拉普拉斯变换 一、拉氏变换 1拉氏变换定义 若ft)为时间t的函数，且t←0时，ft)=0,t>0, f)逐段连续，则f)的拉氏变换定义为 F(s)=LLf】=ft)e"dt F(s)-象函数；ft)-原函数
拉普拉斯变换 一、拉氏变换 1 拉氏变换定义 若f(t)为时间t的函数，且t0， f(t)逐段连续，则f(t)的拉氏变换定义为 F(s)-象函数；f(t)-原函数 F s L f t f t e dt s t − = = 0 ( ) [ ( )] ( )
2典型时间函数的拉氏变换 (1)单位脉冲函数 0.t=0 o)=1 F(s)=L[δ(t]=C8te"d =δtedi=otdt=l
2 典型时间函数的拉氏变换 (1)单位脉冲函数 + − = = = . ( ) 1 0. 0 . 0 ( ) t dt t t t 且 ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 0 = = = = = + − − + − − t e dt t dt F s L t t e dt s t
(2)单位阶跃函数 o-0- F(s)=L[I(t】=D1(ed S
(2)单位阶跃函数 = = 1. 0 0. 0 ( ) 1( ) t t f t t s e s F s L t t e dt s t s t 1 | 1 ( ) [1( )] 1( ) 0 0 = = = = − − − −
(3)单位斜波函数 f(t)=R(t)=t●l(t).t≥0 F(s)=LIR(t】=tet 令u=t dv=e-st g e
(3)单位斜波函数 f (t) = R(t) = t •1(t).t 0 2 0 2 0 0 1 | ( ) [ ( )] s s e dt s e s e t F s L R t te dt s t s t s t u t d v e s t s t = − = − − = = − − = − = − − − − − = 令
(4)抛物线函数 f)= s=1
(4)抛物线函数 . 0 2 1 ( ) 2 f t = t t 3 2 1 ] 2 1 ( ) [ s F s = L t =
(⑤)指数函数 (t)-ear F(s)=LIf(]=e"e "di e od= s+a
(5)指数函数 at f t e − ( ) = s a e dt F s L f t e e dt a s t a t s t + = = = = − + − − − − 1 ( ) [ ( )] 0 ( ) 0
(6)正弦函数 f(t)=sino t F(s)=LIf(t]=sin te-"di s2+02 2
(6)正弦函数 f (t) = sin t 2 2 0 . . 0 ) 1 1 ( 2 1 2 . ( ) [ ( )] sin + = + + − = − = = = − − − − − s j s j s j e dt j e e F s L f t te dt s t j t j t s t
(7)余弦函数 f(t)=cosa t F(s)=Lfcos=
(7)余弦函数 f (t) = cos t 2 2 ( ) [cos ] + = = s s F s L t
二、拉氏变换的主要性质 1、s域平移定理：若)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s),则 L[e "f(t)]=F(s+a) 2、时域平移定理：若)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s),则 L[f(t+a)]=eaF(s)
二、拉氏变换的主要性质 1、s域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 2、时域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 L[e f (t)] F(s a) at = + − L[ f (t a)] e F(s) a s + =
3、时域微分定理：若()可拉氏变换，且有 L[f()]=F(s),则 4f]=sF(s)-f0) 429=-0)-产)-0） dt 0)-0
3、时域微分定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 − − − = − − − = − − − − − − − − = = = − − − − = − 1 0 1 ( 1) 0 (1) 1 2 (1) ( 1) | ( ) (0 ) | ( ) (0 ) ] ( ) (0 ) (0 ) . (0 ) ( ) [ ] ( ) (0 ) ( ) [ n t n n t n n n n n n dt d f t f dt df t f s F s s f s f f dt d f t L sF s f dt df t L