响应面方法 第三部分:变换,失拟,和高阶响应面 变换 利用对所研究的工程问题的知识,系统地应用响 应面方法,可以显著地提高效率和精度,让我们通过 个例子来说明。 涡轮叶片寿命 我们已经对涡轮叶片应用过一维热传导模型,在 这部分内容中,我们将一直沿用这个模型 回忆8个随机输入变量: M TBC gas co0 到目前为止,我们只对一个输出结果感兴趣,即 较热的那一边的金属温度Tm 各种各样的例子表明在8个输入变量中,Tm的响 应变化恰是线性的。因为我们真正感兴趣的是叶片的 寿命,我们希望确定叶片寿命的响应面,而不是Tm 首先,我们需要一种估计叶片使用寿命的方法,经受 高温的涡轮叶片的典型的寿命曲线是: L=Le d ato-1)
响应面方法 第三部分：变换，失拟，和高阶响应面 变换 利用对所研究的工程问题的知识,系统地应用响 应面方法，可以显著地提高效率和精度，让我们通过 一个例子来说明。 涡轮叶片寿命 我们已经对涡轮叶片应用过一维热传导模型，在 这部分内容中，我们将一直沿用这个模型。 回忆 8 个随机输入变量： cool T Mk TBC k hgas Tgas ML TBC L cool h 到目前为止，我们只对一个输出结果感兴趣，即 较热的那一边的金属温度 。 Tmh 各种各样的例子表明在 8 个输入变量中， 的响 应变化恰是线性的。因为我们真正感兴趣的是叶片的 寿命，我们希望确定叶片寿命的响应面，而不是 。 首先，我们需要一种估计叶片使用寿命的方法，经受 高温的涡轮叶片的典型的寿命曲线是： Tmh Tmh 0 1 0 mh mh T c T L Le ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − =
这里,L是在已知温度m0下的使用寿命 c是常数 对于这个例子,我们已经研究过,假定 Lo=10,000小时 m0=835℃ C=25 则叶片寿命的图像可以从下图看出 15 0081082083084085086 870 Tmh(deg C) 现在,让我们来尝试构造一个使用寿命的线性响应面 模型,作为输入变量的函数: L=a+∑qx
这里， 是在已知温度 下的使用寿命 0 L mh0 T c是常数 对于这个例子，我们已经研究过，假定： 0 L =10,000小时 0 835 Tmh = ℃ c = 25 则叶片寿命的图像可以从下图看出： 现在，让我们来尝试构造一个使用寿命的线性响应面 模型，作为输入变量的函数： 8 0 1 ˆ i i i L a a = = +∑ x
我们用样本容量为20的样本来构造响应面,典型的结 果是: 对于N=20的样本,R2,≈0.75 显然,拟合结果并不令人满意,实际上,如果我们把N 增加到N=2000,我们发现: 对于N=2000的样本,R2≈0.2 所以,当我们增加抽样的数量时,线性模型的失拟使 得模拟结果比先前N较小时得到的结果更糟。但是, 我们可以利用对寿命函数的变换来消除这个不利的影 响。具体来说,对上式取对数很将很有益: logL=ao+∑a1x 这样做能达到预期目的的理由是: log L=log loe log l mhO 所以,logL显然是Tmh的线性函数。而且,因为mh是 对输入变量应用线性模型而得到的一个非常好的模拟 结果,所以logL也是一个好的模拟结果。进行对数变
我们用样本容量为 20 的样本来构造响应面，典型的结 果是： 对于N = 20的样本， 2 ˆ 0.75 L R ≈ 显然，拟合结果并不令人满意，实际上，如果我们把 增加到 ，我们发现： N N = 2000 对于 的样本， N = 2000 2 ˆ 0.2 L R ≈ 所以，当我们增加抽样的数量时，线性模型的失拟使 得模拟结果比先前 较小时得到的结果更糟。但是， 我们可以利用对寿命函数的变换来消除这个不利的影 响。具体来说，对上式取对数很将很有益： N 8 0 1 ˆ log i i i L a ax = = +∑ 这样做能达到预期目的的理由是： 0 0 0 0 1 log log log 1 mh mh mh mh T c T L L T L c T e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎛ ⎞ =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 所以，log L显然是 的线性函数。而且，因为 是 对输入变量应用线性模型而得到的一个非常好的模拟 结果，所以lo 也是一个好的模拟结果。进行对数变 mh T mh T g L
换后,模拟的结果是 对于所有的N,R2,≈0.99 log l 失拟的确定 当我们用R2来衡量拟合的优劣时,它自身也存在 些缺陷 1,当抽样数量和模型参数的数量大致相同时,R2的 值是令人满意的。潜台词就是对于N=N,,最 小二乘拟合是准确的,即: R 因为y”=y 下图显示了R2相对于Tm和使用寿命的性质
换后, 模拟的结果是： 对于所有的 ，N 2 ˆ log 0.99 L R ≈ 失拟的确定 当我们用 2 R 来衡量拟合的优劣时，它自身也存在 一些缺陷： 1， 当抽样数量和模型参数的数量大致相同时， 的 值是令人满意的。潜台词就是对于 2 R N N s = dof ，最 小二乘拟合是准确的，即： 2 2 1 2 1 ( ) ˆ 1 ( ) s s N n n N n n y y R y y = = − = = − ∑ ∑ 因为 ˆ n n y y = 下图显示了 2 R 相对于 和使用寿命的性质。 mh T
Comparison of 1st order fit R2 for Tmh and Life vs Sample size Tmh R2 value 08 07 r Lle R2 value 03 00 200 2,R2可能与你感兴趣的量没有直接关系,例如,如 果你想求P(Tmb>1000,这时,R2的值并不能直 接告诉你估计P(T>1000(得有多么准确 对于验证模型的一般观点 1,总是过剩取样,特别当事关重要的时候, 2,如果你采用过剩取样,且拟合效果不佳时,你总 是可以利用数据重新构造一个“高阶的”模型 3,尝试使用 关于高阶响应面的评论
2， 可能与你感兴趣的量没有直接关系，例如，如 果你想求 ，这时， 2 R ( 1000) P Tmh > 2 R 的值并不能直 接告诉你估计P T( 1000) mh > 得有多么准确。 对于验证模型的一般观点： 1， 总是过剩取样，特别当事关重要的时候。 2， 如果你采用过剩取样，且拟合效果不佳时，你总 是可以利用数据重新构造一个“高阶的”模型。 3， 尝试使用 关于高阶响应面的评论
对于构造高阶响应面,主要有以下两个问题: 1,抽样数量将显著增加:(所有双线性项都是2次 的) f(x)=a+>ax+22b Ndof =1+d+od(d+1) 此外,普通的实验设计也将更糟 2,高阶响应面容易产生振动
对于构造高阶响应面，主要有以下两个问题： 1， 抽样数量将显著增加：（所有双线性项都是 2 次 的）： 0 1 11 1 1 ( 1) 2 ˆ( ) dof d d j i i ij i j i ij d dd ax b xx N fx a = == =+ + + = + + ∑ ∑∑ 此外，普通的实验设计也将更糟。 2，高阶响应面容易产生振动