ax- Wendroff运算法则 另一种非常流行的引入传导问题数值稳定性的方法是通过Lax- Wendroff'离 散化的方法。这节课介绍如何推导这些算法。我们以一维传导问题开始 OT aT +v=0,v=v(x)(不是一个时间的函数) 接下来,我们来看T关于T"的2阶泰勒级数 Tn+T+△t 由控制方程,我们注意到: T aTa.aT、a2Ta atax aTa-T 向回代入泰勒级数得到: T”+=T"+△(-y) v2 下一步是离散化和9。我们用标准中心差分: aT 2△x △ T+=T-△ 重新排列上式使之看起来更像传导方程:
Lax-Wendroff 运算法则 另一种非常流行的引入传导问题数值稳定性的方法是通过 Lax-Wendroff 离 散化的方法。这节课介绍如何推导这些算法。我们以一维传导问题开始： 0 T T v t x ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，v vx = ( )（不是一个时间的函数） 接下来，我们来看 关于 的 T n+1 T n 2 阶泰勒级数： 2 1 2 2 1 n 2 n n n t t t t T T TTt t t t + = = ∂ ∂ ≅ +Δ + Δ ∂ ∂ 由控制方程，我们注意到： T T v t x ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 ( ) () ( ) T TT T v v v vv t t x tx x t x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − =− =− =− − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ T 2 2 2 2 2 T T v t x ∂ ∂ ⇒ = ∂ ∂ 向回代入泰勒级数得到： 2 1 2 2 1 () ( 2 nn n T T T T t v tv2 ) n x x + ∂ ∂ = +Δ − + Δ ∂ ∂ 下一步是离散化 T x ∂ ∂ 和 2 2 T x ∂ ∂ 。我们用标准中心差分： 1 1 2 n n n j j j T T T x x ∂ + − − = ∂ Δ 2 1 1 2 2 2 n n n j j j T T TT x x n ∂ + − + j− = ∂ Δ 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 n n n nn n n j j j jj jj j j T T T TT T T tv t v x x + + − − − + 1 ⇒ = −Δ + Δ Δ Δ + − 重新排列上式使之看起来更像传导方程：
2T"+T △tv 2△x △x 数值稳定性≈ ????缺了2-4页的内容。 波方程的傅立叶分析 在分析波方程的有限积分近似之前,让我们先来看一下波方程。我们将研究 傅立叶解在一个周期内的情况。特别地: OT aT at ax 假设周期长度为L:对任意的整数m T(x+mL,1)=7(x,1) 为什么要假设是周期的?因为这是最简单的分析,但是可以包括所需要的其 它的边界条件。 接下来,我们假设一个傅立叶级数解的形式,存在恰当的周期: (x1)=∑g()l kn=2xm/L←-满足周期条件 将此式代入波方程: dg .ge=0 乘以e并且从0到L积分 dg 但是, 0 ≠ 因此,gn(1)的控制方程组(常微分方程组)通过乘法和积分被分离变量了
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 n n nn n n j j jj j jj j j T tv x T T T T T TT v tv tx x + + − + ∂ ≈ Δ ∂ −− − + = Δ ΔΔ Δ 1 n + − 这是一个正的系数 数值稳定性 ？？？？缺了 2-4 页的内容。 波方程的傅立叶分析 在分析波方程的有限积分近似之前，让我们先来看一下波方程。我们将研究 傅立叶解在一个周期内的情况。特别地： 0 T T v t x ∂ ∂ + = ∂ ∂ 假设周期长度为 L：对任意的整数 m T x mL t T x t ( ,) ( + = , )， 为什么要假设是周期的？因为这是最简单的分析，但是可以包括所需要的其 它的边界条件。 接下来，我们假设一个傅立叶级数解的形式，存在恰当的周期： ( ,) () ˆ m ik x m m T xt g te +∞ =−∞ = ∑ 2 / mk mL ≡ ← π 满足周期条件 将此式代入波方程： ˆ ˆ 0 m ik x m m m m dg ivk g e dt ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∑ 乘以 并且从 j 0 到 L 积分： ik x e − 0 ˆ ˆ 0 j m L m ik x ik x m m m dg ivk g e e dx dt − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + = ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 但是， 0 0 j m L ik x ik x j m e e dx L j − m ⎧ ≠ = ⎨ ⎩ = ∫ 因此， 的控制方程组（常微分方程组）通过乘法和积分被分离变量了： ˆ ( ) m g t
dg m +ivkmgn =0 dt →gn(1)=8n(0),其中gn(0)由初始条件得到 (2) r(x0=∑8.0m(注意出现对7=x-7的依赖 因为每一个傅立叶波形都是独立的,我们可以并且以后也只需考虑一种最简单的 傅立叶波形 例如,我们假设 7(x,)=8n(0)e2,kn=2zm/L(没有了求和符号) 根据波方程的稳定性我们由(2)式可看出第m重波(即gn(t))的振幅是与时 间无关的常数 g(1)=8n(0)e →8m()1n(0 8(O →|8()=18mO) 所以,波方程的傅立叶波形振幅既不增加也不减少。 冯纽曼ⅴ on Newmann分析 Von newmann分析是关于上面的傅立叶分析的离散类推 偏微分方程组偏微分方程组的有限差 和傅立叶分析分和 Von newmann分析 我们以一个基本的有限差分算法开始(将用1阶逆风模型) T T-71 那么,假设一个周期函数 提升到次幂 Ax, k
ˆ ˆ 0 m m m dg ivk g dt + = ˆ ˆ ( ) (0) ivk t m m m gt g e ⇒ = − ，其中 由初始条件得到 gˆm (0) （2） ( ) ( , ) (0) ˆ m ik x vt m m T xt g e η x vt +∞ − − =−∞ ⇒ = ∑ (注意出现对 的依赖) = − 因为每一个傅立叶波形都是独立的，我们可以并且以后也只需考虑一种最简单的 傅立叶波形。 例如，我们假设 ( , ) (0) ˆ ik x m T xt g e = m ， 2 / mk m ≡ π L （没有了求和符号） 根据波方程的稳定性我们由（2）式可看出第 重波（即 ）的振幅是与时 间无关的常数： th m ˆ ( ) m g t ˆ ˆ ( ) (0) ivk t m m m gt g e− = ˆ ˆ ( ) (0) m ivk t m m gt g e ⇒ = − N 1 ˆ (0) ivk t m m g e− = = ˆ ˆ ( ) (0) m m ⇒ = gt g 所以，波方程的傅立叶波形振幅既不增加也不减少。 冯纽曼 Von Newmann 分析 Von Newmann 分析是关于上面的傅立叶分析的离散类推： Von Newmann ⇔ 偏微分方程组 偏微分方程组的有限差 和傅立叶分析 分和 分析 我们以一个基本的有限差分算法开始（将用 1 阶逆风模型）： 1 1 0 n n nn T T TT j j jj v t x + − − − + = Δ Δ ，v > 0 那么，假设一个周期函数： P ˆ n m j n n ik x Tg e j m = 提升到 次幂 ， j x = j x Δ ， 2 mk m L π =
代入有限差分控制方程: -e(-n) 提出因子gne得到: 由此得到其它的根,这些根是稳定性的关键 重排{}中的表达式得到: 对于长时间的稳定性(亦即对固定的A,Ax,n→∞时),我们要求|Bm1, 让我们检查一下这一点 1-2(1-cosk,Ax+isinkAx (1-cosk. Ax): vAt ink Ax) △t (1- cos k△x) 4x/Sn2k△x 1-2-(1-cos k Ar)+ )-c2) sin2k△ (1-cos k, Ar)+ 4r/(2-2 cork. 4△x △t 注意 *我们已经在CFL条件的要求中看到过这个结论
代入有限差分控制方程： 1 ( 1) ˆ ˆ ˆˆ 0 n n nn ik j x ik j x mm mm ik j x ik j x m m mm g e ge ge ge v t x + ΔΔ Δ − − = + Δ Δ − Δ 提出因子 得到： ˆ n ik j x m m g e Δ N ˆ 0 ˆ 1 1 ˆ 0 m m j m ik x n ik x m m g n g e g e v t x − Δ = ⎧ ⎫ − − ⎨ ⎬ + = ⎩ ⎭ Δ Δ 由此得 到 的 个根 由此得到其它的根，这些根是稳定性的关键 重排{ }中的表达式得到： ˆ 1 (1 ik x m m v t g e x Δ ) Δ =− − Δ 对于长时间的稳定性（亦即对固定的Δt ，Δx ，n → ∞时），我们要求 ˆ 1 m g ≤ ， 让我们检查一下这一点： 2 2 2 ˆ 1 (1 ) 1 (1 cos sin ik x m m m m v t g e x v t k xi k x x Δ Δ =− − Δ Δ = − − Δ+ Δ Δ ) 2 1 (1 cos ) sin m m v t v t kxi kx x x Δ Δ =− − Δ+ Δ Δ Δ ) 2 2 2 1 (1 cos ) sin m m v t v t k x k x x x ⎡ ⎤ Δ Δ ⎛ ⎞ =− − Δ + Δ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ Δ Δ⎝ ⎠ 2 2 2 2 1 2 (1 cos ) (1 cos ) sin m m v t v t v t k x k x k x xx x ΔΔ Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =− − Δ + − Δ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ ΔΔ Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m 2 1 2 (1 cos ) (2 2cos ) m m v t v t k x k x x x Δ Δ ⎛ ⎞ =− − Δ + − Δ ⎜ ⎟ Δ Δ⎝ ⎠ N 0 2 0 ˆ 1 1 2 (1 cos ) 1 m m g v t v t k x x x → ≥ ≤ Δ Δ ⎛ ⎞ =− − Δ − ⎜ ⎟ Δ Δ ⎝ ⎠ 因为 ， 所以这项为负 1 v t x Δ ⇒ ≤ Δ 注意： * 我们已经在 CFL 条件的要求中看到过这个结论
是一个特别的,非常重要的无量纲数(就象我们看到的那样) 它一般作为CFL数被提及 CFL数≡ △ 物理上,川M代表了波在单位时间内移动的距离。因此 CHL#=波移动的距离 单元长度 kAx也是一个非常重要的无量纲数。让我们展开它: k△x=2m k△x=2 L/m 这是模型中波的长度 回忆以前的傅立叶分析,m可以是-∞到+∞的任意整数。但对于离散问题,并 不一定是这样。特别地,由于网格的原因在高频段(即短波长)存在一定限制: 画出sin(Kmx)m>=0 ccomt L (L=8△×L) 频率混淆现象:m=4与m=0的波形混淆在一起!
* v t x Δ Δ 是一个特别的，非常重要的无量纲数（就象我们看到的那样） 它一般作为 CFL 数被提及： CFL v t x Δ ≡ Δ 数 物理上， v t Δ 代表了波在单位时间内移动的距离。因此， CFL # = 波移动的距离 单元长度 * k x mΔ 也是一个非常重要的无量纲数。让我们展开它： 2 m x kx m L π Δ Δ = N 2 / m x k x L m π Δ Δ = 这是模型中波的长度 回忆以前的傅立叶分析，m 可以是−∞ 到+∞ 的任意整数。但对于离散问题，并 不一定是这样。特别地，由于网格的原因在高频段（即短波长）存在一定限制： 频率混淆现象：m = 4 与m = 0的波形混淆在一起！
画出cos(Kmx),m>=0 M=O 对于余弦形式,在m≥5之前频率混淆没有出现。 总之,不发生频率混淆的最小的波形的波长为2Ax的长度 max(kAx)=2丌 -=2丌 =丌 (L/m) 因为kn可正可负,故取值范围为: 丌≤kAx≤x 既然kΔx在我们的分析中出现得如此频繁,我们用一个符号代替它: B=knAx并且||≤z 对于1阶逆风模型, 8(B,)=1--(1-e)
对于余弦形式，在 之前频率混淆没有出现。 m ≥ 5 总之，不发生频率混淆的最小的波形的波长为2Δx 的长度。 min max( ) 2 2 (/ ) 2 m x x k x Lm x π π π Δ Δ Δ= = = Δ 因为 可正可负，故取值范围为： mk m −π ≤ Δ≤ k x π 既然 在我们的分析中出现得如此频繁，我们用一个符号代替它： mk x Δ x m x β ≡ k x Δ ≤ 并且 β π 对于 1 阶逆风模型， ˆ( ) 1 (1 x i x v t g e x β β − ) Δ =− − Δ
