对于给定的n维线性空间V,A∈L(V),如何才能选到V的一个基使关于 这个基的矩阵具有尽可能简单的形式由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相 似的因而问题也可以这样提出在一切彼此相似的n阶矩阵中如何选出一个形 式尽可能简单的矩阵这一节介绍不变子空间的概念,来说明线性变换的矩阵的 化简与线性变换的内在联系

设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足a,BV,有 (Aa, B)=(a, B) 则称A是A的共轭变换.A为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭 转置. 共轭变换的五条性质: 1)E=E 2)(A)=A 3)(kA)*=kA 4)(A+B)=a+B 5)(AB)'=B'A' 如果A=A,则称A是一个厄米特变换

第六章6-4四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时 空空间 在R上规定一个特殊的度量f(a,B)=x1y1+x2y2+x3y3-x4y4(其中a=( x1,x2,x3,x4),B=(y1,y2,y3,y4),称为四维时空空间的度量 令 1000 0100 I= 0010 L000-1 在R内取定基

一、线性变换的特征值和特征向量的概念

北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.3）对称变换

一、线性变换的乘法 设A,B是线性空间V的两个线性变换,定义它们的乘积为 (AB)(a)=A,B(a))(a∈V) 则线性变换的乘积也是线性变换 线性变换的乘法适合结合律,即 (AB)C=(BC)

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0 在C内有非零解向量 ( a:a 显然Aa=a=a'a'=a'a'a==a'aa=aa=aa=1从而 入|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根=e

设E1,E2,…,E是线性空间V的一组基,在这组基下,V中每个向量都有确定 的坐标,而向量的坐标可以看成P元素,因此向量与它的坐标之间的对应实质 上就是V到P的一个映射.显然这个映射是单射与满射,换句话说,坐标给出了 线性空间V与P的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上

定义 9 设 1 2 V ,V 是线性空间 V 的子空间，如果和 V1+V2 中每个向量  的分 解式

定理 5 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的交 V1 V2 也是 V 的子空间