§3.2多元线性回归模型的估计 佔计目标:结构参数β及随机误差项的方差2 估计方法:OLS、ML或者MM 、普通最小二乘估计 二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例
§3.2 多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例
普通最小二乘估计 对于随机抽取的n组观测值(x,X,)21=12…n,1=01 如果样本函数的参数估计值已经得到,则有: B+B1X1+B2X21+…+BX n 根据最小二乘原理,参数估计值应该是下列方程组的解 Q=0 Q=0 oB 其中Q=∑e2=∑(-1) O=0 0B2 y (Y1-(B+B1X1+B2X2+…+BX) Q=0
一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n组观测值 Y X i n j k ( i , ji), =1,2, , , = 0,1,2, 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有： Yi X i X i ki X Ki ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = 0 + 1 1 + 2 2 ++ i=1,2…n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 = = = = 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 2 1 0 Q Q Q Q k 其中 2 1 1 2 ) ˆ ( = = = = − n i i i n i Q ei Y Y 2 1 0 1 1 2 2 )) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( = = − + + + + n i Yi X i X i k X ki
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组: ∑(B0+BX1+B2X2+…+BxA)=∑y ∑(B+BX1+B2X2+…+BX后)X1=∑X1 (B0+B1X1+B2 B4Xk)X21=∑YX Σ(B+B1X1+B2X2+…+BkXk)X=2Y1X 解该(k+1)个方程组成的线性代数方程组,即可得到 (k+1)个待估参数的估计值月,j=012…,k
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组： + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = i i k ki ki i ki i i i k ki i i i i i k ki i i i i i k ki i X X X X Y X X X X X Y X X X X X Y X X X X Y ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 , , , , , j j = 0 1 2 k
正规方程组的矩阵形式 ∑X∑X…∑xnX‖A_xnX12 ∑X∑XX1…∑X2人B (XX)B=XY 由于X3X满秩,故有 B=(XXXY
正规方程组的矩阵形式 = k k kn n n ki ki i ki k i i i ki i ki Y Y Y X X X X X X X X X X X X X X n X X 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ 即 (XX)β ˆ = XY 由于X’X满秩，故有 β= XX XY −1 ( ) ˆ
将上述过程用矩阵表示如下: 寻找一组参数估计值B,使得残差平方和 e'e=(Y-X B)(Y-XB) 最小 即求解方程组: Y-XBCY-XB=0 (Y'Y-BXY-YXB+BXX B (YY-2YXB+βXXB)=0 XY+XXB=0 得到 XY=XXB 于是:B=(XX)XY
将上述过程用矩阵表示如下： 即求解方程组： ( ˆ ) ( ˆ ) 0 ˆ Y − Xβ Y − Xβ = β ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) 0 ˆ − − + = Y Y βX Y Y Xβ βX Xβ β ( 2 ˆ ˆ ˆ ) 0 ˆ − + = Y Y Y Xβ βX Xβ β − XY + XXβ ˆ = 0 得到： β= XX XY −1 ( ) ˆ X Y X Xβ ˆ = 于是：
例3.2.1:在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中, 1X1 11X X 10 21500 (Xx)= XX X ∑ xX2)(215005365000 1 X H1 XY=/1 Y2_(∑ 15674 X1x….X小) ∑Xx(39468400 可求得 0.7226 0.0003 (XX) 0.00031.35E-07 于是 B=|)(07226 0.0003(15674 103.172 B2 000031.35E-0739648400/(0.7770
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中， = = = 21500 53650000 10 21500 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 2 i i i n n X X n X X X X X X X X X ' = = = 39468400 1 1 1 2 15674 1 1 2 i i i n n X Y Y Y Y Y X X X X Y 可求得 − − − = − 0.0003 1.35 07 0.7226 0.0003 ( ) 1 E X X 于是 − = − − − = = 0.7770 103.172 39648400 15674 0.0003 1.35 07 0.7226 0.0003 ˆ ˆ ˆ 2 1 E β
◇正规方程组的另一种写法 对于正规方程组 XY=XXB 将Y=XB+e代入得 XXB+Xe=XXB 于是 Xe=o 或 Xe.=0 (*)或(*)是多元线性回归模型正规方程组的另 种写法
⃟正规方程组 的另一种写法 对于正规方程组 X Y X Xβ ˆ = X Xβ ˆ X e X Xβ ˆ + = 于是 Xe = 0 或 = 0 i e = 0 i ji i X e (*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一 种写法 (*) (**)
◇样本回归函数的离差形式 y1=B1 X:+B,x lt 242i ∴∴ x1+e, k 其矩阵形式为 x6+e 其中 2 X 2n B 在离差形式下,参数的最小二乘估计结果为 B=(XxXY
⃟样本回归函数的离差形式 i i i k ki i y = x + x + + x + e ˆ ˆ ˆ 1 1 2 2 i=1,2…n 其矩阵形式为 y = xβ+ e ˆ 其中 ： = n y y y 2 1 y = n n kn k k x x x x x x x x x 1 2 12 22 2 11 21 1 x = k ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 β 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 β= xx xY −1 ( ) ˆ Y X k Xk ˆ ˆ ˆ 0 = − 1 1 −−
◇随机误差项的方差的无偏估计 可以证明,随机误差项的方差的无偏估计量为 ee k-1 k-1
⃟随机误差项的方差的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 1 1 ˆ 2 2 − − = − − = n k n k ei e e
二、最大或然估计 对于多元线性回归模型 Y= Bo+BX+B2x2it.+B,+u 易知 Y N(X; B,o Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 L(B.σ2)=P(Y1,Y2,…,Yn) 2(1-(B+B1X1+B2X21+…+BkKk) (2丌) B(YXB (27)2 即为变量Y的或然函数
*二、最大或然估计 对于多元线性回归模型 Yi X i X i + k X ki + i = + + + 0 1 1 2 2 易知 ~ ( , ) 2 Yi N Xi β Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 ) ˆ ) ( ˆ ( 2 1 )) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( 2 1 1 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 (2 ) 1 (2 ) 1 , ) ( , , , ) ˆ( Y Xβ Y Xβ β − − − − − + + + + = = = e e L P Y Y Y n Y X X X n n n i i i k k i n 即为变量Y的或然函数