沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第6章 数理统计的基本概念 6.3.1 统计量及其分布

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§6.3-1 统计量及其分布 一、统计量分布 二、三大统计分布 三、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*知识框架12X-12x,1.样本均值：观测值：x=xni=lni=l1统计量g(X,X,X)1观测值：5272.样本方差：S2E(X,-X).(Xn-1n-1台-S称为样本标准差三大分布：nS2S2=S(X -X)?=未修正的样本方差：n-11.x分布n台独立的标准正态12Xk.k=1,2,...3.样本k阶原点矩A,=X= X?+X?+...+X?n台2. t分布α=对,k=1,2...观测值：X ~ N(0,1), Y~ x(n)nXT -B,=↓之(X,-X), k=1,...JyIn4.样本k阶中心矩ni=l3.F分布b -↓之(x-), k=1,..X与Y相互独立观测值：n=lX~x(m), Y~x(n)X/m5.顺序统计量Xa) =min(Xi,X2,, X),F=YInX() = max (X,X2,., X,)

*知识框架 统计量 1 2 ( , , , ) n g X X X 不含有任何未知参数 1.样本均值: 1 1 n i i X X n = =  观测值: 1 1 n i i x x n = =  2.样本方差: 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − −  . 观测值: 2 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − −  S 称为样本标准差. 未修正的样本方差： 2 2 1 1 ( ) n n i i S X X n = = −  2 2 1 n n S S n = − 3.样本k 阶原点矩: 1 1 , 1,2, . n k k i i A X k n = = =  观测值: 1 1 , 1,2, n k k i i a x k n = = =  4.样本k 阶中心矩: 1 1 ( ) , 1,2, n k k i i B X X k n = = − =  观测值: 1 1 ( ) , 1,2, n k k i i b x x k n = = − =  5.顺序统计量: X X X X (1) 1 2 = min , , ,  n , X X X X ( ) 1 2 n n = max , , ,   . 三大分布： 1. 2  分布 独立的标准正态 2 2 2 X X X X = + + + 1 2 n 2. t 分布 2 X N Y n ~ (0,1) , ~ ( )  / X T Y n = 3. F 分布 X 与Y 相互独立 2 2 X m Y n ~ ( ) , ~ ( )   / / X m F Y n =

一、统计量1.统计量的定义设X,X,,X,是来自总体X的一个样本g(X,X2,,X,)是X,X,,X,的函数,若g中不含未知参数，则称g(Xi,X2,,X,)是一个统计量.设x,X2,…,x,是相应于样本X,X2,,X的样本值,则称g(xi,X2,"",xn)是g(X1,X2,",Xn)的观察值，统计量是样本的函数，也具有二重性（随机、独立）。沈阳师范大学ShenfangNomal Unive

1. 统计量的定义 . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计 量 不含未知参数 则 称 是一个统 是 的函数 若 中 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X     . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 的观察值 的样本值 则称 是 设 是相应于样本 n n n n g x x x g X X X x x x X X X     一、统计量 统计量是样本的函数，也具有二重性 （随机、独立）

实例1设X,X,,X,是来自总体 N(μ,α)的样本,其中μ为已知,α2为未知,判断下列各式哪些是统计量，哪些不是？T = Xi,T, = X, + X2e*是=(X + X, + X),3T = Xi+X2-2uT4 = max(X1,X2,X3),T, = (X°+ X?+X3)不是沈阳师范大学ShentangNomal Univesth

, ? , , , , , ( , ) 2 2 1 2 3 些是统计量 哪些不是 样本 其中 为已知 为未知 判断下列各式哪 设 是来自总体 的一个   X X X N   , T1 = X1 , 3 2 1 2 X T = X + X e ( ), 3 1 T3 = X1 + X2 + X3 max( , , ), T4 = X1 X2 X3 2 , T5 = X1 + X2 −  ( ). 1 2 3 2 2 2 T6 2 X1 + X + X  = 是 不是 实例1

练习l：～N(μ,2），μ,2是未知参数,(Xi,X2,",X,) 是一样本，X,～ N(u,α2)X,s"-之(x-x)是统计量?n i=l答：是统计量Z(X,-μ)是统计量？答：不是统计量ai-1若μ，已知,则为统计量沈阳师范大学ShenYangNiomal Unsi

练习1： 是未知参数, 2 2 X ~ N ( , ) ,  , 若  , 已知,则为统计量 ( , , , ) 是一样本, X 1 X 2  X n ( ) 2 2 1 1 1 1 , 1 n n i i i i X X S X X n n = = = = − −   是统计量? ~ ( , ) 2 X i N   则 ( ) = − n i Xi 1 2 2 1   是统计量? 答：是统计量 答：不是统计量

练习2设总体X～N(μ,α2),其中μ已知，2未知。Xi,X2,X,是来自总体X的样本.则下列样本函数中哪些是统计量：min (X,X3} + 2α2,X? +3X2 - X,X,+μ,X-μ(n-1)s2Z(),2200i-1沈阳师范大学ShenYangNoemal Uni

练习2 设总体 2 X N( , )   ,其中  已知， 2  未知. 1 2 3 X X X , , 是来自总体 X 的样本.则下列样本函数中哪些是统计量: 2 1 2 3 X X X + − 3 , X2 +  ,   2 min , 2 X X 1 3 +  , 2 1 ( ) n i i X =   , 2 X −  , 2 2 ( 1) n S  −

2.几个常用统计量的定义设X,X,,,X,是来自总体的一个样本Xi,x2,,xn是这一样本的观察值.X=12(1)样本均值X;ni=l之其观察值x=xni=1(2)样本方差nZx?52Z(X, -X)*nx-n-ln-1i=1i-1沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

2. 几个常用统计量的定义 , , , . , , , , 1 2 1 2 是这一样本的观察值 设 是来自总体的一个样本 n n x x x X X X   (1)样本均值 ; 1 1 = = n i Xi n X (2)样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2       − − = = n i Xi nX n . 1 1 = = n i i x n 其观察值 x

S2Zx? -nx?例2 证明证明S*=,-Z(X,-X)Z(x? -2XX, +X2) nXn-i=l1Y7Z.X2ZX,+ZX?-2Xn-i-1i=1i-1nZx? -2nX? +nX?n-i=12x? -n?n-l-1沈阳师范大学ShenfangNomal Univeth

例2 证明 2 S . 1 1 1 2 2       − − = = n i Xi nX n 证明 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 ( ) = − + − = n i Xi XXi X n 1 2 2 2 1 1       − + − =    = = = n i n i i n i Xi X X X n 1 2 1 1 2 2 1 1       − + − = = 2 2 1 2 2 1 1 X nX nX n n i i . 1 1 1 2 2       − − = = n i Xi nX n nX

其观察值nZt?Z(x; -x)= nx?n一i=1(3)未修正的样本方差=↓(X,-X) --X,-X2;SnnVi=11其观察值Z(x-x) =→).x2x?Vnni1i=1沈阳师范大学ShentangNomal Universt

其观察值 = − − = n i xi x n s 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2       − − = = n i i x nx n (3)未修正的样本方差 ( ) 2 2 2 1 1 1 1 - - ; n n n i i i i S X X X X n n = = = =   其观察值 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 - - . n n n i i i i s x x x x n n = = = =  

-1x ,k=1, 2,样本k阶原点矩Ak4)n11Z其观察值x, , k =1, 2,..ak三ni=1(5样本k阶中心矩2(X, -X)*, =2,3,; Bk =1ni1Z(x - x), k = 2, 3, .b其观察值ni=l上述的统计量成为样本的矩统计量，简称样本矩沈阳师范大学ShenYangNomal Univen

(4) 样本 k 阶原点矩 , 1, 2, ; 1 1 =  =  = X k n A n i k k i 其观察值 1 1 , 1, 2, . n k k i i a x k n = = =  (5)样本 k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1 =  − =  = X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1 =  − =  = x x k n b n i k k i 上述的统计量成为样本的矩统计量，简称样本矩