可靠性,极限状态和重要性抽样 概率分析的应用主要是确定事件发生的概率。通 常这个事件是个故障,因此,它与系统的可靠性有关 可靠性=R≡1-P{故障} 假设故障与下面的条件有关: 如果x满足:7(x)>m,则能推出x∈故障 这里x是输入的随机向量。不失一般性,我们可以构 造一个函数: g(x)=7(x)-7 则有:当g(x)0时,故障发生了。 假设我们有一个2维的输入系统,则输入数据在 对应平面上被分成安全和故障两个区域: 例:平面极限状态函数 故障 安全 g(x)=0 极限状态
可靠性，极限状态和重要性抽样 概率分析的应用主要是确定事件发生的概率。通 常这个事件是个故障，因此，它与系统的可靠性有关。 可靠性 = R ª 1− P{故障} 假设故障与下面的条件有关： 如果 x 满足：Tx T ( ) > limit ，则能推出x∈{故障}。 这里 x 是输入的随机向量。不失一般性，我们可以构 造一个函数： limit g() () x Tx T = − 则有：当 时，安全运行； g x() 0 假设我们有一个 2 维的输入系统，则输入数据在 对应平面上被分成安全和故障两个区域： 例：平面极限状态函数 故障 g(x) = 0 极限状态 安全
然而事情并不总是那么容易,故障区域往往具有非常 复杂的形状,例如下图所示: 例:更复杂的极限状态函数 故障 安全 当然,情况还可能更糟,会包括多个安全和(或)故 障区域,例如下图所示: 例:多重故障区域 故障 故障 安全
然而事情并不总是那么容易，故障区域往往具有非常 复杂的形状，例如下图所示： 例: 更复杂的极限状态函数 故障 安全 当然，情况还可能更糟, 会包括多个安全和（或）故 障区域，例如下图所示： 例: 多重故障区域 故障 故障 安全
蒙特卡罗可靠性分析 蒙特卡罗方法利用随机抽样和无偏概率估计来计 算故障发生的概率 P故障= 在这里:N是样本的总数 N故对应g(x)>0的样本数量 就像前面讨论的,如果故障发生的概率很低,这种方 法的效率就会很低,得不偿失。 重要性抽样 重要性抽样是在进行概率模拟时为减小估计结果 的方差而普遍采取的一种技巧。换句话说,如果重要 性抽样起作用,我们对确定的样本进行估计的不确定 性就会降低,或者说对于达到同样的不确定性,所需 要的样本数会减少。总之,重要性抽样是非常有用的, 在对小概率事件的有效估计中发挥着至关重要的作 用 我们先来看看它的工作原理,然后再应用它来估 计均值和可靠性 给定:x为输入的随机向量 f(x)为联合概率密度
蒙特卡罗可靠性分析 蒙特卡罗方法利用随机抽样和无偏概率估计来计 算故障发生的概率： N N P⎧ ⎫ ⎨ ⎬ = ⎩ ⎭ 故障 故障 在这里： 是样本的总数 N N故障 对应 的样本数量 g x() 0 > 就像前面讨论的，如果故障发生的概率很低，这种方 法的效率就会很低，得不偿失。 重要性抽样 重要性抽样是在进行概率模拟时为减小估计结果 的方差而普遍采取的一种技巧。换句话说，如果重要 性抽样起作用，我们对确定的样本进行估计的不确定 性就会降低，或者说对于达到同样的不确定性，所需 要的样本数会减少。总之，重要性抽样是非常有用的， 在对小概率事件的有效估计中发挥着至关重要的作 用。 我们先来看看它的工作原理，然后再应用它来估 计均值和可靠性。 给定：x 为输入的随机向量 f(x)为联合概率密度
υ(x)是我们感兴趣的模拟的输出 E(y(x)=「yx)f(x)x 简单的蒙特卡罗方法(亦即:随机抽样)给出 ∑y(x")≈E(y) 标准误差为: y 假如我们定义一个新的概率密度函数h(x),它需要满 足 ∫x)x=10≤x)≤1 把hx)带入∫yx)/(xk,得: y(x)f(x)dx= y(x) f(x) h(xyx h(x) 由于h(x)是一个有效的分布,则有: E(=E() 利用蒙特卡罗方法可以求出E(M) yxx)≈E(y)=E(y) h)Nah(x”) 其标准误差为:
y(x)是我们感兴趣的模拟的输出 all x E y x y x f x dx ( ( )) ( ) ( ) = ∫ 简单的蒙特卡罗方法（亦即：随机抽样）给出： 1 1 ( ) () N n n y y x E y N = = ≈ ∑ 标准误差为： 2 2 y y N σ σ = 假如我们定义一个新的概率密度函数 ，它需要满 足： h x( ) all x h x dx ( ) =1 ∫ 0 ( ≤ h x) ≤1 把 带入 h x( ) y() () x f x dx ∫ ，得： ( ) () () () () ( ) f x y x f x dx y x h x h x = dx ∫ ∫ 由于 是一个有效的分布，则有： h x( ) () ( ) yf h Ey E= 利用蒙特卡罗方法可以求出 ( ) yf h E 1 1 ( )( ) ( ) () ( N n n n n yf y x f x yf h N hx h E E y) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ≈ ⎝ ⎠ ∑ = 其标准误差为： 2 2 yf h yf h N σ σ =
所以,如果我们可以选择h(x)使得σx<,从而就能 降低对j估计的不确定性 我们怎样使σ减小呢?考虑下面对h的选择 h(x)=ay(x)f(x)其中,以≡1 y(x)f(x)dx 显然: =a<const 0→y是否准确? 很明显,我们的问题是:事先我们不知道y(x),也不 知道∫y(x)/(x),因为这正是我们首先要估计的量 但这给我们提供了一个寻找好的h(x)的方法,那就是 我们喜欢的 h(x)≈ay(x)f(x) 为什么这样选择?响应面! 回顾前面涡轮叶片的一维热传导问题,我们构造 了一个y(x)的线性响应面: y(x)=a2+∑ax 对20个随机样本进行拟合,因为∫(x)已知,且x服从 简单的均匀分布,我们可以求得:
所以，如果我们可以选择h(x)使得 yf y h σ <σ ，从而就能 降低对 y估计的不确定性。 我们怎样使 yf h σ 减小呢？考虑下面对 的选择： h hx yx f x () () () =α 其中， 1 y x f x dx () () α ≡ ∫ 显然： yf const h = ←α 0 yf h ⇒ = σ ⇒ y是否准确？ 很明显，我们的问题是：事先我们不知道 ，也不 知道 ，因为这正是我们首先要估计的量。 y x( ) y x f x dx () () ∫ 但这给我们提供了一个寻找好的 的方法，那就是 我们喜欢的 h x( ) hx yx f x () () () ≈ α 为什么这样选择？响应面！ 回顾前面涡轮叶片的一维热传导问题，我们构造 了一个 y( )x 的线性响应面： 8 0 1 ˆ( ) i i i yx a a x = = +∑ 对 20 个随机样本进行拟合，因为 f ( ) x 已知，且xi服从 简单的均匀分布，我们可以求得：
C ∫(x)f(x)E() →|h(x) y(x)f(x) E() 注意:x不再是独立分布的:h(x)=h(x1)h(x2)…饿(x) 所以我们需要设定一定的条件来产生样本,细节马上 就会谈到。 可靠性分析的重要性抽样 如果回到之前讨论的可靠性问题,我们注意到: P做故障}=「f(x)dk(我们只是在故障区域内积分 8(x)>0 我们还可以定义 P(故障)=「y(x)f(x)tx=E(y) 这里,y(x) 0,g(x)≤0 ,g(x)>0 现在我们就可以应用重要性抽样,我们欲使 h(x)≡ay(x)f(x) j(x)->0如果g(x)≤0 y(x)→>1如果g(x)>0 由于我们要用一些近似的模型来构造jx)(例如:7(x) 极限状态的响应面),所以最好不要使x)在逼近极限
1 1 ˆ() () ( )ˆ x y x f x dx E y α = = ∫ ˆ() () ( ) ( )ˆ yxf x h x E y ⇒ = 注意： 不再是独立分布的： i x 1 2 () ( )( ) ( ) hx hx hx hx = " d 所以我们需要设定一定的条件来产生样本，细节马上 就会谈到。 可靠性分析的重要性抽样 如果回到之前讨论的可靠性问题，我们注意到： { } ()0 ( ) g x P f x dx > = 故障 ∫ （我们只是在故障区域内积分） 我们还可以定义： all x P E ( )= y x f x dx () () = ( 故障 ∫ y) 0 这里， 0 () 1 () 0 ( ) g x g x y x ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > = ， ， 现在我们就可以应用重要性抽样，我们欲使 hx yx f x () () () ≡α ˆ y x ˆ() 0 → 如果 g x() 0 ≤ y x ˆ() 1 → 如果 g x() 0 > 由于我们要用一些近似的模型来构造 y x ˆ( )（例如：T x( ) 极限状态的响应面），所以最好不要使 在逼近极限 y x ˆ( )
处有急剧的下降 一维热传导的例子 假设只有两个随机变量输入T和ha,其他的6 个都保持不变 第一步 建立T-(x)的响应面Tm(x)=an+ax+a1x 第二步 构造一个平滑地逼近y(x)的函数(x),这儿有个 简单的选择 v(x)=iOu()-Tim+I 2 max mh lim 第三步 确定h(x) h(x)≡ay(x)f(x) a=e(= maxi mh 第四步 利用h(x)来实施有条件的蒙特卡罗方法,并得到 P(故障)=E( % y(enf(x
处有急剧的下降。 一维热传导的例子 假设只有两个随机变量输入Tgas和 ，其他的 6 个都保持不变： hgas 第一步 建立 的响应面 T x mh ( ) 0 11 2 ( ) ˆTmh x =+ + α α α x x2 第二步 构造一个平滑地逼近 的函数 ，这儿有个 简单的选择： y x( ) y x ˆ( ) lim lim ˆ 1 ( ) 1 2 max ˆ ˆ( ) mh mh T xT T T y x ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ + − ⎣ ⎦ = 第三步 确定h x( ) hx yx f x () () () ≡α ˆ lim lim ˆ 1 ( ) 1 2 max ˆ ( )ˆ mh mh T xT T T α E y ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ + − ⎣ ⎦ = = 第四步 利用 来实施有条件的蒙特卡罗方法，并得到： h x( ) 1 1 ( )( ) ( ) () ( ) N n n n n yf y x f x P E h hx N = 故障 = = ∑