1.1多项式及整除性 定义1.1设Ω是一些数组成的集合,而且不只含一 个数,如果对于任意,它们的和、差、积、商(除数不为0)均含于Ω,则称Ω是一个数域 。 命题1.1每个数域都包含有理数域,即有理数域是最小的数域. QRC是三个最重要的数域,但数域并非仅此三种,如下面例子所示

2一元高次代数方程的基础知识 1.2.1高等代数基本定理及其等价命题 1.高等代数基本定理 设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果 f(x)=axn+a1x++an∈kx],(a≠0)则称n为f(x)的次数,记为 degf(x)。 定理(高等代数基本定理)C[x]的任一元素在C中必有零点。 命题设f(x)=axn+a1xn-++an(a≠0,n≥是上一个n次多项式, a是一个复数。则存在C上首项系数为a的n-1次多项式q(x),使得 f(x)=(x)(x-a)+ f(a) 证明对n作数学归纳法

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0 在C内有非零解向量 ( a:a 显然Aa=a=a'a'=a'a'a==a'aa=aa=aa=1从而 入|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根=e

Tavlor公式 多项式是一类很重要的函数,其明显特点是结构 简单,因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看,只须加、减、乘三种运算,连除法 都不需要,这是其它函数所不具备的优点。 用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实 用价值,而且更具有理论价值。一般的函数不好处理 先用较好处理的多项式近似替代,然后通过某种极限 手续再过渡到一般的函数

平余式定理 f(x除以x-c所得的余式等于f(c 证明因为x-c是一次多项式故由带余除法可知, 它除(x)所得的余式为常数r,而且,有q(x)∈ΩLx] 使得f(x)=(x-c)q(x)+r令x=c,即得,f(c)=r

1.5重因式 二定义5.1设p(x)是Q上的即约多项式,若有自然数k使 得p(x)f(x),但p(x)f(x),则称p(x)是f(x)的一个 重因式;1重因式称为单因式;当k>1时,k重因式统称 为重因式 显然既约多项式p(x)是f(x)的k重因式当且仅当 f(x)=p(x)g(x),且p(x)g(x)

一、两个多项式的最大公因式 定义1:f(x),g(x),h(x)∈F[x] 若h(x)g(x)hx)f(x) 则h(x)是f(x),g(x)的一个公因式。 例如h=x-1是f=x3-x,g=x3-x2-x+1 的一个公因式