信号与系统 第六章
信号与系统 第六章
第6章离散信号与系统的变换域分析 61Z变换 62Z反变换 63Z变换的性质 64Z变换与拉氏变换的关系 65离散系统的Z域分析 66离散系统函数与系统特性 67离散信号与系统的频域分析 6.8数字滤波器的一般概念 习题6
第6章 离散信号与系统的变换域分析 6.1 Z变换 6.2 Z反变换 6.3 Z变换的性质 6.4 Z变换与拉氏变换的关系 6.5 离散系统的Z域分析 6.6 离散系统函数与系统特性 6.7 离散信号与系统的频域分析 6.8 数字滤波器的一般概念 习题6
第6章离散信号与系统的变换域分析 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析,它的分析过 程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已 经知道,连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行, 即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样,离散信号 与系统也存在类似的变换域分析,即离散时间傅里叶变换 和Z变换分析 本章首先讨论与拉普拉斯变换(LT相对应的Z变换(ZT 分析。利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方 程,从而使离散系统分析变得相当简便。然后,在此基础 上讨论与傅里叶变换(CTFT,简称FT相对应的离散时间 傅里叶变换(DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率 特性的概念
第6章 离散信号与系统的变换域分析 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过 程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已 经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行， 即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号 与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换 和Z变换分析。 本章首先讨论与拉普拉斯变换(LT)相对应的Z变换(ZT) 分析。利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方 程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础 上讨论与傅里叶变换(CTFT，简称FT)相对应的离散时间 傅里叶变换(DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率 特性的概念
61Z变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入,本节首先给出Z变换的 定义。 611Z变换的定义 离散信号(序列)∫(k)=(…,f(-1),f(O),f(1)…} 的Z变换可直接定义为 F(=)=…+f(-1)z+f(0)=+f(1)z ∑f(k)=k 6.1-1) 即是(z为复数)的一个幂级数。可以看出,的系数就是f(k) 的值。式(6.1-1)称为(k的Z变换式,为了方便,上式还常 简写为 f(k)<>F(z)
6.1 Z变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。 6.1.1 Z变换的定义 离散信号（序列） 的Z变换可直接定义为 （6.1-1） 即是（z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是f(k) 的值。式（6.1-1）称为f(k)的Z变换式，为了方便，上式还常 简写为 f (k) = , f (−1), f (0), f (1), F z f z f z f z f k z k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − + + + = − − =− 1 1 0 0 1 1 f (k) F(z)
离散信号的Z变换的定乂也可以由取样信号的拉氏变换引出 个连续信号∫ω)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号 f(),可表示为 f(1)=(1)∑(-k7)=∑f(k5(t-kT k= (6.1-2) 也就是说,取样信号/(1)可以表示为一系列在t=kT时刻出 现的强度为&kT)的冲激信号之和。其中为连续信号八()在 t=k时刻的值,是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为 F(s)=∑f(k7)e (6.1-3) k
离散信号的Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。 一个连续信号f(t)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号 fS (t)，可表示为 （6.1-2） 也就是说，取样信号fS (t)可以表示为一系列在t = kT 时刻出 现的强度为 (kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在 t = kT时刻的值，是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为 =− =− = − = − k k s f (t) f (t) (t k T) f (k T) (t k T) =− − = k ksT s F (s) f (k T)e （6.1-3）
取新的复变量z,令 ST 或S n z (6.1-4) 则式(6.1-3)就变成复变量z的表达式,即 Fs(S) ∑f(k)z=F(z)(615) s=-Inz k
取新的复变量 z，令 ，或 （6.1-4） 则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即 （6.1-5） z e sT = s T = z 1 ln F s f k z F z S s T z k k ( ) ( ) ( ) = ln =− − 1 = =
这就是离散信号或的Z变换表达式,可见,离散信号八k)的Z 变换是取样信号(1)的拉氏变换F(s)将变量代换为变量 ST 的结果。式(6.1-4)、(6.1-5)反映了连续时间系统与离散 时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号八k)为 因果序列,即k<0时,fk)=0,或者只考虑fk)的k≥0的 部分,则有 F(z)=∑f(k (6.1-6) 式中,k的取值是从0到∞,称为单边Z变换,称式(61-1)为双 边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换,F(s)称为(k)的 象函数;八(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因 果序列,在此,我们强调以后主要讨论单边Z变换。 612Z变换的收敛域 无论是按式(6.1-1)定义的双边Z变换,还是按式(6.1-6)
这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z 变换是取样信号fS (t)的拉氏变换FS (s)将变量s代换为变量 的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散 时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为 因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 的 部分，则有 （6.1-6） 式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双 边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的 象函数； f(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因 果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6） z e sT = k 0 F z f k z k k ( ) = ( ) = − 0
定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然,仅当该级数收 敛时,Z变换才有意义。例如因果序列 f(k)={ak≥0 0ka时,该无穷级数绝对收敛。 即级数收敛的充要条件为 ∑|f(k)z|<∞ (6.1-8) 根据等比级数的求和公式,式(61-7)才能以闭合式表示为 (z) I-az
定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收 敛时，Z变换才有意义。例如因果序列 a为正实数 的双边或单边Z变换为 （6.1-7） 显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。 即级数收敛的充要条件为 （6.1-8） 根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为 = 0 0 0 ( ) k a k f k k k k k k -k k k F( ) f (k) a (a ) 1 0 0 0 − = − = = Z = Z = Z = Z az z a - 1 1即 = − 0 ( ) k k f k z z a z az F z − = − = −1 1 1 ( )
上述例子中的取值z|>a称为F的收敛条件。在Z平面 (复平面)中,F(=)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域 ROC( Region of Convergence)。收敛条件|>a,在Z平面 中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域,半径a 称为收敛半径,如图6.1-2(a)中的阴影部分。可见,对于 单边Z变换,收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的 圆外区域,圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条 件比较简单,因而即使不注明收敛域也不会发生误会,故 般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换,情况要复 杂一些。例如 aXk≥0a,b为正实数 f(k)= bk<o 双边Z变换为 F(z)=∑az4+∑bxz=∑(ax")4+∑(bz) k=0 k
上述例子中z的取值z >a称为F(z)的收敛条件。在Z平面 （复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域 ROC（Region of Convergence）。收敛条件z >a ，在Z平面 中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a 称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。可见，对于 单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的 圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条 件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一 般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况要复 杂一些。例如 双边Z变换为 = 0 0 , ( ) b k a k a b f k k k 为正实数 k k k k k k F a b − − =− − = z = z + z 1 0 ( ) k k k k (a ) (b ) 1 1 1 0 z z = − − = = +
上式后一级数收敛条件已经讨论过,为z|>a,前一个级数 的收敛条件为b=b,则无收敛域,Z变 换也就不存在 值得注意的是,即便是同一个双边Z变换的表达式,其收敛 域不同,则可能对应于两个不同的序列 可见,双边Z变换式必须注明其收敛域,否则有可能无法确 定其对应的时间序列 由复变函数理论可知,Z变换的定义式是一罗朗级数,在收 敛域内是解析函数
上式后一级数收敛条件已经讨论过，为z >a ，前一个级数 的收敛条件为 ，即z b ，则无收敛域，Z变 换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛 域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确 定其对应的时间序列。 由复变函数理论可知，Z变换的定义式是一罗朗级数，在收 敛域内是解析函数。 b z 1 - 1