工程中的概率方法 课程笔记16.901 2003年春 大卫达尔莫法 1概率概念概述 本节的目的是为了快速地回顾概率论中的一些基本概念。 1.1结论和事件 我们认为试验或行为是可以多次重复进行的。每次重复进行的结果可 记为5.某事件A是满足一定条件结果的集合,一个基本事件仅包括一个 单一的结果。 例:看检査涡轮喷气发动机动叶片的情形。设涡轮喷气发动机中的动 叶片总数为N,每次检査结果的记录是因损坏而必须更换的叶片数量 于是,结果就是一个非负整数集合{0,1,2,N}.假如发动机被更换的叶 片数大于某值,比如5片,则预示该发动机可能发生了重大的损伤,需要 对其进行更为彻底的检查。在这种情况下,我们会关注更换叶片数量在{6 7,8,,N}中的事件。但这不是一个基本事件,因为它包含了多于一个结 果。当然,我们还会关注没有叶片更换的情况,而该事件仅包含一个单 的结果(即0),因此是一个基本事件 12概率的意义 给定某事件A,事件A的概率P{4}假定满足如下性质: P{4}≥0 仅当事件必然发生时,P{4}=1
工程中的概率方法 课程笔记 16．901 2003 年春 大卫.达尔莫法 1 概率概念概述 本节的目的是为了快速地回顾概率论中的一些基本概念。 1.1 结论和事件 我们认为试验或行为是可以多次重复进行的。每次重复进行的结果可 记为ζ. 某事件A 是满足一定条件结果的集合，一个基本事件仅包括一个 单一的结果。 例：看检查涡轮喷气发动机动叶片的情形。设涡轮喷气发动机中的动 叶片总数为N ，每次检查结果的记录是因损坏而必须更换的叶片数量， 于是，结果就是一个非负整数集合{0, 1, 2,...,N }. 假如发动机被更换的叶 片数大于某值，比如5片，则预示该发动机可能发生了重大的损伤，需要 对其进行更为彻底的检查。在这种情况下，我们会关注更换叶片数量在{6, 7, 8,...,N }中的事件。但这不是一个基本事件，因为它包含了多于一个结 果。当然，我们还会关注没有叶片更换的情况，而该事件仅包含一个单一 的结果(即 0)，因此是一个基本事件。 1.2 概率的意义 给定某事件A, 事件A的概率P {A}假定满足如下性质： z P {A}≥ 0. z 仅当事件必然发生时， P {A} = 1
给定两个互斥事件A和B,则P{A+B}=P{4+P{B} 13随机变量 概率论的效用在于描述随机变量的性质。用最简单的话来说,随机变 量可被定义为一个变量或参数,其值依赖于实际试验的不同结果。因此随 机变量是一个结果的函数。我们用粗体字母表示一个随机变量,如:x.我 们已经知道x的值依赖于实际发生的结果,即ⅹ=x(5) 例:我们接着看检查动叶片的例子。随机变量的一个非常简单的例子 是实际检査中更换的叶片数,此时,随机变量就是刚好就是结果本身!特 别有, N(5)=5 好了,让我们试试稍复杂些的。航空公司所关心的是检修发动机的费用 不含更换叶片的费用,航空公司仅因进行检查所需的人工工资是C1美元 (劳工费),更换一片叶片的费用是CB(包括新叶片和劳工费),而且, 如果更换的叶片数大于5,则由于必须进行更为彻底的检查,费用会急剧 上升。我们将这一费用增量表示为CD.既然检修的费用依赖于检査的结 果(而且结果是随机的),显然检修费用是一个随机变量。 特别有, 对于0≤2≤5 C()= C1+CB5+C,对于6≤≤N 14概率密度函数(PDF) 我们常关心参数为实数(即有无穷多个值)的概率。此时,概率密度
z 给定两个互斥事件A 和 B, 则 PA B PA PB { += + } { } { } . 1.3 随机变量 概率论的效用在于描述随机变量的性质。用最简单的话来说，随机变 量可被定义为一个变量或参数，其值依赖于实际试验的不同结果。因此随 机变量是一个结果的函数。我们用粗体字母表示一个随机变量，如：x. 我 们已经知道x的值依赖于实际发生的结果，即 x = x(ζ). 例：我们接着看检查动叶片的例子。随机变量的一个非常简单的例子 是实际检查中更换的叶片数，此时，随机变量就是刚好就是结果本身! 特 别有, N(ζ)= ζ. 好了，让我们试试稍复杂些的。航空公司所关心的是检修发动机的费用， 不含更换叶片的费用，航空公司仅因进行检查所需的人工工资是CI 美元 （劳工费），更换一片叶片的费用是CB（包括新叶片和劳工费），而且， 如果更换的叶片数大于5，则由于必须进行更为彻底的检查，费用会急剧 上升。我们将这一费用增量表示为 CD. 既然检修的费用依赖于检查的结 果（而且结果是随机的），显然检修费用是一个随机变量。 特别有, , 0 5 ( ) , 6 . I B IB D C C C CC C N ζ ζ ζ ζ ζ ⎧ + ≤ = ⎨ ⎩ + + ≤≤ 对于 ， 对于 ≤ 1.4 概率密度函数 (PDF) 我们常关心参数为实数（即有无穷多个值）的概率。此时，概率密度
函数可用来描述参数处在某区间的概率。特别,当给定随即变量ⅹ,使 a≤x≤b的概率为 P{≤xsb}=f(x), 其中f(x)就是x的分布密度函数(PDF) 一个常见的(而且可能是最简单的)分布是均匀分布。对于均匀分 布,我们假定其概率密度在某区域内是常数,在该区域外为零 对于a≤x≤b, 均匀分布:f(x)=b-a 0, 其它 其他的分布形式在19节中有介绍。 1.5期望值和平均值 给定PDF,随即变量的x的f(x),则x的期望值定义为 Ex xf(x)d x的期望值也被看作平均值,我们也用符号px表示。 16方差和标准差 x的方差定义为 σ:=」(x-k)(k 值σκ就是x的标准差。方差是ⅹ关于其平均值变化情况的一种测度,平均 值和方差之间一个经常用到的关系式是
函数可用来描述参数处在某区间的概率。特别，当给定随即变量 x，使 a ≤ x ≤ b 的概率为 { } ( ) b a P a x b f x dx ≤≤ = ∫ ， 其中f (x) 就是 x 的分布密度函数（PDF） 。 一个常见的（而且可能是最简单的）分布是均匀分布。对于均匀分 布，我们假定其概率密度在某区域内是常数，在该区域外为零。 均匀分布： 1 , ( ) 0, axb f x b a ⎧ ⎪ ≤ ≤ = ⎨ − ⎪ ⎩ 对于 其它。 其他的分布形式在1.9节中有介绍。 1.5 期望值和平均值 给定PDF, 随即变量的 x 的f (x)，则 x 的期望值定义为, E xf { }x ( +∞ −∞ ≡ ∫ x dx ) . x 的期望值也被看作平均值，我们也用符号 mx 表示。 1.6 方差和标准差 x 的方差定义为 2 2 ( ) () x x σ μ x f x dx +∞ −∞ ≡ − ∫ 值σx 就是x的标准差。方差是x关于其平均值变化情况的一种测度，平均 值和方差之间一个经常用到的关系式是
02=Ex 不妨试着证明一下! 17累积分布函数(CDF x的累积分布函数(CDF)定义为x≤x的概率。特别有, 由概率的基本假设条件,可以得出F(-∞)=0(即x变成无穷大的概率为零) 且F(+∞)=1(即x小于无穷大的概率为1)x的CDF和PDF有如下关 系 F(a=f(x)dx 于是,我们可以证明 F(b)-F(a)= f(x)dx 进一步,着隐含了 dx 18百分位数值 x的u百分位数值是满足下式的最小数xn P{x≤xn}=F(x)
{ } 2 2 x 2 σ x = E − μ x 不妨试着证明一下！ 1.7 累积分布函数(CDF) x的累积分布函数(CDF)定义为 x ≤x 的概率。特别有， F (x) ≡ P {x ≤ x } . 由概率的基本假设条件，可以得出F (-∞) = 0 (即x变成无穷大的概率为零) 且 F (+∞) = 1 (即x小于无穷大的概率为1). x 的 CDF 和 PDF 有如下关 系, () () a F a f x dx −∞ = ∫ 于是，我们可以证明, () () () b a F b F a f x dx − = ∫ 进一步，着隐含了 . dF f dx = 1.8 百分位数值 x 的 u百分位数值是满足下式的最小数 xu u = P {x ≤ xu} = F (xu)
注意,既然u是一个概率值,其区域为0≤u≤1 19常用分布类型 191正态分布 正态分布(或高斯分布)为 f(x) 我们用通用的记号x=N(;a)表示x是服从均值为,标准差为σ的正态分 布的随机变量。 19.2三角分布 这个分布常用于随即变量的最小值(xm),最似然值(xm)和最大值 (xma)可以估计出来,但实际的概率密度不清楚的情形。三角分布假设概 率密度在xm达最大值,密度线性地变化到在最小点xm和最似然点xmp的 处的零值。让我们推导这一情形的PDF
注意，既然u是一个概率值，其区域为 0 ≤ u ≤ 1. 1.9 常用分布类型 1.9.1 正态分布 正态分布（或高斯分布）为： ( )2 2 1 / 2 ( ) 2 x x x x fx e μ σ σ π − − = 我们用通用的记号 x N = (; ) μ σ 表示x是服从均值为m, 标准差为s的正态分 布的随机变量。 1.9.2 三角分布 这个分布常用于随即变量的最小值(xmin)，最似然值(xmpp)和最大值 (xmax)可以估计出来，但实际的概率密度不清楚的情形。三角分布假设概 率密度在xmax达最大值，密度线性地变化到在最小点xmin和最似然点xmpp的 处的零值。让我们推导这一情形的PDF