反正弦函数 正弦函数y=sinx的反函数称为反正弦函数,记为 y=Arcsin.它是多值函数,定义域为[-1,1]. 正弦函数y=sinx在[,]上的

定理1 设函数f(x)和g(x)在点x连续,则函数 f(x)±g(x,f(x)g(x), f(x) (当g(x)≠0时) 在点x也连续. 证明f(x)±g(x)的连续性: 因为f(x)和g(x)在点x,连续,所以它们在点x有定义, 从而f(x)g(x)在点x也有定义,再由连续性定义和极限运 算法则,有

定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界 证明设数列{xn}收敛于a 根据数列极限的定义,Vε=1,3N∈N+,当n>N时,有

如果数列{xn}从某项起有xn≥0(或x0),且数列{xn}收 敛于a,那么a≥0(或as0)> 证明就x≥0情形证明 设数列{xn}从N项起,即当n>N时有xn≥0.现在用反 证法证明

定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a 证明设数列{xn}是数列{xn}的任一子数列. 因为数列{xn}收敛于a,所以ve>0,3nen+,当n>时, 有xn-ak. 取K=N,则当kK时,nK=N.于是xn-ak

如果在x的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且 f(x)→A(x→x),那么A≥0(或A≤0) 证明设在x的某一去心邻域内f(x)≥0. 假设上述论断不成立,即设A<0,那么由函数极限的 局部保号性就有x的某一去心邻域,在该邻域内f(x)<0,这 与f(x)≥0的假定矛盾.所以A≥0

定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)→A(x→x),那么f(x)在x的某一去心邻域内 有界. 证明因为f(x)→A(x→x),所以对于=1,3δ>0, 当0