目录序言·(1)符号·(2)概论·(3)映射·(3)空间Rn(4)失函数(9)(13)曲线和线·曲面·(15)(19)第一章函数曲线、线和曲面的概念(25)第二章平面曲线-(25)81：确定曲线的各种方法..-(30)82．切触，切线和法线83。渐近线。奇异点。线（曲线）的(38)讨论和作图·.(46)84．曲线族。包络.·(49)85．弧长曲率....+.4(55)··．渐缩线和渐伸线．自然方程(59)第三章空间的曲线和线(59)87.曲线和线的方程..(61)88.弗朗内标架弧长39．弗朗内公式。曲率和率。自然方程·…(68)
(75)第四章曲面(75)810.曲面方程·811曲面的切平面和法线直纹面(80)曲线与曲面的切触·(87)$12.曲面族．包络面…813.第一二次形式…(90)$14.球面映射。第二二次形式(99).815.共轭网和渐近曲线：.(110)816.曲率线(113)S17.测地线..(115)18.曲面论中的活动标架法...(119)$19.杂题·(127)第五章曲线和曲面的仿射性质·..(131)第六章场论初步。....(134)820.数量场.(134)821．失量场…….(139)解答…....(148)
序言本习题集包含在综合性大学物理数学系讲授的微分几何课程的基本章节范围内的一干多道习题和练习题。在这版的准备时，作者力求考虑到目前在数学教学中发生的变化。中学转到新的教学大纲导致了教学方法、术语及符号的变化，在此书中我们尽力巩固和发展这些革新。我们无条件地采用在中学里惯用的所有术语和符号，特别注意在微分几何课程中被研究的基本对象的确切定义。对于曲线（线）给出两种定义。即一方面，曲线被定义为等价参数表示道路的类，另一方面，引入作为一维流形的线的概念。曲面被看作为二维流形并通常借助其参数表示给出。大多数题目可从局部观点来解决，即在确定点的邻域内研究几何图形。在本书的叙述中作者力求将微分几何课程同其他数学课程结合起来，主要用到线性代数、数学分析和微分方程的工具，并特别注意与中学几何和解析几何的联系。全书包括概论、六章及二十一节。此书可推荐为综合性大学和师范学院物理数学系的教学参考书。1
符号a，b，c，…}一由元素a，b，c，…组成的集合;xx具有性质P）所有具有给定性质P的元素的集含，xEAX是集合A的元素（x属于A）ACB—集合A是集合B的子集，AUB集合A和B的并，ANB-—集合A和B的交，A\B——集合的差，——空集：R所有实数的集合,V-一任一个,I在在,pq由p得出q,pqp和q等价，a. b-天量的数量积,a×b矢量的矢量积，（a，b，c）矢量的混合积。所有其他符号将在本文中阐明。2
概论映射设X和Y是任意的非空集合，如果集合X的每一个元素与集合Y中的某个元素相对应，那么说给出了集合X到集合Y内的一个映射。映射用字母f表示，在此记为f: X-→Y, x -→f (x)(1)元素y=f（×）称为元素x的象。如果ACX，则集合f(A)=(f(x)IxEA)称为集合A的象，集合f（X）称为映射f的象。若f（X）=Y，则称f是集合X到集合Y上的映射，或者称f是满射。如果Xx2f(x1)±f(x2),则称映射f是内射。同时是满射和内射的映射称为双射。这种映射确定了集合X和Y的元素之间的一一对应。对于双射f存在逆映射：f-l; Y-X, f(x)l-x,它同样也是双射。如果AX，那么可以观察映射（1）在A上的限制：flA. A-→Y, a l-f(a), 这里aEA。当将实数集合R作为Y，则称映射（1）为函数。设f：X→Y和g：Y-→Z均为映射，那么能确定映射3
gf: X-z, x lg (f(x)),它称为映射f和g的合成。两个集合X和Y的直积（或笛卡尔积）是所有的偶（x，y）的集合，其中，xEX，yEY：XxY=((x, y)Ixex, yey)。空间Rn由n个实数的有序组（x1，x2，xn）组成的集合R"=((x1,X2,...xn)Ix1,x2,".XnER)能够赋予不同的结构。R"是n维实矢量空间，据此R"中的元素可称为失量，并用符号a，，，y，…表示。由矢量1=(1,0,,0),T2=(0,1,0..,0),...1,=(0,0,",1),组成的空间R"的基称为规范基。在R°中的规范基用（i，了，）表示。：我们可将R"看作为与失量空间R"联系在一起的点的仿射空间。此时R"的元素既可看作是点，并用符号M，N，….表示，也可看作是失量a，x，…。矢量=（×1，"）关于规范基具有坐标×1，×2"，xn，点A（xi，"，xn）关于标架（O，i,i2,i。,i,）具有同样的仿射坐标，其中=（0，0，,0)是坐标原点。如果使空间R"的任意两个量x=（x1，X2xn）和4
y=（yi，y2，…yn）与称为矢量x和y的数量积的数：x.y=xiyi+x2y2++xnyn相对应，那么R“成为n维欧基里德空间。在这个空间中能引入两点：M=（x1， ×2，，X）和N=（y1,2,，yn）间的距离的概念：nIMNI=VZ.(xi-yi)2i-1特别是，对中学数学课程中研究的平面和空闽，如果在它们中选取笛卡尔坐标系，则能够分别看作为R2和R‘。集合B(A, ε) =MERnAMI0的球，这个球称为点A的8邻域。R"的子集U称为开集，如果对它的每个点A，它都包含球心在A的某个球。所有包含点A的开集都称为该点的邻域。点AER称为集合UER"的接触点，如果这个点的任何邻域至少包含U里的一个点。集合U的所有接触点的总合称为集合U的闭包，并用符号U表示。如果U=U，则集合U称为闭的。系如果不存在不交的开集U，和U，这两个开集将集合V分为两个非空子集V,和V2，使V,CU1，V,CU2，则集合VCR"称为连通的。开连通集合称为区域，区域的闭包称为闭区域。如果集合U内的点连同它的某个邻域都属于集合U，则5
该点称为集合U的内点。集舍U的所有内点的总合称为该巢合的内部。如果在点MER"的任何邻域中既存在属于集合UR的点，又存在不属于集合U的点，则点M称为集合U的边界点。集合U的所有边界点的总合称它的边界，并用符号U表示。在空间R"中所有点的子集皆称为空间R"的图形Φ。给出个含有x1，x2，…，n的方程称为图形Φ的方程，如果R"的属于图形Φ的点且仅仅是属于图形Φ的点满足此方程。设1：R㎡→R"是一个线性映射，（il，i2，，im)是R"的规范基，（T，i2，，)是R"的规范基，并设Al(ik)=Zαjk'ij（k=1，2，"m）。矩阵j-1(αjk) 1<j≤n1<k<m称为线性变换1的矩阵，它的列是矢量1（i）的坐标。如果×=（x1，I2，，Xm）ERm,且1(x)=(1,y2,.…yr)ER",那么myi=Zαjkxk。k-1m维矢量空间V的两个基（e,,e,,…em）=［e)和（a二部a,,，am=【a】称为等价的,如果由基【e到基ra]的变换矩阵的行列式（即空间V的由基Le］到基【a】的线6
性变换的矩阵）是正的。空间V的等价基的类称为这个空间的定向。每个失量空间仅仅存在两个定向，其中一一个称为正的，另一个称为反的。这样，空间的定向的选择等价于这个空间中基的选择。如果V是在R中的二维子空间，（e1，e，）是V的基，而n是R"的不属于V的非零矢，则（e，e，五）是R"的基。如果矢量n已被选定，而基（e1，e，n）与R"的规范基等价，则基（e1，e2，）称为正的。这样，确定V的定向等价于确定矢量n。通常将n取为与V正交的单位失量。线性映射α：R"→R称为在矢量空间R"上的线性形式。设α（ik）=α，那么对于量h=（h,h2,..hn）有nα(h) =Zαkhk。k-1坐标函数ui: Rn→R,(u,u2,,un)uii=l2, , n)是线性形式的例子。满足下列条件的映射β：R"×R"→R称为在矢量空间R"上的双线性形式：β(h,+h,,p)=β(h,p)+β(h,,p)β(α,)=β(,)β (h, pi+p,)=β(h,P,)+β (,p2)β(h,ap)=αβ(h,p)。如果β(i,in)=βkl,h=(h,.hn),p=(p,",P），则7
nβ=MβkihkPihD.k,1-1如果β（五，）=β（，五），则称双线性形式β是对称的。如果β（五，）=－β（，），则称双线性形式β是反对称的（或称为2一形式）。对于对称双线性形式有βk1=β1k，对于反对称双线性形式有βk1=-β1k。映射g：R"→R称为失量空间R"上的二次形式，如果存在双线性对称形式β，使q（h）=β（五，五）。在坐标下q（h）可用下面公式表示，nq (h)=Z βihhl.k,1-1二次形式q称为是与双线性形式β相对应的形式。设α和β是在矢量空间R"上的两个线性形式，2一形式αB:R"×Rn-R称为这两形式的外积，它由下式确定：(αβ)(,)= (α()()-α()())α(h)α(p)二β(h)β(p)设M是空间R"中的任意点，偶（M，五）称为R"在点M处的切失量，这里h是R中的任意矢量。切矢量（M，h）能够表示为点的这样的有序点对（M，N），使对应于点对的矢量与一致（即M+h=N），而作为矢量五已被放到点M处。R"在点M处的所有切矢量的集合TMR=（（M，五）/五ER°）称为切矢量空间。对R中矢量的运算，可根据下面原则转到同一点的切矢量上：8