沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第3章 多维随机变量及其分布 3.5 随机变量的独立性

删除标识福昕编辑器83.5随机变量的独立性H一、二维随机变量的相互独立性二、小结富PDF编辑器福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器

一、二维随机变量的相互独立性 二、小结 §3.5 随机变量的独立性 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入随机事件的相互独立：若 P(A)>0,P(B)>0,有 P(AB)= P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。记 A=(X≤x),B=(Y≤y),P(AB)=P(A)P(B)X与Y是相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的随机变量X与Y相互独立F(x, y)= F(x)F,(y)f(x,y)= fx(x)fr(y)P(X = x,Y = y,} = P(X =x,}P(Y = y,)

*复习引入 随机事件的相互独立: 若 P A P B ( ) 0, ( ) 0   ，有 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ， 则称事件 A与 B 相互独立． 记 A X x B Y y =  =  { }, { }， P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ， X 与Y 是相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的． 随机变量 X 与Y 相互独立 ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = x y ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = { , } { } { } P X x Y y P X x P Y y = = = = = i j i j

随机变量的相互独立性1.定义P75-定义1设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,J有P(X≤x,Y≤y)= P(X≤x)P(Y≤y),即F(x, y) = Fx(x)Fy(y),则称随机变量X和Y是相互独立的沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y =   =   一、随机变量的相互独立性 1.定义 P75-定义1

2.结论P73-定理1(1)若离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y= y,}= Pu, i, j =1,2,...X和Y相互独立P(X = x,Y = y; = P(X = x;}P(Y = yj)即 Pi; = Pi.·Poj°沈阳师范大学ShenYangNomal Unsivent

 { , } { } { } , i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和 Y 相互独立 2.结论 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j =1,2,  . i j i j . pij pi• p• j 即 =  P73-定理1

例1 设(X,Y)的联合分布列如下,试判断X与是否相互独立解YPi. = P(X = x;)3T2X0.61.030.250.330.390.120.070.2P., = P(Y = y,)10.15 0.320.53沈阳师范大学ShenfangNomal Univet

X Y 1 2 3 0.03 1 0 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 解 0.61 0.39 0.15 1 0.53 0.25 0.33 0.12 0.07 0.2 0.32 例1 设(X,Y)的联合分布列如下,试判断X与Y 是否相互独立

解YPi. = P(X = x)231X0.61.030.250.330.390.120.07 0.2P., = P(Y = y)10.15 0.320.53由于 P[X = 0,Y =1) = Pu = 0.03, 而 P[X = 0) = 0.61,P[Y =1)= 0.15P[X =0}·P[Y =1)+ P[X = 0,Y =1)所以X 与Y 不独立沈阳师范大学ShenYangNomal Univen

由于   11 P X Y p = = = = 0, 1 0.03，而 P X P Y  = = = = 0 0.61, 1 0.15    P X P Y P X Y  =  =  = = 0 1 0, 1      X Y 1 2 3 0.03 1 0 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 解 0.61 0.39 0.15 1 0.53 0.25 0.33 0.12 0.07 0.2 0.32 所以 X 与Y 不独立

设置单选题2.5分设二维离散型随机变量（X，Y的联合分布律为3XY211/81/241a1/82b1/ 4若随机变量X与Y相互独立，则（）.A) α=1/8,b=1/3B) α=1/3,b=1/8c) α= 3/8 ,b=1/12α=1/12,b = 3/8D)提交DB沈阳师范大学ShenYangNomal Univent

A B C D 提交 单选题 2.5分

单选题SO3设置1分设随机变量X和Y相互独立，其概率分布律相应为00YX111/21/21/21/2PP则P(X =Y)= ( ).10A)B)D)23提交C

A B C D 提交 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布律相应为 X 0 1 Y 0 1 P 1 2 1 2 P 1 2 1 2 则 P X Y ( ) = =（ ）． A) 0 B) 1 C) 1 2 D) 1 3 单选题 1分

(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有X和Y相互独立 台 f(x,y)= fx(x)fy(y).沈阳师范大学ShentangNiomal Univesth

 f ( x , y ) f ( x ) f ( y ) . X Y X 和 Y 相互独立 = 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y

P74-例2例2设随机变量X和Y具有联合概率密度[8xy,0≤x≤y≤1,f(x,y) =[o，其他ty判断X与Y是否相互独立y=x(1,1)4x(1 -x2)0≤x≤1,解fx(x)=0,其他4y3,0≤y≤1,ofxfr(y)=0，其他由 f(x,y)≠fx(x)f,(y)得,X与Y不相互独立沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

. 0, . 8 , 0 1, ( , ) 判断 与 是否相互独立 其他 设随机变量 和 具有联合概率密度 X Y xy x y f x y X Y       = 解 例2 P74-例2 ( )    −   = 0, . 4 1 , 0 1, ( ) 2 其他 x x x f x X      = 0, . 4 , 0 1, ( ) 3 其他 y y f y Y 由 f (x, y) f (x) f ( y)得, X与Y不相互独立.  X Y y = x O x y (1,1)