《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第一章 曲线论 1.3 空间曲线

第三节空间曲线3、1空间曲线的密切平面P(to)r'(t.1、定义过空间曲线上P点的Q(to + △t)切线和P点邻近一点Q可作一平面，当O点沿曲线趋于P时-R平面的极限位置元称为曲线在P点的密切平面。对于c2类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面

3、1 空间曲线的密切平面 1、定义 过空间曲线上 P 点的 切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平 面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时， 平面 的极限位置 称为曲线 在 P 点的密切平面。    第三节 空 间 曲 线 O ( ) 0 P t ( ) 0 Q t + t ( ) 0 r  t  R  对于 类的曲线上任一正常点处的 密切平面是最贴近于曲线的切平面。 2 c

2、密切平面的方程给出 c2类的曲线（C）:r=r(t)P(to)ta有 PQ=r(to +t)-r(to)Q(to + △t)=r'(to)At +(r"(to) +=)△t?IR因为向量r(t.)和PQ都在平面上，所以它们的O线性组合 [PQ-(to)]="(to)+也在平面上。两边取极限得"(t)在极限平面上，即P点的密切平面上，因此只要r'(t)×"(t)≠0这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为(R-r(to),r(to),"(to))=0

2、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有 因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。 两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此 只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 2 C r r(t)   = 2 2 0 1 0 0 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) r t t r t t PQ r t t r t =   +  +  = +  −       ( ) 0 r  t  PQ     −   =  +  [ ( ) ] ( ) 0 0 2 2 PQ r t t r t t   ( ) 0 r  t  ( ) ( ) 0    r  t r  t  (R−r(t 0 ),r (t 0 ),r (t 0 )) = 0     O ( ) 0 P t ( ) 0 Q t + t ( ) 0 r  t  R 

用R={X,Y,Z)表示P点的密切平面上任一点的向径，则上式表示为X - x(to)Y - y(to)Z-z(to)=0x(to)z(to)y'(to)z"(to)x"(to)y"(to)如果曲线用自然参数s表示，则将上式中的撇改成点。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。例题求园柱螺线上任一点的密切平面。Pαβ

用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为 如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 R ={X,Y,Z}  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =       − − − x t y t z t x t y t z t X x t Y y t Z z t P       例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面

3、2空间曲线的基本三棱形dr1、给出 C2类曲线=(s)得一单位向量 α==称为曲ds（注意到=线（C）上P点的单位切向量。α称间为曲线在P点的主法向量,它垂直于单位切向量。称=α×β为曲线在P点的付法向量。量α，β,称为曲线在P点的伏雷内把两两正交的单位向量(Frenet)标架

1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲 线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的付法向量。 把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内 （Frenet)标架。 2 C r r(s)   = ds dr r      = = r r          = =          =1 ⊥       =        , , 3、2 空间曲线的基本三棱形

2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。3、对于曲线（C)的一般参数表示 r =r(t),有V=+xa-('r)r"-(".r)r"xr"例题P34

2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。 r r(t),   3、对于曲线（C）的一般参数表示 = 有 r r r r r r r r r r r r r r r      −    =  =     =   =                     ( ) ( )  , ,    4、例题 P34

3、3 空间曲线的曲率，捷率和伏雷内公式设空间曲线（C）为C3的，且以s为参数Pα(s)1、曲率定义（C）在P为的曲率为AOPpk(s) = limα(s + △s)AsAs→0有 k(s)=α（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）2.曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。中曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度

3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式 2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。 设空间曲线（C）为 的，且以 s 为参数。 1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 有 （一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度） 3 C s k s s   =  →  0 ( ) lim  (s)  (s + s)  • =   k(s) P P1

Ay3、挠率与曲率类似有(s)(s +As)αrαAYBBTk[alk(s)y(s+Asα=k(s)β, =(αxβ)=k(s)β×β+αxβ=α×β,(=)定义曲线（C）在P点的挠率为「+卧当和β异向,t(s) =【-卧当和β同向挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度

3、挠率 与曲率类似有 s s   =  →   0  lim   (s + s)   (s + s)   (s)   r k(s) r                = = =                           =  +  =  = =   ( ) ( ) , ( ) k s k s   ,  .( 1)  // .            ⊥ ⊥ =  定义 曲线（C）在 P 点的挠率为 挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。  (s) =  ,当  和  异向,      +  ,当  和  同向.      −

=-t(s)β4、由定义可得又 =(×a) =×α+×=-t(s)βx+×k(s)β= -k(s)α+t(s))于是有α= k(s)ββ=-k(s)aα+t(s)=-t(s)β。它的系这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。数组成一反称方阵00k(s)0-k(s)t(s)00- t(s)

4、由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵       = − (s)                                ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s s s k s = − + =  =  +  = −  +  •       = − (s)         = −k(s) + (s)      = k(s)           − − 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 s k s s k s  

5、曲率和控率的一般参数表示式给出C3类的曲线（C）：dr dsdsdsr=r(t), r'rVdtdtds dt2dr( ds=d’sdsdsS+dt?dt?dt?dsdtdtdtdsdsds所以'xr"XXXdt?dtdtdtds因此[x"叫=sin の=k (=1,)dt[F'xr"k 由此得到曲率的一般参数的表示式[3

5、曲率和挠率的一般参数表示式 给出 类的曲线（C）： 所以 因此 由此得到曲率的一般参数的表示式 3 C ( ) , r . dt ds dt ds r dt ds ds dr r = r t r  = =  =         ( ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 dt d s r dt ds r dt d s r dt ds ds dr dt d s r dt ds r r               +       + =       =  + = , 3 2 2 2       =           +        =  dt ds r r dt d s r dt ds r dt ds r r r             sin ( 1, ) 3 3 k r r r r dt ds r r r r               =  = ⊥        =  3 r r r k    =   

由β.=0=β.=-·β=β.β=T=·β=(α×β)(-α)K=(αxα)(二)α+=a)KKK=(r×r)[()r+r]KKK(r,r,r)[r(r,r,r)(r'×r")?(r',r",r")T :可得挠率公式为(r'xr")?

由   =    = −   =  =    0 2 6 2 ( ) ( , , ) ( , , ) ] 1 ) 1 )[( 1 ( ) 1 ) 1 ) (( 1 ( ) 1 ( ) ( r r r r r r r r r r r r r    = = =  + =   + =  =                                       可得挠率公式为 2 ( ) ( , , ) r r r r r      =      