “现在在下雨”, “天上有云”, “所有的读者都觉得这本书真不错” 就属于命题, 因为它们是可 以判定真伪的陈述句; 而 “这是个白球吗? ” 就不是命题, 因为它是疑问句. 一个比较经典的例子是 “这 句话是伪命题”, 这也不是命题, 因为它是不可判断真假性的. 每一个命题都有一个相应的否定, 比如 “现在在下雨” 的否定是 “现在没在下雨”, “天上有云” 的 否定是 “天上没有云”, “所有的读者都觉得这本书真不错” 的否定是” 有读者觉得这本书并没有那么不 错”(注意, 而不是 “没有读者觉得这本书不错”). 你会发现一个命题和它的否定是对着干的, 两个命题必 然一真一伪. 定义如下： 定义 1.6 (否定) ♣ 称命题 B 为命题 A 的否定 (Negation), 如果 A 真时 B 伪, A 伪时 B 真. 记作 ¬A. 我们推荐用真值表来表示这种关系： 表 1.2: 命题与否定的真值表 A T F ¬A F T 4
1.1集合与逻辑初步如果你有两个命题A和B,那么你可以通过且(Conjunction)入与或(Disjunction)V'两种操作来得到新的命题：定义1.7（且与或）命题AΛB称为A且B或者A合取B,若它真仅当A和B均真，其它情况下它伪命题AVB称为A或B或者A析取B.若它伪仅当A和B均伪.其它情况下它真比方说“语文考到优秀分”且“数学考到优秀分”这个命题就是“语文考到优秀分”和“数学考到优秀分“这两个命题的合取，“语文考到优秀分”或“数学考到优秀分”则是它们的析取我们可以用真值表来表示这种关系：表1.3:且与或AABAVBＡBTTTTFTFTFTFTAFFF22笔记用我们平常的语言2讲，“A^B对”指的是“A对，而且B对”“AVB对”指的是”A对或者B对”“而且”的意思很明确，但“或”的意思就比较模糊“A或B”有时候指的是“A,或者B，或者二者兼之”有时候却指的是“A，或者B，但并非二者兼具”而我们往往需要从上下文判断“或”是哪种。比方说下面两个例子：“我听说南七中学的女生或者长得好看，或者智商超高。”“选一个吧，把没交的作业补起来，或者平时分打五折.”前者中，“南七中学的女生”要么“长得好看”，要么“智商超高”，要么“长得好看”且“智商超高”，后者当然是二选一，而我们逻辑语言中，逻辑与和我们平时的与含义是相同的，但逻辑或指的是前者，即“要么A,要么B,要么二者兼之”我们来稍微回顾一下集合的描述法如果E(r）是一个关于a的命题，则称E为性质(Property).而“r有性质E”的意思是“E(a）为真”考虑一个集合X，那么[rEX[E(r))指的是集合X中具有性质E的元素组成的新的集合3.比方说，X=南七中学的学生)，E（α）为命题“r是女生”那么aEX|E(r)是南七中学的女生的集合在平时使用量词的时候，有两类常见而重要的情况：“任意”与“存在”，在命题中，我们也经常使用量词，而这两种量词我们有专门的记号来表示：又称为逻辑合取与逻辑析取，不过一般你看不见这么说的，如果你想高雅一点，可以这么说哈哈哈2事实上你在中文里并不会强烈地感受到这个差异，这种区别更多地体现在英文上，但严谨起见我还是提一下“我们将在下一节告诉你这个集合和原集合的关系，虽然你大概已经看出来了5
1.1 集合与逻辑初步 如果你有两个命题 A 和 B, 那么你可以通过且 (Conjunction)∧ 与或 (Disjunction)∨ 1两种操作来得 到新的命题: 定义 1.7 (且与或) ♣ 命题 A ∧ B 称为 A 且 B 或者 A 合取 B, 若它真仅当 A 和 B 均真, 其它情况下它伪. 命题 A ∨ B 称为 A 或 B 或者 A 析取 B, 若它伪仅当 A 和 B 均伪, 其它情况下它真. 比方说 “语文考到优秀分” 且 “数学考到优秀分”, 这个命题就是 “语文考到优秀分” 和 “数学考到优 秀分 “这两个命题的合取. “语文考到优秀分” 或 “数学考到优秀分” 则是它们的析取. 我们可以用真值 表来表示这种关系： 表 1.3: 且与或 A B A ∧ B A ∨ B T T T T T F F T F T F T F F F F 笔记 用我们平常的语言2讲, “A ∧ B 对” 指的是 “A 对, 而且 B 对”, “A ∨ B 对” 指的是”A 对或者 B 对”. “而且” 的意思很明确, 但 “或” 的意思就比较模糊. “A 或 B” 有时候指的是 “A, 或者 B, 或者二者兼之”, 有时候却指的是 “A, 或者 B, 但并非二者兼具”. 而我们往往需要从上下文判断 “或” 是哪种. 比方说下 面两个例子： “我听说南七中学的女生或者长得好看, 或者智商超高. ” “选一个吧, 把没交的作业补起来, 或者平时分打五折. ” 前者中, “南七中学的女生” 要么 “长得好看”, 要么 “智商超高”, 要么 “长得好看” 且 “智商超高”, 后者当 然是二选一. 而我们逻辑语言中, 逻辑与和我们平时的与含义是相同的, 但逻辑或指的是前者, 即 “要么 A, 要么 B, 要么二者兼之”. 我们来稍微回顾一下集合的描述法： 如果 E(x) 是一个关于 x 的命题, 则称 E 为性质 (Property). 而 “x 有性质 E” 的意思是 “E(x) 为 真”. 考虑一个集合 X, 那么 {x ∈ X | E(x)} 指的是集合 X 中具有性质 E 的元素 x 组成的新的集合3 . 比方说, X={南七中学的学生}, E(x) 为命题 “x 是女生”, 那么 {x ∈ X | E(x)} 是南七中学的女生的集合. 在平时使用量词的时候, 有两类常见而重要的情况：“任意” 与 “存在”. 在命题中, 我们也经常使用 量词, 而这两种量词我们有专门的记号来表示： 1又称为逻辑合取与逻辑析取, 不过一般你看不见这么说的, 如果你想高雅一点, 可以这么说哈哈哈. 2事实上你在中文里并不会强烈地感受到这个差异, 这种区别更多地体现在英文上, 但严谨起见我还是提一下. 3我们将在下一节告诉你这个集合和原集合的关系, 虽然你大概已经看出来了. 5
1.1集合与逻辑初步定义1.8（存在与任意）我们用日来表示存在量词（Existentialquantifier)，它的含义是“存在（至少一个）"，若存在唯个，我们写作！我们用V来表示全称量词（Universalquantifier），它的含义是“所有，任意”比方说，考虑刚才的例子，下面几个命题(1.1)FrEX:E(r),3!TeX:E(r),(1.2)(1.3)VTEX: E(r),的意思是“南七中学有女生（南七中学存在同学，她是女生）”“南七中学就一个女生（南七中学存在唯一一个同学，她是女生）”“南七中学全是女生（南七中学所有的同学都是女生对南七中学任意的同学，她是女生)”LCAFE啡而命题（1.3)也往往写成这样子：E(m).REECAL你可以将它理解为“E(）对X中的任意元素均成立"，当然是一个意思.哦，老伙计，我敢打赌，你之后会经常看见这么写的.我们也经常把√省去了，简写为E(r), rEX.对于含有“3”和“V"的命题，写出它的否定就变成了一件十分机械化的事情，事实上你只需要把这两个符号相互交换一下，别动它们的顺序，再把性质取个否定，就可以了具体你可以见习题2，做完你就明白了再介绍一个我们会经常用到的记号：“：=”，它的意思是“定义为，代表”比如说α=b，意味着α由b定义，也可以说a是b的新名字，a代表b.理所当然a和b是相等的，所以a和b只是同一对象的不同表示方式罢了。现在我们再来考虑两个命题之间的关系：定义1.9（推出）设A和B为命题，则可以定义一个新的命题：蕴含(Implication)A→Ba如下：(A → B) := (-A) V B.“更常见的说法是A推出B因此A→B伪仅当A真B伪，其他情况下均是真4，你可以试试画一下真值表这也意味着一个真命题不可以推出伪命题，但伪命题可以推出任何命题一一不管是真还是伪事实上你最常看见的一类命题会长成这样子：“若A,则B.”4尽管在此之前我推测你应当没有考虑过把一个伪命题作为条件的情况，这听起来似乎有些怪异6
1.1 集合与逻辑初步 定义 1.8 (存在与任意) ♣ 我们用 ∃ 来表示存在量词 (Existential quantifier), 它的含义是 “存在 (至少一个)”, 若存在唯一一 个, 我们写作 ∃! 我们用 ∀ 来表示全称量词 (Universal quantifier), 它的含义是 “所有, 任意”. 比方说, 考虑刚才的例子, 下面几个命题： ∃ x ∈ X : E(x), (1.1) ∃! x ∈ X : E(x), (1.2) ∀ x ∈ X : E(x), (1.3) 的意思是 “南七中学有女生 (南七中学存在同学, 她是女生). ” “南七中学就一个女生 (南七中学存在唯一一个同学, 她是女生). ” “南七中学全是女生 (南七中学所有的同学都是女生/对南七中学任意的同学, 她是女生). ” 而命题 (1.3) 也往往写成这样子： E(x), ∀ x ∈ X. 你可以将它理解为 “E(x) 对 X 中的任意元素 x 均成立”, 当然是一个意思. 哦, 老伙计, 我敢打赌, 你之 后会经常看见这么写的. 我们也经常把 ∀ 省去了, 简写为: E(x), x ∈ X. 对于含有 “∃” 和 “∀” 的命题, 写出它的否定就变成了一件十分机械化的事情, 事实上你只需要把这 两个符号相互交换一下, 别动它们的顺序, 再把性质取个否定, 就可以了. 具体你可以见习题 2, 做完你就 明白了. 再介绍一个我们会经常用到的记号:“:=”, 它的意思是 “定义为, 代表”. 比如说 a := b, 意味着 a 由 b 定义, 也可以说 a 是 b 的新名字, a 代表 b. 理所当然 a 和 b 是相等的, 所以 a 和 b 只是同一对象的不同表 示方式罢了. 现在我们再来考虑两个命题之间的关系： 定义 1.9 (推出) ♣ 设 A 和 B 为命题, 则可以定义一个新的命题：蕴含 (Implication)A ⇒ Ba如下： (A ⇒ B) := (¬A) ∨ B. a更常见的说法是 A 推出 B. 因此 A ⇒ B 伪仅当 A 真 B 伪, 其他情况下均是真4 , 你可以试试画一下真值表. 这也意味着一个真 命题不可以推出伪命题, 但伪命题可以推出任何命题——不管是真还是伪. 事实上你最常看见的一类命题会长成这样子： “若 A, 则 B. ” 4尽管在此之前我推测你应当没有考虑过把一个伪命题作为条件的情况, 这听起来似乎有些怪异. 6