《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.3 曲面的第二基本形式

第三节曲面的第二基本形式3.1 曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点P邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用P点邻近的点O到P点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状

第三节 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面 积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面 在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有 必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲， 往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示， 这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在 第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全 决定的曲面的形状

二、曲面的第二基本形式给定类C2的曲面S:r =r(u,v),(u,v)eG,PeS.曲线(c） ： u=u(s),v=v(s)或 r=r(u(s),v(s)=r(s)是曲面上过P的一曲线，PW为P邻近一点，它们的向径32-11分别为 r(s),r(s +△s)Ppi= r(s$+ As)-(s)= As+(+E)(As)2,lim = 02As-0设n为曲面在P点的单位法向量，由P'作切平面元的垂足为Q为从切平面到曲面S的有向距离，则QP'=n。所以有 S=Qpi.n=(QP+PP).n=Ppi.n(n.+n.)(As)=[r(s+△s)-r(s)]·n =2

二、曲面的第二基本形式 给定类 的曲面S： 曲线（c）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线， 为 P 邻近一点，它们的向径 分别为 2 C r = r(u,v),(u,v)G, PS.   r r(u(s), v(s)) r(s)    = = P r(s),r(s + s)   ( )( ) , lim 0. 2 1 ( ) ( ) 0 2           = +  − =  + +  =  →   s PP r s s r s r s r s 设 为曲面在P 点的单位法向量，由 作切平面 的垂足为Q， 为从切平面到曲面 S 的有向距离，则 。 所以有 n  P   QP n   = 2 ( )( ) 2 1 [ ( ) ( )] ( ) r s s r s n n r n s QP n QP PP n PP n = +  −  =  +   =  = +   =              

当0时，的主要部分是(As)=nds222=ru+ri由于#=rmi +2rnin+ri +ru+r,n.rds? = n.rmdu? +2n.rududv+n.ri.dv?所以I = n.rds? = n.dr = Ldu? +2Mdudv + Ndy?它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负

当 nr  0 时， 的主要部分是     2 2 2 1 ( ) 2 1 n r s n rds         =  由于 r r u r v u v       = + r r u r uv r v r u r v uu uv vv u v             = + + + + 2 2 2 所以 2 2 2 n rds n r du 2n r dudv n r dv u u u v vv           =  +  +  2 2 2 2 = nrds = nd r = Ldu + 2Mdudv + Ndv      Ⅱ 它称为曲面的第二基本形式,它的 L 、M、N系数称为曲面 的第二类基本量 。 上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距 离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻 划了曲面在空间中的弯曲性。 注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向 法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负

三、第二类基本量的计算Fxr,(ru,ru,r)1、L=r..n=ruuuu[uxr,]VEG-F2(m,r,r)(rw,ru,r)N=ri.n=.M=r..n=VEG-F2VEG- F22、对 n·dr=0 进行微分得dn.dr+n.dr=0 , .. n.dr=-dn.dr = II又,在切平面上,所以·n=O,·n=O,微分有ru-n+rn,=0L=ru.n=-r.nrn+r.n,=0M=rm-n=-rn, =-r,·n,0N=rw.n=-r.nrwn+r.n,=0

三、第二类基本量的计算 2 ( , , ) EG F r r r r r r r L r n r uu u v u v u v uu uu − =   =  =            , ( , , ) 2 EG F r r r M r n uv u v uv − =  =      2 ( , , ) EG F r r r N r n vv u v vv − =  =      1、 2、对 ndr = 0 进行微分得   dndr + nd r =  nd r = −dndr =    2   2    0 , Ⅱ 又ru ,rv在切平面上,所以 ru n = 0,rv n = 0,微分有       ruu n + ru nu = 0     ruv n + ru nv = 0     rvu n + rv nu = 0     rvv n + rv nv = 0     uu u nu L r n r     =  = −  uv u v v nu M r n r n r       =  = −  = −  vv v nv N r n r     =  = − 

3、对于显函数 z=z(x,) 表示的曲面有 =(x,y,z(x,y)r, =(1,0,zx}={1,0, p), r, =[0,1, z,) =[0,1,q)r = {0,0,zx} ={0,0,r) ,r, = (0,0, zx, = [0,0, 2 x} = rx = {0,0, s), = (0,0, 2 m) = [0,0,t)I =(1 + p)dx? +2pqdxdy+(1 +q)dy1II =(rdx?+2sdxdy+tdy2)/1+p2+q例题1、2

3、对于显函数 z = z (x , y) 表示的曲面有 r ={x, y,z(x, y)}  {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } , {1,0, } {1,0, } , {0,1, } {0,1, } r z t r z z r s r z r r z p r z q yy yy xy xy yx yx xx xx x x y y = = = = = = = = = = = =       2 2 2 2  = (1+ p )dx + 2pqdxdy+ (1+ q )dy ( 2 ) 1 1 2 2 2 2 rdx sdxdy tdy p q + + + + Ⅱ = 例题1、2

3、2曲面上曲线的曲率曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线1、给定类C2 的曲面S: =r(u,v),(u,v)eG,PS.(c) : u=u(s),v=v(s)或 =r(u(s),v(s) =r(s)是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为α,β则=α=kβ设P点的法向量n与主法向量β的夹角为，则β.nB.ncOsO

3、2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快 慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面 在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲 面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯 曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线） 来求得，这条曲线就是法截线。 一、法截面与法截线 1、给定类 的曲面S： （c）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 则 2 C r = r(u,v),(u,v)G, PS.   r r(u(s), v(s)) r(s)    = =     ,        r = =    n  设 P 点的法向量 与主法向量 的夹角为 ，则 n n n       =   =    cos

.n=xβ.n=kcos0所以d?rn.dr II7但r.n=nds?ds?1IILdu? + 2 Mdudv + Ndy2(1)K cosO1Edu? +2Fdudv+Gdy?2、定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P点沿方向(d)法截线

所以 r n =  n =  cos       =   =  = 2 2 2 2 ds n d r ds d r r n n        Ⅱ 但 2、定义：给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv ，于是方 向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方 向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P 点沿方 向(d)法截线。 2 2 2 2 2 2 cos Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv + + + + =     = Ⅱ (1)

二、法曲率设方向（d）所确定的法截线为（co），它在P点的曲率为ko，对于(co)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量β。为s在P点的法向量或它的反向量，即β=土n，所以θ=0或元由公式（1）得K=±llKg cosQ=即(2)11其中n和β。的方向相同时取正号，此时（co）往n的正侧弯曲，取负号，反向弯曲。uEd(C)

二、法曲率 设方向（d）所确定的法截线为 (c0 )，它在 P点的曲率为 k0，对于 (c0 )，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量 为s在P点的法向量 或它的反向量，即 ，所以 由公式（1）得 0  n   0 =   = 0 或   =   0 = 0  cos ,即  Ⅱ (2) Ⅱ 其中 和 的方向相同时取正号，此时（c0）往 的正侧弯曲， . . 取负号， . 反向弯曲。 n  n  0 

定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为K。,法截线向n的正向弯曲Kn =-Ko,法截曲向n的反向弯曲。IILdu? +2Mdudv + Ndy2(3)K./1-Edu? + 2Fdudv+Gdy?注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（co）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以设曲面上一曲线（c）和法截线（co）切于P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得Kn=KcosO利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论

定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为     − = n 。 n n 法截曲向 的反向弯曲 法截线向 的正向弯曲   , , 0 0    2 2 2 2 2 2 Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv n + + + + =    = Ⅱ (3) 注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时 du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c） 的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了， 因为它们此时的切方向相同了。所以 设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相 同的切方向（d）= du:dv，则（1）和（3）得 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。  n =  cos

三、梅尼埃定理设R=1/k，即R为曲线（c)的曲率半径，R，=1/kn，称R为曲线（co)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式 ,=cos，可写为 R=R,cos由于R在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上，(Co)Rn在（Co）.故这个公式的几何意义为：R为R,在（C）的密切平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法曲率中心Co，因此几何意义可叙述成：梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（Co）上同一个点P的曲率中心Co在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面

三、梅尼埃定理 设 R = 1/k，即 R 为曲线（c) 的曲率半径 ， Rn = 1/kn ，称R为曲线（c0 )的曲率半径，也称为法曲率半径。 则公式  n =  cos ， 可写为 R = Rn cos 梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲 线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中 心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。 由于R 在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上， Rn 在（C0） . ， （C0） . 故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切 平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：