《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.2 曲面的第一基本形式

第二节?由曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t);或r=r[u(t),v(t)] =r(t),dudv或r'(t)dr = rudu+r,dy+r、1+r dtdt ds? = dr2 =(r,du+r,dv)?若s表示弧长有=r .r,du? +2r, -r,dudv+r, .r,dyI=Edu?+2Fdudv+Gdy所以称为曲面的第一基本形式。其中E=rr,F=rr,G=rr称为第一类基本量

第二节 曲面的第一基本形式 2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中 称为第一类基本量。 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) dr r du r dv = u + v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) Edu Fdudv Gdv r r du r r dudv r r dv ds dr r du r dv u u u v v v u v  = + + =  +  +  = = +       u u u v v v E r r F r r G r r       =  , =  , = 

2、曲线（C)上两点A（to），B（t)间的弧长为：dv)du dvdud+2FdtLGs(dt,dt dtdtto dt3、用显函数样z=z(x，y)表示的曲面的第一基本形式r =(x,y,z(x, y)OzOzr=(1,0,p), r, ={0,,q), p.qaxayE=rr=1+p,F=rr,=pq,G=r,.r,=l+qI = (1 + p)dx2 +2 pqdxdy+(1 +q)dy4、第一基本形式是正定的。事实上,E=ruru=r2>0,G=r2>0,EG-F2=rr2-(·r)2>0也可从I=ds2直接得到

2、曲线 (C)上两点 A (t0 ) , B (t1 ) 间的弧长为： dt dt dv G dt dv dt du F dt du dt E dt ds s t t t t         + +      = = 1 0 1 0 2 2 2 3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) 1 , , 1 {1,0, }, {0,1, }, , . { , , ( , )} p dx pqdxdy q dy E r r p F r r pq G r r q y z q x z r p r q p r x y z x y x x x y y y x y  = + + + + =  = + =  = =  = +   =   = = = =          4、第一基本形式是正定的。 事实上， 也可从 直接得到。0, 0, ( ) 0. 2 2 2 2 2 2 E = ru ru = ru  G = rv  EG − F = ru rv − ru rv  2  = ds

例题1：求球面的第一基本形式r ={Rcoscos@,RcosOsin @, Rsin 0)例2：正螺面zr.z0B函 2-5图2-7x =ucosv, y=usinv,z=avI = ds? = du? +(u? +a)dy?

例2：正螺面 2 2 2 2 2 ( ) cos , sin , ds du u a dv x u v y u v z av  = = + + = = = 例题1：求球面的第一基本形式 r ={Rcos cos,Rcos sin ,Rsin } 

2、2.曲面上两方向的交角1、把两个向量dr=r.du+rd和Sr=r.Su+r.Sv间的交角称为方向（du:dy）和（Su:S）间的角。2、设两方向的夹角为①，则dr . Sr(r,du + r,dv)(r,Su + r,ov)cOsdr|lor]Vdr?Vor2EduSu+ F(duov + Sudv)+GdvdiEdu?+2Fdudy+Gdy?ESu?+2FSu&+G&23、特别(1)(d)(8) Edu&u+F(duo+Sud)+Gdvv=0(2）对于坐标曲线的交角，有Fdr.Srrr.cOsAVEGdrorrur故坐标曲线正交的充要条件为F=0

2、2 曲面上两方向的交角 1、把两个向 量 和 间的交角 称为方向（ ）和（ ）间的角。 dr r du r dv = u + v r r u r v  = u  + v  du : dv u :v 2、设两方向的夹角为  ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) cos Edu Fdudv Gdv E u F u v G v Edu u F du v udv Gdv v dr r r du r dv r u r v dr r dr r u v u v               + + + + + + + = + + =  = 3、特别 （1） （2）对于坐标曲线的交角，有 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。 (d) ⊥ ( )  Eduu + F(duv +udv) + Gdvv = 0 EG F r r r r dr r dr r u v u v =  =  =   cos

2、3正交曲线簇和正交轨线设有两曲线Adu+Bdv=O，C(u,v)Su+D(u,v)Sv=O如果它们正交，则Eduu+F(dud+Sudv)+GdvSv= 0dvdv Svdy或=0E+du SuSudu4ACE-=0即B DBD若另给出一簇曲线Adu+Bdv=O，则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程A1Sv是A、SvE+F=0BBSuSuSiBE-AF即SuBF-AG

2、3 正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即 Adu + Bdv = 0 , C(u,v)u + D(u,v)v = 0 Eduu + F(duv +udv) + Gdvv = 0 + ( + ) + = 0 u v du dv G u v du dv E F     − ( + ) + = 0 D C B A G D C B A E F 若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即 Adu + Bdv = 0 , + (− + ) + (− ) = 0 u v B A G u v B A E F     BF AG BE AF u v − − = −  

2、4曲面域的面积如图用坐标曲线把曲面(u, v+ dv))(u du,v+ dy)分成若于小块，每块的面积r.dy为r,duudo =[r,duxr,dv(u+ du,v)P(u,v) xr;dudv = do = [, ×r,dudv = [ VEG- F2 dudvDDD其中D为相对应的u,v平面上的区域，( ×) = -() = EG-F2 >0定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长曲面上两方向的交角，曲面域的面积

2、4 曲面域的面积 P(u, v) (u + du,v) (u, v + dv) (u + du,v + dv) r du u rv dv   如图,用坐标曲线把曲面 分成若干小块,每块的面积 为    = =  = − =  =  D D u v D u v u v d r r dudv EG F dudv r r dudv d r du r dv   2        其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域， ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 ru rv = ru rv − ru rv = EG − F        定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲 面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长， 曲面上两方向的交角，曲面域的面积

2、5等距变换1）曲面S到S,的变换S: r =r(u,v)给定两曲面：Sr: r =r(u,y如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：u, =u,(u,v) ， Vi =yi(u,v)a(u,v)±0其中u(u,), (u,) 连续，有连续的偏导数，且6(u,)这种一一对应关系称为曲面S到S,的变换。由于 S, :=(u,y)=r(u(u,v),y(u,v)=r(u,v)这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）

2、5 等距变换 1) 曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面： S： S1： 如果其对应点的参数之间存在一一对应关系： ， 其中 连续，有连续的偏导数，且 这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。 r r(u, v)   = ( , ) 1 1 1 1 r r u v   = ( , ) 1 1 u = u u v ( , ) 1 1 v = v u v ( , ), ( , ) 1 1 u u v v u v 0 ( , ) ( , ) 1 1    u v u v 由于 这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中 我们总假定在对应点有相同的参数。 : ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S r r u v r u u v v u v r u v     = = = 2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的 长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）

定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后，它们有相同的第一基本形式证明：必要性设s与s是等距的且对应点有相同的参数，则s上任一条曲线与si上对应曲线有相同的长度，即对于te[to,t]dydu dy(会)d=r()dudu dvdt+2F+2F+G+Gdtdtdt dtCdt.dt dtdt.即有 Edu?+2Fdudv+G dy?=E,du?+2Fdudv+G,dy2对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有E=E,F=F,G=G充分性设两曲面有相同的第一基本形式，由于弧长由第一基本形式决定，所以它们的弧长相同。由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量

定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适 当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。 证明：必要性 设s与s1是等距的且对应点有相同的参数，则s 上任一条曲线与s1 上对应曲线有相同的长度，即对于 [ , ] 0 1 t  t t dt dt dv G dt dv dt du F dt du E t t        + +     1  0 2 2 2 dt dt dv G dt dv dt du F dt du E t t        + +      = 1 0 2 1 1 2 1 2 即有 对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有 2 1 1 2 1 2 2 Edu + 2Fdudv+G dv = E du + 2Fdudv +G dv 1 1 1 E = E ,F = F ,G = G 充分性 设两曲面有相同的第一基本形式，由于弧长由第一基本 形式决定，所以它们的弧长相同。 由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质） 在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不 变量

2、6保角变换（共形变换）1）定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为I，I1°必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正Edudu + F(duov +Sudv) +Gdvov = 0交条件E,dudu+F(duo+udv)+G,dvov=0得Edu+FdyFdu+Gdv消去u,v得E,du+Fdv Fdu+GdvFEFGdv=0时有由du,dv的任意性，在du=0时有FE"FGI

2、6 保角变换（共形变换） 1） 定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换） 2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们 的第一基本形式成比例。 证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为Ⅰ，Ⅰ1。 必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正 交条件 得 消去 得 由du,dv的任意性，在du=0时有 ， dv=0时有 Eduu + F(duv +udv) + Gdvv = 0 E1 duu + F1 (duv +udv)+G1 dvv = 0 u,v F du G dv Fdu Gdv E du F dv Edu Fdv 1 1 1 + 1 + = + + 1 G1 G F F = 1 F1 F E E =

因此 E_F_GEFG充分性由于第一基本形式成比例，得E=2E,F=2F,G=2G代入交角公式知对应曲线的交角相等。特别：等距变换是它的特例

因此 1 1 G1 G F F E E = = 充分性 由于第一基本形式成比例，得 代入交角公式知对应曲线的交角相等。 1 2 1 2 1 2 E =  E ,F =  F ,G =  G 特别：等距变换是它的特例