第十五章时间序列回归 本章我们讨论分析时间序列数据(检验序列相关性,估 计ARMA模型,使用分布滞后,非平稳时间序列的单位根检 验)的单方程回归方法
1 第十五章 时间序列回归 本章我们讨论分析时间序列数据（检验序列相关性，估 计ARMA模型，使用分布滞后，非平稳时间序列的单位根检 验）的单方程回归方法
§151序列相关理论 时间序列回归中的一个普遍现象是:残差和它自己的滞后值相关。这种 序列相关性违背了回归理论的标准假设:不同时点的扰动项互不相关。与序 列相关相联系的主要问题有 ①在线性估计中OLS不再是有效的; ②使用OLS公式计算出的标准差不正确; ③如果在方程右边有滞后因变量,OLS估计是有偏的且不一致。 EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序 列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而 引起的。例如,在生产函数模型中,如果省略了资本这个重要的解释变量, 资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性,以及 对产出影响的连续性,必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下, 要把显著的变量引入到解释变量中
2 §15.1 序列相关理论 时间序列回归中的一个普遍现象是：残差和它自己的滞后值相关。这种 序列相关性违背了回归理论的标准假设：不同时点的扰动项互不相关。与序 列相关相联系的主要问题有： ① 在线性估计中OLS不再是有效的； ② 使用OLS公式计算出的标准差不正确； ③ 如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。 EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序 列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而 引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量， 资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及 对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下， 要把显著的变量引入到解释变量中
平稳性定义 如果随机过程y,={“y1,n,y1,y2 }的均值和方 差、自协方差都不取决于t,则称Y,是协方差平稳的或弱平稳的 E(Y1)= 对所有的t r(,) 对所有的t E(Y1-4)(Y1s-)=y 对所有的t和s 注意,如果一个随机过程是弱平稳的,则Y与Y之间的协方差仅取决 于s,即仅与观测值之间的间隔长度s有关,而与时期t无关。一般所说的 “平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。给定一个样本值为T的时间序列可 以看作是随机过程Y的一个实现,仍记内={y,y
3 平稳性定义： 如果随机过程 的均值和方 差、自协方差都不取决于 t，则称 Y t 是协方差平稳的或弱平稳的： { , , , , , , , , } Yt = y−1 y0 y1 y2 yT yT +1 E(Yt ) = 2 Var(Yt ) = 对所有的 t 对所有的 t 对所有的 t 和 s 注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则Y t与Y t- s之间的协方差仅取决 于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t 无关。一般所说的 “平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。给定一个样本值为T 的时间序列可 以看作是随机过程 Y t 的一个实现，仍记为Yt = { y1 , y2 , , yT } 。 E Yt Yt s s − − = − ( )( )
一般地,我们考虑如下形式 D,=xB+ r+a x是在时刻的解释变量向量;z11是前期已知变量向量;B,y是参数向量; l1是残差;E1是残差的扰动项;z,可能包含u1的滞后值或e,的滞后值 l1是无条件残差,它是基于结构成分(x1B)的残差,但它不使用z1中包 含的信息 E.是一步预测误差,它是因变量真实值和以解释变量以及以前预测误 差为基础的预测值之差
4 一般地，我们考虑如下形式： t t ut y = x + t t t u = z + −1 是在t时刻的解释变量向量； 是前期已知变量向量； 是参数向量； 是残差； 是残差的扰动项； 可能包含 的滞后值或 的滞后值。 是无条件残差,它是基于结构成分 的残差，但它不使用 中包 含的信息。 是一步预测误差，它是因变量真实值和以解释变量以及以前预测误 差为基础的预测值之差。 t x t−1 z , ut t−1 ( ,) z t x ut t t ut t−1 z t
一、一阶自回归模型 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。定义如下 y,=xB+u l1=P1-1+E 参数是一阶序列相关系数,实际上,AR(1)模型是将以前观测值的残差 包含到现观测值的回归模型中。 二、高阶自回归模型 更为一般,带有p阶自回归的模型,AR(p)误差由下式给出 Y,=xB+u 1l1-1+P AR(p)的自相关将渐渐衰减至零,同时高于p阶的偏自相关也是零
5 一、一阶自回归模型 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。定义如下： t t ut y = x + ut ut t = + −1 参数 是一阶序列相关系数，实际上，AR(1)模型是将以前观测值的残差 包含到现观测值的回归模型中。 二、高阶自回归模型 更为一般，带有p阶自回归的模型，AR(p)误差由下式给出： t t ut y = x + ut ut ut p ut p t = + + + + 1 −1 2 −2 − AR(p)的自相关将渐渐衰减至零，同时高于p阶的偏自相关也是零
§52检验序列相关 在使用估计方程进行统计推断(如假设检验和预测)之前,一般应检验 残差(序列相关的证据), EViews提供了几种方法来检验当前序列相关。 §152.1 Dubin- Waston统计量 EViews将DW统计量视为标准回归输出的一部分。 D-W统计量用于检验一阶序列相关,还可估算回归模型邻近残差的线性 联系。DW统计量是在下面定义中检验原假设:p=0 1-1+ 如果序列不相关,DW值在2附近。如果存在正序列相关,D-W值将小于 2(最小为0),如果存在负序列相关,D-W值将在2-4之间。 正序列相关最为普遍,根据经验,对于有大于50个数据和较少的解释变 量,D-W值小于1.5的情况,说明存在强正一阶序列相关。参考 Johnston and DiNardo(1997版661章)关于D-W检验和统计量显著性的论述
6 §15.2 检验序列相关 在使用估计方程进行统计推断（如假设检验和预测）之前，一般应检验 残差（序列相关的证据），EViews提供了几种方法来检验当前序列相关。 §15.2.1 Dubin-Waston统计量 EViews将D-W统计量视为标准回归输出的一部分。 D-W统计量用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性 联系。D-W统计量是在下面定义中检验原假设: = 0 ut ut t = + −1 如果序列不相关，D-W值在2附近。如果存在正序列相关，D-W值将小于 2（最小为0），如果存在负序列相关，D-W值将在2 - 4之间。 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个数据和较少的解释变 量，D-W值小于1.5的情况，说明存在强正一阶序列相关。参考Johnston and DiNardo（1997版6.6.1章）关于D-W检验和统计量显著性的论述
Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足 D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X 2.回归方程右边如果存在滞后因变量,DW检验不再有效 3.仅仅检验原假设(无序列相关)与备选假设(一阶序列相关 其他两种检验序列相关方法:Q统计量和 Brush- Godfrey Ln检验克 服了上述不足,应用于大多数场合 例子:工作文件151eqcs
7 Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。 3．仅仅检验原假设（无序列相关）与备选假设（一阶序列相关）。 其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-Godfrey LM检验克 服了上述不足，应用于大多数场合。 例子：工作文件15_1\eq_cs
§1522相关图和Q统计量 在方程工具栏选择Ⅴ ew/Residual Tests/correlogram-Q- statistics EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的 jung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关,在各阶滞后的自相关和 偏自相关值都接近于零。所有的Q统计量不显著,并且有大的P值 k阶滞后的Q统计量是原假设为序列没有k阶自相关的统计量。计算 式如下 QB=7(7+2) T 是j阶自相关系数,7是观测值的个数
8 §15.2.2 相关图和Q-统计量 在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics 。 EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的 Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和 偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。 k 阶滞后的Q-统计量是原假设为序列没有k 阶自相关的统计量。计算 式如下 ( )= − = + k j j LB T j r Q T T 1 2 2 rj 是 j 阶自相关系数，T是观测值的个数
例子 下面是这些检验程序应用的例子,考虑用普通最小二乘估计的简单消费 函数的结果: Dependent variable: CS Method: Least squares Date:10/2203Time:07:43 Sample(adjusted 1947: 2 1995: 1 Included observations: 192 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob -10.157395.251915-1930300.055 GDP 00512900015900322579000015 Cs(-1) 0932395002260941.239910.0000 R-squared 0.999735 Mean dependent var 1962.776 Adjusted R-squared 0.999732 S.D. dependent var 854.9860 S.E. of regression 13.99431 Akaike info criterion 8.130680 Sum squared resid 37013.88 Schwarz criterion 8.181578 Log likelihood 777.5453 F-statistic 356371.9 Durbin-Watson stat 1.605104 Prob(F-statistic
9 例子: 下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计的简单消费 函数的结果：
浏览这些结果:系数在统计上是很显著的,并且拟合得很好。但是,如果 误差项是序列相关的,那么估计OLS标准误差将是无效的,并且估计系数由于 在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下DW统计量作为 序列相关的检验是不合适的,因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择 View/Residual test/Correlogram- Q-statistice会产生如下情况 Date:10/2203Time:07:45 Sample:1947:21995:1 Included observations: 192 Autocorrelation Partial Correlation ac Pac @-Stat Prob 10.1950.1957.37950.007 20.2160.185164980000 30.2720.21831.1180.000 40038007731.4100000 50026-005531.5470000 60029002131.7160000 700530052325210000 80.1160102352370000 900940053370320000 1000450048374400000
10 浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并且拟合得很好。但是，如果 误差项是序列相关的，那么估计OLS标准误差将是无效的，并且估计系数由于 在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为 序列相关的检验是不合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择 View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况