沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.4 函数的极限

1.4函数的极限函数极限的定义(4)(1)x↓8x→xo(5)(2)x→+8x →xo(3)(6)x→Xox↓182函数极限的性质

1.4 函数的极限 1 函数极限的定义 2 函数极限的性质 0 (1) x  x   0 (2) x x   0 (3) x x (4) x   (5) x   (6) x  

复习引入数列极限的描述性定义limx，=a当n无限增大时，数列x，的一般项x，无限接近于常数a则常数a称为数列x的极限，或称数列x收敛于a定义数列极限的"-N"V>0,3NeN+,当n>N时,恒有Ix,-a<8.则 limx,=a·a数列(x，=f(n))可看成自变量为n的函数，定义域为N+数列x，的极限为a即当n→o时，对应函数值f(n)无限接近于确定的数。函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限

当n无限增大时, 数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛于a. 数列极限的 "  N " 定义  0, NN , 当nN时, 恒有|xna| . 则 lim n n x a   复习引入 数列极限的描述性定义 lim n n x a   数列{xn = f (n)}可看成自变量为n的函数,定义域为N+. 数列xn的极限为a即当n→∞时，对应函数值f (n)无 限接近于确定的数a 。 函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对 应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确 定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。 >>>

知识拓展收敛数列的性质1.下列叙述正确的是（）.A.有界数列必收敛B.收敛数列必有界C.发散数列必无界D.单调数列必收敛

知识拓展 收敛数列的性质

复习引入自变量趋于有限值或无穷大自变量的变化趋势1.既包括左侧趋近，也包括右侧趋近x→xo2右侧趋近x-→xot3.左侧趋近x-xox的绝对值趋于无穷大x-005.x→ +0沿x轴正向趋于无穷大6.x--00沿X轴负向趋于无穷大

自 变 量 的 变 化 趋 势 自变量趋于有限值或无穷大 1. x→ x0 既包括左侧趋近，也包括右侧趋近 2. x→ x0 + 右侧趋近 3. x→ x0 - 左侧趋近 4. x→∞ x的绝对值趋于无穷大 5. x→ +∞ 沿x轴正向趋于无穷大 6. x→ -∞ 沿x轴负向趋于无穷大 复习引入

1函数极限的定义1）x→时函数极限的定义例1考察y=1+=当×→0时的变化趋势x如图可知，当风无限增十大时，f(x)无限接近于1,即x→8时,f(x)一1。0x

1）x→∞时函数极限的定义 . 1 考察  1 当 x   时的变化趋势 x y x y 1  1 y O x 1 如图可知，当|x|无限增 大时， f(x)无限接近于1, 即x→∞时, f(x)→1。 1 函数极限的定义 例1

1函数极限的定义1）x一→80时函数极限的定义问题1：J=f(x)在x 一→0o的过程中,对应函数值f(x)无限接近于确定值A。问题2：如何用数学语言刻划函数“无限接近”(x)-AX表示x→8的过程

f (x)  A   表示 f (x)  A任意小; x  X 表示x  的过程. 问题1：y=f(x)在x →∞的过程中, 对应函数值f(x)无 限接近于确定值A。 问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1）x→∞时函数极限的定义 1 函数极限的定义

自变量趋于无穷大时函数的极限如果当lxl无限增大时，f(x)无限接近于某一常数A，则常数A叫做函数(x)当x→>时的极限,记为lim f(x)=A.x·精确定义lim f(x)=AV>0, 3X>0, 当|x>X时, 有I(x)-A0:A+3X>0:当|x>X时,有|f(x)-A<:A-810X-Xx

x lim f(x)A. 如果当|x|无限增大时, f(x)无限接近于某一常数A, 则 常数A叫做函数f(x)当x时的极限, 记为 自变量趋于无穷大时函数的极限  0, X0, 当|x|X时, 有|f(x)A| . x lim f(x)A. •精确定义 v极限的定义的几何意义  0: X0: 当|x|>X时, 有|f(x)A|<:

函数极限的定义lim f(x)=A ε>0,3X>0,当 x>X 时,有x→+0f(x)-A|0,3X>0,当x-f(x)-A<

f x A x   lim ( )   0,  X  0, 当 x  X 时, 有 f (x)  A   f x A x   lim ( )   0,  X  0, 当 x  X 时, 有 f (x)  A   1 函数极限的定义

1函数极限的定义·水平渐近线如果 lim ,f(x)=C，则直线 y=c 称为函数 y=f(x)的图形的x-水平渐近线例如，f(x):1- xX1+2x都有水平渐近线y=O；又如,f(x)=1-2-x， g(x)=1+2x都有水平渐近线V=1

如果 x lim f(x)c, 则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的 水平渐近线. •水平渐近线 1 函数极限的定义 x 1 1 x 1 o y x x g x x f x    1 1 , ( ) 1 例如， ( ) 都有水平渐近线 y  0; x x f (x) 1 2 , g(x) 1 2  都有水平渐近线 y 1. 又如， o x y x 1 2 x 1 2

lim f(x)=AV>0,X>0, 当|x>X时, 恒有I(x)-A0,日 X==>0，当x>X时，有证明LIf(x)-AH--0IXX所以 lim 1=0,x-00 x分析:If(x)-AH-0F-[xlX>0，要使|f(x)-A<，只要|x8

分析 例 6. 证明 0 1 lim  x x 例2 . 证明 | | 1 0| 1 | ( ) | | x x f x A     , 所以 0 1 lim  x x . | | 1 0| 1 | ( ) | | x x f x A    .  0, X0, 当|x|X时, 恒有|f(x)A| . x lim f(x)A.  0, 要使|f(x)A| , 只要  1 | x| . 因为 0,  0 1    X , 当|x|X 时, 有  0, 要使|f(x)A| , 只要  1 | x| . 因为 0,  0 1    因为 0,  X 0 , 当|x|X 时, 有 1    X , 当|x|X 时, 有