分治法 北京大学信息科学技术学院 张铭 mzhang@db.pku.edu.cn http://db.pku.edu.cn/mzhanglds/shixil ttp://www.jpk.pku.edu.cn/pkujipk/courselsiiglshix i 2008.10.24
1 分治法 北京大学信息科学技术学院 张 铭 mzhang@db.pku.edu.cn http://db.pku.edu.cn/mzhang/ds/shixi/ http://www.jpk.pku.edu.cn/pkujpk/course/sjjg/shix i/ 2008.10.24
数据结构与算法实习 算法之四:分治法 北京大学信息科学技术学院 张铭、郝丹 zhang [at] net pku. edu. cn http://www.ipk.pku.edu.cn/pkujpk/coursel iglshixi 2011.8 张铭赵海燕王腾蛟宋国杰,《数据结构与 算法实验教程》(国家十一五规划教材) 高教社2011年1
数据结构与算法实习 ——算法之四：分治法 北京大学信息科学技术学院 张 铭、郝 丹 mzhang [at] net.pku.edu.cn http://www.jpk.pku.edu.cn/pkujpk/course/ sjjg/shixi/ 2011.8 张铭 赵海燕 王腾蛟 宋国杰，《数据结构与 算法实验教程》（国家十一五规划教材）， 高教社2011年1月
大纲 分治冶策略 、分治法示例 分检索 ≤求两个非降序列合并后的中位数 s统计逆序对 三、降低递归算法复杂性的途径 s代数变换减少子问题个数 预处理减少递归的操作 四、分治法的时间代价分析 五、各类算法比较
3 大纲 ❖ 一、分治策略 ❖ 二、分治法示例 二分检索 求两个非降序列合并后的中位数 统计逆序对 ❖ 三、降低递归算法复杂性的途径 代数变换减少子问题个数 预处理减少递归的操作 ❖ 四、分治法的时间代价分析 ❖ 五、各类算法比较
小问题求解 令任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间 都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求 解,解题所需的计算时间也越少。 例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任 何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。 n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问 题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较 大的问题,有时是相当困难的
4 小问题求解 ❖ 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间 都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求 解，解题所需的计算时间也越少。 ❖ 例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任 何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。 n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问 题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较 大的问题，有时是相当困难的
分治策略 对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易 地解决(比如说规模n较小)则直接解决。 否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些 子问题互相独立且与原问题形式相同,递归 地解这些子问题,然后将各子问题的解合并 得到原问题的解。 令这种算法设计策略叫做分治法
5 分治策略 ❖ 对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易 地解决（比如说规模n较小）则直接解决。 ❖ 否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些 子问题互相独立且与原问题形式相同，递归 地解这些子问题，然后将各子问题的解合并 得到原问题的解。 ❖ 这种算法设计策略叫做分治法
问题分解 比如,我们将问题划分为k个子问题,(1sk≤n) 对它们分别求解。如果这些子问题的规模仍然不够 小,那么再将他们划分为k个子问题。如此向下递 归,直到问题规模足够小为止。 T(n) n/2 n/2 T(n/4)T(m4)T(n/4))(T(n4)
6 问题分解 ❖ 比如，我们将问题划分为k个子问题，（1≤k ≤ n）， 对它们分别求解。如果这些子问题的规模仍然不够 小，那么再将他们划分为k个子问题。如此向下递 归，直到问题规模足够小为止。 n n/2 n/2 T（n/4） T（n/4） T（n/4） TT（n/4） T（n）
分治合并 令将求出的小规模问题的解合并为上一级更大规模的 问题的解。这样自底向上逐层合并最终可以得到原 问题的解。 T(n) n/2 n/2 T(n/4)T(m4)T(n/4)(T(m4)
7 分治合并 ❖ 将求出的小规模问题的解合并为上一级更大规模的 问题的解。这样自底向上逐层合并最终可以得到原 问题的解。 n n/2 n/2 T（n/4） T（n/4） T（n/4） TT（n/4） T（n）
算法思想 总而言之,分治法的设计思想就是:将一个 难以直接解决的大问题,分割成一些规模较 小的相同问题,以便各个击破,分而治之。 凡治众如治寡,分数是也。 《孙子兵法·势篇》
8 算法思想 ❖ 总而言之，分治法的设计思想就是：将一个 难以直接解决的大问题，分割成一些规模较 小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 ❖ 凡治众如治寡，分数是也。 ——《孙子兵法·势篇》
分治思想在生活中普遍存在 所谓分而治之 今社会分工 分工/干活/整合 令扑克牌分拣、助教整理考卷 分工/分拣/合一
9 分治思想在生活中普遍存在 所谓分而治之 ❖ 社会分工 分工 / 干活 / 整合 ❖ 扑克牌分拣、助教整理考卷 分工 / 分拣 / 合一
分治策略 1分割分割成p个子问题。子问题间相互独立(才能 分别求解)。 s应该把原问题分割成多少个子问题才合适?子问题规模 是否应该相同? s需具体问题具体分析。一般来讲,均匀获得较好效果 2求解如果子问题大于预定阈值m,则递归应用算 法求解,否则直接对子问题求解 般递归代价较大,故而有阈值m。m如何确定呢? ≤s县体问题具体分析。严格数学分析,做试验或根据经验 值 3合并 具体问题具体分析 10
10 分治策略 ❖ 1分割 分割成p个子问题。子问题间相互独立(才能 分别求解)。 应该把原问题分割成多少个子问题才合适？子问题规模 是否应该相同？ 需具体问题具体分析。一般来讲，均匀获得较好效果 ❖ 2求解 如果子问题大于预定阈值m，则递归应用算 法求解，否则直接对子问题求解 一般递归代价较大，故而有阈值m。m如何确定呢？ 具体问题具体分析。严格数学分析，做试验或根据经验 值等 ❖ 3合并 具体问题具体分析
