沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.6 极限存在准则及两个重要极限

1.6#极限存在准则及两个重要极限准则1及第一个重要极限2准则及第二个重要极限

准则II及第二个重要极限 准则I及第一个重要极限 1.6 极限存在准则及 两个重要极限 1 2

准则1及第一个重要极限准则I（夹逼准则）如果数列(x)、({y)及(z)满足下列条件：(1)yn8那么数列(xn的极限存在，且limxn=aα.n→8*准则I'(夹逼准则）如果函数/(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x),(2)lim g(x)=A, lim h(x)=A,那么limf(x)存在，且limf(x)=A

如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3    ) v准则 I (夹逼准则) v准则I (夹逼准则) 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) y a n n =  lim  zn a n =  lim  那么数列{xn }的极限存在 且 x a n n =  lim  1 准则I及第一个重要极限

111例1（补充）求 lim(2n>80+1/n2+2Vn-4n11nn解+1+1ntn2+n1n又 limlimE11n-→00n->81+nn项和的极限n不是有限项1nlimlim由夹逼定理得11n-→00n->+11+2n111limn->8+2+1nnn+n

例1（补充） ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n  n       求  解 , 1 1 1 1 2 2 2 2         n n n n n n n n   n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim  =    又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n  =    = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 =      n n  n n n  n 项和的极限 不是有限项

sinx=1心第一个重要极限limxx-→0T简要证明参看附图,设圆心角ZAOB=x（0<x<2sin x=BC, x= AB ,tanx=AD显然 BC<AB<AD因此 sin x< x <tan x cot x< 1/x <1/sin xsinx从而 cosx<<1x（此不等式当x<0时也成立)ACCx因为limcosx=1,x-0sinx根据准则I'，lim-1xx-→0

v第一个重要极限 显然 BC AB AD ( 因此 sin x x  tan x cot x 1/x 1/sin x 简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x ( 2 0 p  x ) 从而 1 sin cos   x x x ( 此不等式当 x0 时也成立) 因为 limcos 1 0 =  x x  1 sin lim 0 =  x x x  根据准则 I  1 sin lim 0 =  x x x  D B 1 O C A x sin x=BC, x= AB ,tanx=AD (

必第一个重要极限sinxlim1xx-0注:sinα(x)中，只要α(x)是无穷小，就有在极限limα(x)sinα(x)=llimα(x)这是因为,令u=α(x)，则u→0，于是sinα(x)sinulim=lim-1α(x)uu-→0

注: 这是因为 令u=a(x) 则u0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a  v第一个重要极限 1 sin lim 0 =  x x x  ( ) sin ( ) lim x x a a 1 sin lim 0 = =  u u u 

sinα(x)sinxlimlim1 (α(x)→0).α(x)xx-0tan xtan 4xlim例2 求→?(x →0)x-→0x4x1sin xtan x解lim lim1x→0x-→>0xxcos xsin 3x求lim例3x-0x解 令=3x，则当×→0时，→0，所以sin 3xsin 3xsinu3limlim3lim=3×1=33xx-→>0u-→0x-→0xu

解 解 1 sin lim 0 =  x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)0) 例3 例2 求 0 tan lim x x  x 0 0 tan sin 1 lim lim 1 cos x x x x  x  x x =  = 求 . 0 sin 3 lim x x  x 0 sin 3 lim x x  x 0 sin 3 3lim x 3 x  x = 0 sin 3lim u u  u = = 31 = 3 tan 4 ?( 0) 4 x x x  

sinaα(x)sinxlimlim1 (α(x)→0)2α(x)xx-01-cosx例4 求 limx2x-02sin24cos.x2lim解- limx2x2x-0x-→0xSin2xsin22limim2 x-→>02 x->0lX222

解 1 sin lim 0 =  x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)0) 例例24 求 2 0 1 cos lim x x x    2 0 1 cos lim x x x   = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x x = 2 0 1 cos lim x x x   = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x x = 2 0 1 cos lim x x x   = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x x = 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =       =  x x x  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =       =  x x x 

sinα(x)sinxlimlim11 (α(x)→0).α(x)xx-0sin 3x求 lim例5 x→0 tan 4xsin3x3xsin3x33xlim解limtan 4xx→0 tan 4x4x-04x4x

求 . 0 sin 3 lim x tan 4 x  x 0 sin 3 3 3 lim tan 4 4 4 x x x x x x x   =  0 sin 3 lim x tan 4 x  x 解 3 4 = 例5 1 sin lim 0 =  x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)0)

sinα(x)sinxlimlim1 (α(x)→0).7α(x)xx-0arc sin x求 lim例6x-0x解令u=arcsinx，则x=sinu，当x→0时，u→0uarcsin xlim= limx-→0u-0 sinux

求 . 解 例6 1 sin lim 0 =  x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)0) 0 sin lim x arc x  x 0 arcsin lim x x  x 0 lim u sin u  u = =1

数列收敛的判别准则准则Ⅱ（单调有界准则）不是充要条件单调有界数列必是收敛数列，提问：收敛的数列是否一定有界？是否一定单调？有界的数列是否一定收敛？注：·1.数列有界是数列收敛的（必要条件）：（充分）条件.2.数列收敛是数列有界的3.数列单调是数列收敛的(非充分非必要)条件10

10 数列收敛的判别准则 准则Ⅱ（单调有界准则） 单调有界数列必是收敛数列． 注: •1.数列有界是数列收敛的（必要条件）． •2.数列收敛是数列有界的（充分）条件. •3.数列单调是数列 收敛的(非充分非必要)条件. 提问: 收敛的数列是否一定有界？是否一定单调？ 有界的数列是否一定收敛？ 不是充要条件