研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种是在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而且要多么大就有多大我们分别将它们称为无穷小量 和无穷大量

讨论导数,即讨论lm4的极限是否存在,而不 △x→0△v 是研究改变量本身.实践中,我们关心的是:当 自变量x有微小改变量x时,函数y相应的改变量 y与Ax有何关系,大小又如何 先看一个实际例子:正方形的边长由x变到x+Ax 时,其面积改变多少?由S=x2知:

问题:由导数定义求函数导数,繁!下面推出导数的运算法则,利用简单函数的导数便可求出任何初等函数在其定义域内的导数

由第一章知:显函数y=f(x),也可写成F(x,y =y-f(x)=0.由方程F(x,y)=0确定的隐函数可能 有两种情形:y是x的函数y=f(x)或x是y的函 数x=(y);但并非所有隐函数都可化为一个显函 数.如y-esy+x2y2=0. 因而有必要研究隐函数的求导方法,下面通过几个例子来介绍

函数y=f(x)的导数f(x)仍x是的函数.若(x)在 点x处仍可导,则称∫(x)在x处的导数为函数y=f(x) 在x处的二阶导数记为

在第二章中我们已经知道,\0”型的极限可能 存在,也可能不存在 sInd 例:求1.lim 则原式极限存在 x→>0x 2:imx-2x+1=→则原式极限不存在 +1 通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算 的极限,为未定式的极限 下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限 的简便而有效的法则一罗必达法则

设函数y=f(x)在a,b)内图形如下图: y=f(x)/ 在:处的函数值()比它附近各点的函数值都要小 而在处的函数值()比它附近各点的函数值都要大; 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且 A将这样的点称为极小值点、极大值点

函数f(x)的单调性与极值是函数的重要性态如图: 曲线弧AB是单增的曲线但从A到C的曲线是向下弯 (或凸)的;从C到B的曲线是向上弯(或凹)的.显然,曲线 的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性 态是十分重要的.这就是下面讨论的凹性与拐点

单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要内容.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等

一、符号操作初步 二、符号对象的操作和转换 三、符号微积分 四、符号代数方程求解 五、符号微分方程求解