《群论一》讲义李新征北京大学物理学院
《群论一》讲义 李新征 北京大学物理学院
课程导言很高兴这个学期继续为大家担任《群论一》课程的主讲教师。今年选课的学生比较多，尤其是本科生。研究生这边因为我们这两年教学改革，我建议不要把这门课列为一些专业的必选课，而是按核心课对待。因此人数稍微比往年少一些。但总选课人数还是两百多。我不知道本科生中有没有一部分人是因为我去年在课上说今年最后一次讲而选的。如果有，先声明一下应该不会是最后一次。因此，大家不要急着选。按我一会儿在课上讲的学习规律来。之后，我们这堂课按三部分展开。先说一下《群论一》与《群论二》的关系。再说一下这学期的课程内容与前几个学期的不同。最后，按惯例，对《群论》课程的起源、特性、参考书这些东西进行一个详细的介绍。目的，是在大家进入很细节的学习之前，对课程有个整体的认识。先说《群论一》是啥？它与《群论二》的关系。以前我们这门课就叫《群论》。这两年我们在进行教学改革。大伙的一致共识是不应该叫《群论》，而应该叫《群论一》，因为物理学科用到的群论一个学期我们肯定cover不住，还有李群李代数。我们北大实际上一直是按两个学期开的，但不按两个学期叫。其它高校，多数就讲一个学期。我自己的感觉，是不可能有很好的教学效果。因为《群论一》讲群论基础，重点是有限群。当然，还cover转动群、双群这些东西。教学重点是群表示论及其应用。学完之后，大家在凝聚态物理、原子分子物理、光学、理论化学、材料科学这些研究中能够把课程内容用起来。《群论二》，重点是李群这种连续群的代数结构。我前一段时间看到一句话，有限群讲表示、李群讲代数，感觉挺准确的。这两年，我们的《群论一》正常情况下还是我讲，《群论二》由=
ii 课程导言 很高兴这个学期继续为大家担任《群论一》课程的主讲教师。今年选课的学 生比较多，尤其是本科生。研究生这边因为我们这两年教学改革，我建议不要把 这门课列为一些专业的必选课，而是按核心课对待。因此人数稍微比往年少一些。 但总选课人数还是两百多。我不知道本科生中有没有一部分人是因为我去年在课 上说今年最后一次讲而选的。如果有，先声明一下应该不会是最后一次。因此， 大家不要急着选。按我一会儿在课上讲的学习规律来。 之后，我们这堂课按三部分展开。先说一下《群论一》与《群论二》的关系。 再说一下这学期的课程内容与前几个学期的不同。最后，按惯例，对《群论》课 程的起源、特性、参考书这些东西进行一个详细的介绍。目的，是在大家进入很 细节的学习之前，对课程有个整体的认识。 先说《群论一》是啥？它与《群论二》的关系。以前我们这门课就叫《群论》。 这两年我们在进行教学改革。大伙的一致共识是不应该叫《群论》，而应该叫《群 论一》，因为物理学科用到的群论一个学期我们肯定 cover 不住，还有李群李代 数。我们北大实际上一直是按两个学期开的，但不按两个学期叫。其它高校，多 数就讲一个学期。我自己的感觉，是不可能有很好的教学效果。因为《群论一》 讲群论基础，重点是有限群。当然，还 cover 转动群、双群这些东西。教学重点 是群表示论及其应用。学完之后，大家在凝聚态物理、原子分子物理、光学、理 论化学、材料科学这些研究中能够把课程内容用起来。《群论二》，重点是李群这 种连续群的代数结构。我前一段时间看到一句话，有限群讲表示、李群讲代数， 感觉挺准确的。这两年，我们的《群论一》正常情况下还是我讲，《群论二》由
王一男老师负责。大家学完《群论一》之后，可根据自身情况，选择是否学习李群李代数。第二点是这学期的课程与前几个学期的不同。前面这些年，根据课程讲义，我们总结了一个教材。2019年出版，大家可能知道。出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，我这边从2021年底开始着手对教材进行第二版修订，特意增加第七章来覆盖这部分内容。添加完了之后，我自己觉得在我们这个学期的课程上，还是应该把这部分内容给加进去。目的当然不是为了把《李群李代数》彻底讲清楚，我也没这个能力。但是在准备的过程中，我觉得还是发现李群李代数里面一些基本的概念，这些概念很抽象。但是，它们的产生背后其实有一个很简单的关于人类对自然界的认识，以及对为了描述这种认识所发展的数学的认识，由简单到复杂演化的基本的逻辑。这个逻辑如果我们参考讲历史与逻辑相统一的讲授方式，是很容易说起清楚的。把这个说清楚以后，我们的学生在进一步学习《群论二》的时候，一定会容易很多。基于这个考虑，我们在《群论一》里面增加第七章。目的，将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论II》的课程进行一些铺垫。1这个词是我最近在武汉大学哲学系赵林老师在喜马拉雅（一个音频分享平台）上的一个系列讲座《古希腊文明的兴衰》中听到的。据赵老师介绍，最早来自黑格尔（GecorgWilhclmFriedrichHegel，1770-1831）。黑格尔谈哲学时，最大的特点是系统、丰富、完整。其中，逻辑在先是他最大的利器。他的论述多会基于简单的逻辑展开，然后使其逐渐复杂化，进而完整地体现学科的进展。当然，在历更学家看来，这种方式具有一定的形而上的特质。但不得不说，这种方式对于人们系统的理解各种知识，并很好地掌握继续发展它的技能，是很有效的。实际上，我在过去很多年地教学中，不自觉地就是采用这个方式来进行的。这里，冒味地直接采用这个并不属于自己专业的名词，特此说明一下。如有不妥，也请谅解！
王一男老师负责。大家学完《群论一》之后，可根据自身情况，选择是否学习李 群李代数。 第二点是这学期的课程与前几个学期的不同。前面这些年，根据课程讲义， 我们总结了一个教材。2019 年出版，大家可能知道。出版后，因为讲授的方式相 对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关 于李群李代数的介绍。于是，我这边从 2021 年底开始着手对教材进行第二版修 订，特意增加第七章来覆盖这部分内容。添加完了之后，我自己觉得在我们这个 学期的课程上，还是应该把这部分内容给加进去。目的当然不是为了把《李群李 代数》彻底讲清楚，我也没这个能力。但是在准备的过程中，我觉得还是发现李 群李代数里面一些基本的概念，这些概念很抽象。但是，它们的产生背后其实有 一个很简单的关于人类对自然界的认识，以及对为了描述这种认识所发展的数学 的认识，由简单到复杂演化的基本的逻辑。这个逻辑如果我们参考讲历史与逻辑 相统一的讲授方式1，是很容易说起清楚的。把这个说清楚以后，我们的学生在进 一步学习《群论二》的时候，一定会容易很多。基于这个考虑，我们在《群论一》 里面增加第七章。目的，将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注 于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论 II》的课程进行一 些铺垫。 1 这个词是我最近在武汉大学哲学系赵林老师在喜马拉雅（一个音频分享平台）上的一个系列讲 座《古希腊文明的兴衰》中听到的。据赵老师介绍，最早来自黑格尔（Georg Wilhelm Friedrich Hegel， 1770-1831）。黑格尔谈哲学时，最大的特点是系统、丰富、完整。其中，逻辑在先是他最大的利 器。他的论述多会基于简单的逻辑展开，然后使其逐渐复杂化，进而完整地体现学科的进展。当 然，在历史学家看来，这种方式具有一定的形而上的特质。但不得不说，这种方式对于人们系统 的理解各种知识，并很好地掌握继续发展它的技能，是很有效的。实际上，我在过去很多年地教 学中，不自觉地就是采用这个方式来进行的。这里，冒昧地直接采用这个并不属于自己专业的名 词，特此说明一下。如有不妥，也请谅解！
讲完这两点，我们回到第三点，传统的课程导言，讲我们这门课的基本情况。我们按下面五句展开：1）群论课程性质与特点；2）教材情况与需要的基础知识；3）教学内容；4）什么是群论；5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支（人们在解一元多次方程的时候，发现其解蕴藏着一个数学结构，进而发展出一个代数的分支）。二十世纪初，随着EmmyNoether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915年的工作，发表于1918年，原始文献[1])、量子力学的发展、以及Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995,匈牙利人，后期加入美国籍）和HermannKlausHugoWeyl（外尔，1885-1955，德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨论）。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教育中必不可少的环节。这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以LinusCarlPauling（鲍林）为代表，M
iv 讲完这两点，我们回到第三点，传统的课程导言，讲我们这门课的基本情况。 我们按下面五句展开： 1）群论课程性质与特点； 2）教材情况与需要的基础知识； 3）教学内容； 4）什么是群论； 5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。 这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上 是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身 更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支（人们在解一元多次方程 的时候，发现其解蕴藏着一个数学结构，进而发展出一个代数的分支）。二十世 纪初，随着 Emmy Noether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系 统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915 年的工作，发表于 1918 年，原 始文献[1]）、量子力学的发展、以及 Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995， 匈牙利人，后期加入美国籍）和 Hermann Klaus Hugo Weyl（外尔，1885-1955， 德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐 认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使 用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨 论）。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作 前所受基础教育中必不可少的环节。 这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在 量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以 Linus Carl Pauling（鲍林）为代表
已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应，在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正地在分子设计的层面理解化学2，对称性的知识同样必不可少。因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学，就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有限群部分内容为主。2化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该也是LinusPauling教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这个地方。我想这个和唐有祺先生早期是Linus Pauling的博士应该有一定关系。此观点与化学学院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考
已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统 计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应， 在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能 级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的 作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性 决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正 地在分子设计的层面理解化学2，对称性的知识同样必不可少。 因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数 学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重 点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开 应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门 课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学， 就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌 握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这 些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对 称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别 是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、 物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有 限群部分内容为主。 2 化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该 也是 Linus Pauling 教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这 个地方。我想这个和唐有祺先生早期是 Linus Pauling 的博士应该有一定关系。此观点与化学学 院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考
不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内容）都是第一步。因此，我们这门课的前1/3部分本质上就是数学性质的讲解。就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，我们会讲到一些现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》，没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的，需要尊重!关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具体的、深入的讨论大家可以参考：1.韩其智、孙洪洲《群论》北京大学出版社2.王宏利《群论讲义》》（未出版，网上可以找到）3.徐婉棠、喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社4.M.S.Dresselhaus,G.Dresselhaus, A.Jorio,《Group Theory:Applications tothe Physics of CondensedMatter》.Springer5.Zhongqi Ma,《Group Theoryfor Physicists》,World Scientifi这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考：M
vi 不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这 些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内 容）都是第一步。因此，我们这门课的前 1/3 部分本质上就是数学性质的讲解。 就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论 应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这 门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！ 与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，我们会讲到 一些现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握 理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有 什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》， 没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的， 需要尊重！ 关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并 更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具 体的、深入的讨论大家可以参考： 1. 韩其智、孙洪洲 《群论》 北京大学出版社 2. 王宏利 《群论讲义》 （未出版，网上可以找到） 3. 徐婉棠、喀兴林 《群论及其在固体物理中的应用》 高等教育出版社 4. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, 《Group Theory: Applications to the Physics of Condensed Matter》. Springer 5. Zhongqi Ma, 《Group Theory for Physicists》, World Scientific 这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考：
6.马中骐《物理学中的群论》科学出版社（上面那本书的中文版）7.Anthony Zee,《Group Theory in a Nutshell for Physicists》, PrincetonUniversityPress.（徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼中的群论简言，inanutshell本意是：一言以蔽之，简约的）8.Wu-KiTung（董无极）《GroupTheory inPhysics》世图有影印版9.F.Albert Cotton,《Chemical Applications ofGroup Theory》,John Willey&Sons.Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善）10.陶瑞宝《物理学中的群论》高等教育出版社（这本书很全，包含了很多群论在物理中的应用，理论性也很强）科学出版社11.张端明、李小刚、何敏华《应用群论》12.俞文海科大出版社《晶体结构的对称群》其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。前言的第三部分是课程的内容。主体是七章：1）群的基础知识、2）群表示理论、3）点群和空间群、4)群论与量子力学、5）转动群、6)置换群、7）李群李代数初步。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的“语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是3）点群与空间群，4）群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、最有用的部分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相关的教科书（特别是Dresselhaus那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此
6. 马中骐 《物理学中的群论》 科学出版社（上面那本书的中文版） 7. Anthony Zee, 《Group Theory in a Nutshell for Physicists》, Princeton University Press. （徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼 中的群论简言，in a nutshell 本意是：一言以蔽之，简约的） 8. Wu-Ki Tung (董无极) 《Group Theory in Physics》世图有影印版 9．F. Albert Cotton, 《Chemical Applications of Group Theory》, John Willey & Sons. Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善） 10. 陶瑞宝 《物理学中的群论》 高等教育出版社（这本书很全，包含了 很多群论在物理中的应用，理论性也很强） 11. 张端明、李小刚、何敏华 《应用群论》 科学出版社 12. 俞文海 《晶体结构的对称群》 科大出版社 其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果 能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。 前言的第三部分是课程的内容。主体是七章：1) 群的基础知识、2) 群表示 理论、3) 点群和空间群、4) 群论与量子力学、5) 转动群、6) 置换群、7）李群 李代数初步。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的 “语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是 3) 点群 与空间群，4) 群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态 体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一 章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、 最有用的部分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相 关的教科书（特别是 Dresselhaus 那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此
部分内容有点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus本人就是一个最好的例子）。剩下的三章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。李群李代数初步，更是为下学期进行的准备。上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个叫暴等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对应的英语的词源是grouptheory中的group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更vii
viii 部分内容有点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用 群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus 本人就是一个最好的例 子）。 剩下的三章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多 现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是 有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群 论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基 本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一 种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、 在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这 些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论 二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。 李群李代数初步，更是为下学期进行的准备。 上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材 的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个 叫幂等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之 前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。 导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？ 要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对 应的英语的词源是 group theory 中的 group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个 字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一 个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更
代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的结构特征及其生成的规律的一门学科。根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理解一下刚才讲到的各章都是干什么的？1．群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律；2．群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性代数）；3．点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类具体的群；4.群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用；5.转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）；6．置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群)；7.李群李代数初步：有限群向李群的过渡。根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的
代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征 的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且 要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的 结构特征及其生成的规律的一门学科。 根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理 解一下刚才讲到的各章都是干什么的？ 1. 群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律； 2. 群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性 代数）； 3. 点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作 的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类 具体的群； 4. 群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用； 5. 转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 6. 置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 7. 李群李代数初步：有限群向李群的过渡。 根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及 其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一 般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们 对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数 理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很 大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的
问题有更深入的认识。就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拔。一拔是做得比较理论的老师。相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拔是做物质科学相关研究的，相应教材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者，此讲义只希望将《群论一》讲清楚。至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群论的历史以及在物理和化学中的应用。前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在19世纪发展起来的。在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是：1）几何学，从19世纪开始，有个德国数学家，叫AugustFerdinandMobius（莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和正常的环比起来就不再有A、B面了。这个概念在拓扑上比较有用；2）数论，这个是在18世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念；3）第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系。现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代X
x 问题有更深入的认识。 就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。 相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教 材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者， 此讲义只希望将《群论一》讲清楚。 至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于 好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现 在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群 论的历史以及在物理和化学中的应用。 前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在 19 世纪发展起来的。 在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是： 1) 几何学，从 19 世纪开始，有个德国数学家，叫 August Ferdinand Möbius （莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开 始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多 的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和 正常的环比起来就不再有 A、B 面了。这个概念在拓扑上比较有用； 2) 数论，这个是在 18 世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用 到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念； 3) 第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科 的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群 的概念，进而建立起了群论这个理论体系。 现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代