第三章时间响应分析 3.1时间响应及其组成 质量m弹簧k系统，在外力Fcoswt作用下， 其微分方程为m(t)+t)=F cos wt 其解为y(t)y1()+y2(t) 即通解+特解 y1(t)=Asinw t+Bcosw t y2(t)=Ycoswt 式中：ω为系统的无阻尼固有频率。 =k/m
第三章 时间响应分析 3.1 时间响应及其组成 质量m弹簧k系统，在外力Fcosωt作用下， 其微分方程为 其解为 y(t)=y1(t)+y2(t) 即 通解+特解 y1(t)=Asinωn t+Bcosωn t y2(t)=Ycosωt 式中： ωn为系统的无阻尼固有频率。 m y (t) + k y(t) = F cost n = k / m
将输入代入求得Y k1-2 元=010n F 1 完全解为 y(()=Asin o,+Bcos, cos wt 代入初始条件， 可求得A,B 0 2,B=y(0) F k1-2 自由响应 强迫相应 F 1 y(t)= (0) sin o,t+y(0)cos@,t cos@,t+ cos wt n k1-2 k1-2 零输入响应 零状态响应 零状态响应
将输入代入求得Y 完全解为 代入初始条件， 可求得A,B n k F Y / 1 1 2 = − = t k F y t A t B t n n cos 1 1 ( ) sin cos 2 − = + + 2 1 1 , (0) (0) − = = − k F B y y A n 零状态响应 自由响应 强迫相应 零输入响应 零状态响应 t k F t k F t y t y y t n n n n cos 1 1 cos 1 1 sin (0) cos (0) ( ) 2 2 − + − = + −
对于一般情况， 若齐次方程的特征根$各不相同，则 y0=24e i- y2(t)=B(t) y0=∑Ae+∑4，e y)=∑A,e+∑A,e+B n和s与系统的初始状态、输入无关， 只取决于系统的结构和参数，即系统的固有特性
对于一般情况， 若齐次方程的特征根si各不相同，则 n和si 与系统的初始状态、输入无关， 只取决于系统的结构和参数，即系统的固有特性。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 y t A e A e B t y t A e A e y t B t y t A e n i s t i n i s t i n i s t i n i s t i n i s t i i i i i i = + + = + = = = = = = =
若线性微分方程的输入函数有导数项，则 可将其作为新的输入，其输出即为原输出 的导数。 时间响应是指零状态响应，包括瞬态响应 和稳态相应。 瞬态响应：当Res0,则随着时间的增加， 自由响应逐渐衰减，当t→∞是自由响应趋 于零，此时所有的极点均位于[s]平面的左 半平面，系统稳定，自由响应称为瞬态响 应。反之，系统不稳定，自由响应就不是 瞬态响应。 ☐稳态相应：一般指强迫响应
若线性微分方程的输入函数有导数项，则 可将其作为新的输入，其输出即为原输出 的导数。 时间响应是指零状态响应，包括瞬态响应 和稳态相应。 瞬态响应：当Resi<0，则随着时间的增加， 自由响应逐渐衰减，当t→∞是自由响应趋 于零，此时所有的极点均位于[s]平面的左 半平面，系统稳定，自由响应称为瞬态响 应。反之，系统不稳定，自由响应就不是 瞬态响应。 稳态相应：一般指强迫响应
系统的三个基本要求—系统的稳定性、响应的快速 性、响应的准确性。 ■ReS0,自由响 应发散（不稳定），ReS≤0还是ReS<0决定了系 统是否稳定； 当系统稳定时，IReS的大小，决定了自由响应是 快还是慢衰减，决定系统的响应是快速还是慢速趋向 于稳态相应；而ms的情况在很大程度上决定了自由 响应的振荡情况，决定了系统的响应在规定时间内接 近稳态响应的情况，这影响着响应的准确性
系统的三个基本要求——系统的稳定性、响应的快速 性、响应的准确性。 Resi0，自由响 应发散（不稳定）， Resi<0还是Resi<0决定了系 统是否稳定； 当系统稳定时，| Resi |的大小，决定了自由响应是 快还是慢衰减，决定系统的响应是快速还是慢速趋向 于稳态相应；而Imsi的情况在很大程度上决定了自由 响应的振荡情况，决定了系统的响应在规定时间内接 近稳态响应的情况，这影响着响应的准确性
3.2典型输入信号 ■单位脉冲函数 ■单位阶跃函数 ■单位斜坡函数 ■单位抛物线函数 正弦函数 随机函数
3.2 典型输入信号 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位抛物线函数 正弦函数 随机函数
典型输入信号 (t) (t) (t) h<0.1T (a) (b (c) (t) () (d)
典型输入信号 h<0.1T
3.3一系统 Xo(s) G(S)= Xi(s) Ts+1 ■T称为一阶系统的时间常数，它与外 界无关，是一阶系统的固有特性
3.3 一阶系统 T称为一阶系统的时间常数，它与外 界无关，是一阶系统的固有特性。 1 1 ( ) ( ) ( ) + = = Xi s Ts Xo s G s
、一阶系统的单位脉冲响应 当系统的输入信号x(①)是理想的单位脉冲函数δ（①）时，系 统的输出xo()称为单位脉冲响应函数w①)。 W(s)=Xo(s)=G(s)X;(s) X,(s)=L[δ(t)]=1 W(s)=G(s) )LC w(t)= -/T e
一 、一阶系统的单位脉冲响应 当系统的输入信号xi (t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系 统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。 t T i i e T w t Ts w t L G s L W s G s X s L t W s X o s G s X s / 1 1 1 ( ) ] 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + = = = = = = = t T i i e T w t Ts w t L G s L W s G s X s L t W s X o s G s X s / 1 1 1 ( ) ] 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + = = = = = = = t T i i e T w t Ts w t L G s L W s G s X s L t W s X o s G s X s / 1 1 1 ( ) ] 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + = = = = = = = t T i i e T w t Ts w t L G s L W s G s X s L t W s X o s G s X s / 1 1 1 ( ) ] 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + = = = = = = = t T i i e T w t Ts w t L G s L W s G s X s L t W s X o s G s X s / 1 1 1 ( ) ] 1 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + = = = = = = =
表3.3.1 () w(t) (t) 一市 斜率寻 T 0.368 1 -0.368元 1 0.368 w()=Te- 27 0.1357 -0.135是 2T 37 4T 0.0187 -0.018六 图3.3.1一阶系统单位脉冲响应 0 一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲 线。如果将曲线衰减到初值得2%之前的过程定义为过 渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。 一阶系统惯性大，过渡过程时间长
一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲 线。如果将曲线衰减到初值得2%之前的过程定义为过 渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。 一阶系统惯性大，过渡过程时间长